课件-微积分一第02讲课件制作先戴中寅

第二第一节 与函 先戴中寅徐聪

星期 第一节 与函 先戴中寅徐聪

星期 一、集集合概念:具有某种特定性质的事物的总体组成这个集合的事物称为该集合的元素如集合：A

M

这里：A是有限集，M是无限集描述集合有列举和描述二种方记为a

a属于M

否则,a

a不属于M星期 包含若x必有xB，记：A读作A包含于下面是几个常用的数集N-自然数Z-整数Q-有理数R-实数数集间的关系

N

Q相等若AB,且

x23x

不含任何元素的集合称为空集

(记作)例如 {

x

x210}规定：空集为任何集合的子集

星期 集合A与B的并集：A∪B={x|x∈A或x∈B集合A与B的交集：A∪B={x|x∈A且x∈B集合A与B的差集：A\B={x|x∈AxB全集：所有可能的元素全体任一集合A都是全集的子集A集合A的补集Ac={xA积：A×B={(x,y)|x∈A,

星期 交换律：A∪B=B∪AA∩B=B结合律：(A∪BC=A∪(BC)(A∩B)∩C=A∩(B∩C)分配律：(AB)∩C=(A∩C)∪(B∩C)(AB)C=(AC)∩(BC)对偶律：(AB)c=Ac∩Bc(AB)c=Ac星期 是指介于某两个实数之间的全体实数这两个实数叫做区间的端点a,b

R,且

{xa

x

称为开区间

记作(ab) {xa

x

称为闭区间

记作[a 星期 {xa

x

记作[a

都称为半开区间{xa

x

记作(a

以上为有限区[a,)(,b)

{xax}

(,

{xx

这些是无限区有限区间的长两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度星期 邻域

设a与是两

且

x

}称为点的记为

(a){

a

x

aa

a 点a的去心的邻域,记作U0U a

xx

星期 常量与注意常量与变量是相对“过程”而言的.通常用字母头部abc等表示常量,用字母尾x,y,t等表示变量.星期 二

设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则使得对X中每个元素x,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应,则称f为从X到Y的 ,记作f:对每个x

,与之

记为：y

fx称y为x(在f下)的像,称x为y的原像.X称为f的定义域,记作Df.X中所有元素的像全体称为f的值域(不是Y),记为Rf,或f(X),即:Rff(X){f(x)|xX}.星期 二点注必备的三要素:1、定义域X,即Df;2、值域的范围Y(注意:RfY,可以确保像的唯一性);3、对应法则f,使对每个xX,有Y中唯一确定的yf(x)与之对应.例1fRY={y∣y≥0},对每个xR,y=f(x)是y2x的根解:f是一 ,f的定义域DfR,值域Rf对每个xX,像y是唯一的.而对yRf,原像未必 f的值域RfY,但未必RfY.例2fRR对每个xRy=f(x解:f是一 ,f的定义域DfR,值域Rf{y|y0}原像不必唯

星期 例3设X{(x,y)|x2y21Y{(x,0)||x|1f:XY,每个(xy)X有唯一确定的(x0)Y与之对应解：f是一 ,f的定义域DfX,值域Rf在几何上,这个 点的单位圆周上的点投影到x轴的区间[1,1]上.例4

f:

/

/2

y

x

sin解f是一 ,定义域Df[2

,Rf[1,2这里：Rf是R的一个真子集星期 满射:若RfY,即Y中任一元素y都是X中某元素的像则称f为X到Y上 或满射单射:若对X中任两个元素x1x2它们的f(x1)f则称f为X到Y的一对 或单射 f既是单射,又是满射,则称f为一一 或双射.(一对一映上 讨论:下述二 各是什 f:RR,对每个xR,f 一设X{(x,y)|x2y21},Y{(x,0)||x|1},f:XY,每个(xy)X像(x

是一

且是满星期 2、 :设f:XY是单射,则定义g:Rf对每个yRf,其像x=g(y满足f由于f是单射,所以对每个y∈Rf在X中像唯一，它,称g为f的逆 ,记作f1,其定义域为Rf ,值域为X.讨论:下述二 是否存在 f:RR对每个xRf

是单射存设X{(x,y)|x2y21},Y{(x,0)||x|1},f:XY,每个(xy)X有唯一确定的(x0)Y与之对应

不存星期 复 设 g:XY1,f:Y2Z,其中Y1Y2.则定义一个从X到Z :对每个像 z=f(y)显然这确定了一个从X→Z ,称为复 记为：fog:XZ,(fog)(x)f[g(x)],xX g和f构成复合 的条件是:g的值域Rg必须包含在f的定义域内,RgDf.否则,不能构成复合 注 的复合是有顺序的,fog有意义并不表示fog与gof星期 1、函数概

三、函D

R，则称

f:D

R上的函数，记为：y因变

f(

自变数集D叫做这个函数的定义

W{y

y

(xxD称为函数的值域星期 不同 ，函数两要素:定义域与对应法则xDx(对应法则

x0

自变(

f(x0

因变 例如y例如y

111x2

DD:星期 根 性质．定 域内任一x对应的函数y是唯一的．称为单值数．数学中也有多值函y数概念，但我们课程不涉及 例如

(x,y) D定义:点集

称为函数

的图星期 几个特殊的函符号函 1ysgnx

当x 当x

当x

xsgnx星期 取整函数 [x]表示不超过

的最大整-4-3-2-

32o-112 4 阶梯曲星期 雷函0yD(x)0

当x是有理数时当x是无理数时y1 无理数 有理数星期 取最值函yy

f(

g(

yy

f(

g(f(x) f(x)g(x)

g(x) 星期 在自变量的不同变化范围中对应法则用不同的

f(x)

2x2

xxyyx2y2x星期 绝对值函 y

xx x 关于绝对值的不等式x

a

x

a0xa

x

x

a0x

xy

x星期 例设f(x) 0

x 1

求函数x

f(x

解fx)

0x

1xx

x 3x22x 22x

故Df :[星期 2、函数的特函数的有界性若X

D,

X

f(

M成立yM

X

有界.否则 yM o有界

-星期 函数的单调性设函

fx)的定义域为

区间

如果对于区间

上任意两

x1

x2

x1

x2时恒有

f(x1)

f(x2

fx)在区间I上是单调增加的 y

ff(x1oI

f(x2x

星期 设函

fx)的定义域为

区间

如果对于区间

上任意两

x1

x2

x1

x2时恒有

f(x1)

f(x2则称函

fx)在区间I上是单调减少的 y

ff(x1oI

f(x2x星期 函数的奇偶性设D关于原点对称

对于xD,f(x)

f(

fx)为偶函数 y

f(x)f(x)

偶函

f(x)x星期 设D关于原点对称

对于xD,f(x)

f(x)

fx)为奇函数 y

f(x)f(x)

奇函

(x)x星期 函数的周期性设函数

x)的定义域为

数l使得对于任一x

D,(x

l)

则称

x)为期函数,l称为

x)的周期

且fx

l)

fx)恒成立22l222l22星期 3、反函y

反函W

x(y)yW D

f(x)

x Do

D W星期 反函数

(x)Q(b,o

直接函数yP(a,

f(x)x直接函数与反函数的图形关于直线yx对称星期 复合函y

u,

1

x2

y 1x定义 设函数y

f(u)的定义域Df

,而函数ux)的值域为Z,若Df

,yf[x)]为x的复合函数x自变量

u中间变量

y因变量星期 注意

y

arcsin

u2

x2;

yarcsin(2

x2y

y x2x

ucot

vx2星期 例2

D(x)0 0求

7),5

解D(7)5

D(1

2)

D(D(y

单值函数,有界函数 偶函数 不是单调函数周期函数(无最小正周期 星期 4.函数的运设函数f(x), g(x)的定义域依次为D1, DD1D2,则可以定义这两个函数的下列运算:和(差fg:(fg)(x)f(x)g(x积fg (fg)(x)f(x)g(x),fg

(f)(x)f() 星期 基本概集合区间邻域常量与变量绝对值函数的概函数的特有界性,单调性,奇偶反函数、复合星期 5、初等函数——基本初等函幂函

yxy1yx1

(是常数

yyx

y 星期 指数函

ya

(a

yey(1)a

ya(a星期 对数函

yloga

(a

0,

ylnyylogayy(alog a星期 三角函正弦函

ysinyysin星期 余弦函

ycosycos星期 正切函

ytanytan星期 余切函

ycotyycot星期 正割函

ysecyysec星期 余割函

ycscyycsc星期 反三角函

反正

yarcsinyyarcsin星期 反余弦函

yarccosyarccos星期

yarctanyyarctan星期 反余

yarccotyyarccot星期 初等函星期 ex

x

x

x例1

f(x)

,(x)x

x

xf[

e(x)

(x) f[(x)]

(

(x) 当x)时x

(x)

x

xx

x

x2

0x 星期 f[(x)]

e(x)(

(x)(x) 当x)时x

(x)

x

xx

(x)

x21

0x 当x)时x

(x)

x

1

xx

x

x2

x 星期 综上所(x)

(x)

x1或0x f[(x)]

(x)

1x0或x ex2

xf[(x)]

xx

.ex21

x x2

x 星期 双曲函

exe

ycosh双曲正弦sinhx

y

1eD:

奇函数 xx

coshx

e2

y2

eD:

偶函数

ysinh星期

tanhx

sinhcosh

ee

eeD:

奇函数

有界函数星期 双曲函数常用公sinh(x

y)

x

y

xsinhycosh(x

y)

x

y

xsinhy

xsinh

x1;

2x

2

xcoshxcosh2