信号与线性系统题解 阎鸿森 第五章

信号与线性系统题解阎鸿森第五章习题答案对下面离散时间周期信号，确定其离散时间傅立叶级数的系数Ak。(a) x(n)7)(b)

x(n)1n

2n

x(n)

以6为周期。 (c) x(n1n4)0nx(n4为周期。(d) x(n1n4)0nx(n12为周期。(e) x(n)如图P5.1(a)所示。 (f) x(n)如图P5.1(b)所示。x(n)如图P5.1(c)所示。 (h) x(n)如图P5.1(d)所示。（a）(b)(c)解：1 2

(d)2 1

2 2 x(n) e

3ne

3n e

7nej

7n, N=212 2j 1 2

2 1 2 2 ej217

ej217n ej21

ej213n2 2j 若取0k20，则有：1 1 1 1a ;a a ;a ;a a ;其余a 07 2 14 7 2 3 2j 18 3 2j k11n 1 jknjkn

2 16j k 3 2

j2k

e 3 k 6 2 6n2

11ejk3231 1612 2= k

, (0k5)3 12 ej3k 2 n 1 x[n]1sin 1 (ej44 2j

ej4n), (0n3)a 1

ej

1

ejn(k)

1

ejn(k) 2k 4n0

8jn0

2 2 2 28jn0 j2(k1

j2(k1)=11ej2

11e 2

1e 22 2 24 1ej2 2 2

8j 1ej(k1

8j 1ej(k1)=11ej

1 2224 1ejk2

22cosk

2 23 211(1 2)3 20 4 41 k2a (1)k(1 cos ), k2k 4 21a 1

ej

1

ejn(k)

1

jn(k)

k 12

6n0

24j

6n0

224j

6 2n0 j2(k3

j2(k3)1ej6(k32)= 11ej6(k32)

1 1

2 1

1e 2612 1ej6

24

1e

(k36 2

24j= 11ej

221 2212 1ejk

6 2cosk即：a0

6 6222 211 21222 211 26 12

2cosk1a

1

6 , 1k1112122cosk12122cosk26

cos3

kj4k

a 15k 6n0

x[n]ej3kn

156n0

ej3kn

11e 36 1ej3k 1ej2ksin k 2= 3 1k5; a

6a k 6

sin k63n2[nej3n2

1[ej2363

02ej3

3312ej3

ej2k]3=12cosk1cos3

k, 0k56 3 3 3 3

a k 5

2n2

x[n]ej2

1[2ej4555

2ej5

e2

452ej5k]55=-2j(sink2sin5

k), (0k4)5 5 5a 15[nejkn11ejkejk)

0k5

3 3 3 ,k 6 6n08的离散时间信号具有如下傅立叶技术系数，试确定信号x(n)。Ak

4)4) (b) Ak k ),0kk (d)

如图P5.2(a)所示。如图P5.2(b)所示。k ,k7 k(a)（b）1 1 1 1 解：(a)

ej4

ej4

ej4

ej48k, N8k 2 2 2j 2j x[n]4[n1]4[n1]4j[n4j[n4], 3n4(b)

x[n]

r

x[n8r], 即为所求周期信号。a 2[k][k1][k1]1[k2]1[k2]1[kk 2 2 41[k4n1cosn1cos4224 x[n]

akek3

22cos

cos n

n, (0n7)

x[n]=

r

x[n8r]即为所求周期信号。a 2[k]3[k1]3[k1][k2][k2]k 2 21[k1[k2 2 [n]

aej4kn

22cos

ncos

1 n cos

n, 0n7kk3

4 2 2 4

x[n]

r

x[n8r]即为所求周期信号。a [k][k1][k1][k[k[k4],(3k4)k4 x[n]

akk3

ej4

12cos n(1)n2cos n, (0n7)4 4[n]r

x[n8r]即为所求周期信号。x(n)是以NAk

a jbk

a和b均k k为实数。(a)A

。进而推出a与

b与

之间的关系。k k

k

k k证明当NAN

是实数，AN

是实数，A a 。N N2 2 2 2x(n)能够表示为三角函数形式的傅立叶级数，即N为奇数时x(n)

(N1)22 2

)

)]0N为偶数时

kk1

NN21N

k

NN2knNx(n)[a0

(1)n

]2

k

[acos(k

)bk

sin(

N)]Ak

Ae，其中Ak

A ,k

是A的相角，证明三角函数形式的傅立叶级数k也可以表示为如下形式：N为奇数时：N为偶数时：

x(n)a0

(N1)A22A2kk1

NN21N

)k2knx(n)[a0

(1)n

]2

k

[Ak

Nk)]如果P5.3所示信号x(n)和y(n)的三角函数形式傅立叶级数为：x(n)a

28[

)b)]0 k1

7 k 7y(n)b0

28[dkk1

)f7k7

sin(2kn7)]试画出z(n)的图形z(n)(a0

d)28[d0 k1

)(f7k7

b)sin(2kn )]7k7解：(a) x[n]是实信号x*[n]x[n]而x*[n]N1akk0

jk2n

N1akk0

2jkN

x[n]NN＝x*[n]N1aejknNN＝kk0 a a *或写为a*ak k k k令a bk k

jck

，则有ak

b jck

，从而有b b ，ck k k

ck当NN2为一整数。1N1

j2Nn 1

N

1N1a 2N N20

x[n]e

N 2 x[n]ejN0

Nn0

(1)nx[n]显然，aN2

是一个实数。设ak

b jck

,由傅立叶级数综合公式有。N[n]N1aejkNkk0

N1bkk0

jck

2)ejkNn当N为奇数时，上式可写为：x[n]a0

(N1)2(a2kk1

2jkNna

eNk

2jN(Nk)n)a 0

(N1)2(a2kk1

2jkNnak

2*ejN(Nk)n)()2

＝a 0

k

(bcosk

kncN

sin( kn))N当N

()2

2jk

2j (Nk)nx[n]a 0

(1)nN2N

(akk1

N

e N )Nk＝a 0

(1)nN2N

(N)－12(a2kk1

2jkNnak

2*ejN(Nk)n)()21

＝a a0 N2

(1)n2

k

(bcosk

kncN

sin( kn))N由(c)知，当akN

Aejk时，有kx[n]a

(N1)2

Re{a

2jkNn}为奇数时：

0＝a 0

k12(N1)2(Akk1

kcos(kn )N KN为偶数时：x[n]a0

a N2

(N)22k1

Re{ak

2jkNn}a a0 N2

(1)n2

()2AkAk1

cos(kn)N k y(n)(a0

d)28[d0 k1

)(f7k7

c)sin(2kn )]7k7{x[n]}

28bkk1

cos2kn7{[n]}28cd k1

sin2kn7{z[n]}

28dkk1

cos2kn7{[n]}28dk1

sinknk 7 y(n)a0

2d0

{z[n]}v

{x[n]}d

{z[n]}而a d 0 0

{z[n]},{z[n]}d

{x[nPS5.3-1所示，因此y[n]如图PS5.3-2所示。PS5.3-1PS5.3-2x(n)N为周期得序列，其傅立叶级数表示式为x(n)

Aej2knN,Ak kkN表示下列信号得傅立叶级数系数(a) x(nn) (b) x(n)x(n1) (c) x*(n)(d) Nx(nN为偶数0Nx(n(假定N为奇数，此时该信号得周期为2N).x(nm),得倍数

(m)

n1

]ejk2n1

x[m]ejk2mejk2n

ejk2n0解：(a)

N N N Nk N nN

N kmN1

(x[n]x[n1])ejk2

aejk2(b)k

N NN k knN1

x*[n]ejk2

1[x[n]ejk2n]*a*(c)k

NnN

N NN knN(d) 1 k N

(1)nx[n]e

jk2N

1[N

x[n]e

j(kN)22 N

]

(kN)nN(k=0,1,2, N-1)

nN 2ˆ 1

jkn 1

jkn ak

2Nn2N

(1)nx[n]e

N N ejn2Nn2N 1[N1[nejn(kN

N

[n]ej2n(kN)]2Nn0

N 2 x N 2nN1 N1

j2n(kN

N

j2n(kN) [2Nn0

2 n0

N

N 2 e

(kN)]12 a12(kN)2

(1ej(kN))a(kN)

，k为奇数2为偶数 x[nmN为周期的序列，m k

1 x [n]ejk2mNmN (m)mNnmN

1 x[n/m]ejk2nmN＝mNmN＝nmNmN＝1 x[r]ejk2mN＝mNnr

1am

,(k0,1,2,mN1)(a)如果x(n和y(n都是以N为周期的，它们的傅立叶级数系数分别为k和k，试推倒离散时间傅立叶级数的调制特性。即证明 x(n)y(n)

ej(N)kn，其中kk

kN

l k

kN

kl l

kN利用调制特性求下列信号的傅立叶级数表达式，其中x(n的傅立叶级数系数的。kN1．x[n]cos(n ) 2. x[n](nKN)NKx[nn3，y(n)12，且,n3y[n],4n8求x(n)y(n)的傅立叶级数表达式。解：

(ab

2)ejkNn

a(

2)ejkNnlklkNlN

l klkN lNabejm2nejl2n=llN

N NmmNN=aej2nlN=lN

2bbejm mmNx[n]y[n]=

cejk2nN kN kN

其中ck

abl kllN同样可以证明：ck

alN

bkllb (i)

cosn

1 j2eNe

1ej23n b

1

其余b 0N得：N 2 2N得：

3 3 2 kc

a b1a 1aklN

kll 2 k3 2 k36x[n]cosN

n kN=

121

k

aka

2)ejkNn2)ejkNn2kN

k

k3N(ii)

[nrN]bejknN 令kN 令r kNNb [n]ejk2n1Nk NnNc k

a bklllN

abllklN

1 aN iN[n][nrN](1Nr kN

iN

2a)ejkNnicosn

ej2

1ej2n

6 6 ,3 2 2 a a2 2

a 10

12,其余a＝02k 7

sin7k18

jkn

1ej2k(1

j6k) 1 12b k 12

e 6 12n8

1ej

12sink

(0k11)6 12sin7

(k2) sin

(k10)c ab 1 12

1 12

(0k11)k l12

k

24sin(k2) 24sin

(k10)12 12:1(a) ( )nu(n2)(b) 2nu(n)(c) (an14

n)u(n),a 101(a

sin

n),a1) (e)(53n) (f) n( )n3)3)n4)n4 14

18n(g)

k

(n3k) (h) cos( )sin(2n) (i)[ cosn3)

][ ](j) x(n),

,4n4(k)x(n)如图P5.6(a)所示。(l)x(n)如图P5.6(b)所示(m)如图P5.6(c)所示 (n)x(n)如图P5.6(d)所示(a)(b)(c)(d)1 1解：(a) x()(1)ne4

( ej)2 4 1

ej2161(b) x()

n2n

ne

1 ej41 111 e2

1 ej4(c) x[n[ancos0

n]u(n)

1an[ej0n2

ej0nx()

1(a)nej(

)n1

anej()n

1(

1 )002n0=

01aejcos0

2n0

0 21aej(

1aej(0)12acos

ej0

a2ej2(d)

x()

1n

nsin(n)ejn0n0

ansin(n)ejn01[

1 ]

1[ aej(0)

aej(0) ]2j1aej(0) 1aej(0) 2j1aej(0) 1aej(0)2ja(a21)sin0

sin(12a2cos0

)24a(1a2)cos0

cos2a2cos2(e)(63n) x()ej21(f) 令x1

( )2

, 则有：1x()11

1n

2nejn

n0

( )ne231ej12 4 1 1 51 ej 1 ej cos2 2 3 x()jd Xd 1

()

3sin45( cos)2141(g) x() nk0

( )n[n3k]e4

k

1( )3k4

[nkejnn=

( )3kej3k 114 11k0

1( ej)341 j18

j18n 1(h) cos( n)sin2n (e 7 7 2

7 )

(ejj

ej2n)1 j(18)n 1

j(18)n 1

1 x()

e2n

7 2n

7 2jn

jn(

2)

e2jn

jn( 2)=

(2k)(2k)j(22k)j(22k)]k(i)

7 7sin(n3)1,sin(n3)X() 31 0, 2sin(n4)1,sin(n4)X() 42 0, 4 如图PS5.5所示。(j)

X()

12

jn()e3e

12

jn()e3en4 n42[1ej(2[1ej(3)]

ej6()

2[1ej(3)]32[1ej(3)]3

ej5()3s3ej3ej4ej5ej62(1ejej2)(k) X()

x(n)e

jn

4e

jn

1ej51ejn n0(l) X()

3n3

x(n)ejn23cos2cos2cos(m) x[n]6为周期的序列，因此有a 11k 6n1

x(n)ejk3

1(14jsink)6 3X()

5ak

(3

k2l)3

lk0(14jsin3

k(3

k2l)lk0(n) X()=

Nn

x(n)ejn2Nsin(N)2(N1)sin[(N1)]2sinNejN(N1)ej(N1)ej0ej2e2j(N1)ej(N1)NejN=N(ejNej)(N1)(ejej)(ejej)= 2Nsin(N)2(N1)sin[(N1)]2sin已知离散时间信号的傅立叶变换为X(ej),求信号(a) X(ej)13ej2ej24ej41,0 WX(ej)0,WX(ej)

(1k(k)2kX(ej)cos(2)jsinX(ej)

ej1 1 ej ej2w1 6 60,0 (f) X(ej)3 30,3X(ej如图P5.7(a)所示X(ej如图P5.7(b)所示解：(a) x(n)[(n)3(n1)2(n2)4(n4)](b) x(n)1W

ejwndw

sinWnn(c) X(如图PS5.7-1所示，在一个周期内可表示为PS5.7-1X()()()()()2 21

1 n x[n]2

(1e

ej2

ej2n)

cos (1ej2n21 j 1 j 1 1(d)

X() e2 e 2 ej e2 2 2 2

() x[n]1

(ej

2

j

ejej)ejnd=1 1 1

1 1 1 [ j(n2) ej(n2) ej(n1) ej(n1)]1j(n11

j(n

j(n1) j(n1) =1

2 2sin(n1) sin(n1)2 2 (n1)(n1)]1n1 n1(1)n1=

2 211[n1]1[n1]1(n2 ) 2 24(e)

1(sin3nsin5n)8 861 6 1x[n] ()nu[n] ( )n53 5 2(f) x[n] 12

23ej2ejnd1 3

323

ej2ejnd23233=2(n2)ej(n2) 2(n2)ej(n2)

323= 1 [sin(n2)sin

(n2)](n2) 3 31 0 (g) x[n] [( 1)ejnd( )ejnd]0 1(1)n= 2

(h)X(＝X()＋X(X(X(如图PS5.15-2所示。1 2 1 21(sinnsinn)8 81＝ [ejn

5

e

38

ejn ]jn

8 58＝1(sin3nsin5n)8 8x(n)2

178ejnd1 1 8

8 ejnd88

1 ejnd78＝ [e

ejn ejn ]jn

8 8＝1(sinnsinn)8 81(23cos2cos2cos3)8x(n)如图P5.8(a)所示得周期信号，x1

(n)x2

x(n中截取一个周期所得到得非周期信号，如图P5.8(b),(c)所示。(a)(b)(c)x(nAkX(ej)X(ej1 2方式不同，因而所得到得非周期信号具有不同得傅立叶变换。证明无论怎样截取，下列关系总是成立得：A1k N

X(ej)

2kN解：(a)

A 1k

x(n)ej(2)knNnNN

=138n3

x(n)ej()kn4=1(23cos(k)2coskcos3k)48 4 2 42 2 a 1 a 2 20 3 5

aa1

,a22 2

a 0,a 06 4X1

(ej)

3n4

x(n)ejn

=23cos2cos2cos3X(ej)72n0

x(n)ejn

2 ejej2 ej30 ej5ej6 ej73 1 1 2 2 2 23 1 1 X(ejX(ej不同。1 2由(a)与(b)Ak

1x8

(ej)w

2k81 1 3 j

1 j3kx(ej)81 w

2

[2 e 4 e 4 8 2 2又 8jk 1 j5k 3 j7ke 2 e 2

ej6k e 4 ]4 2＝1(23cos2cos2cos3)8X(ej是图P5.9所示信号x(n)X(ej而完成下列计算。5.9a) 求X(ej0) (b)求X(ej)的相位(ej)。(c)求X(ej)的值。计算

X(ej (e)计算

X(ej)d和22

dX(ej

2d。dd(a) X()

n

x[n]ejn,X(0)

n

x[n]6(b)

x[n+2是一个偶实序列，[n2]X()ej2而偶实序列的频谱为偶实函数。即X()2() X(2(,其中(x[n+2]的相位频谱。(c) X()(d)

n

X[n]ejn

n

(1)nx[n](11211211)2x[n]

1

X()ejnd

X()d4(i)由Parseval定理有(ii)

X()2d2n

x[n]

2dddX()dX()dx

X[]j[n2d2n

jnx[n]

2确定图P5.10所示信号中哪些信号的傅立叶变换满足下列条件之一：Re[X(ej0 (b) Im[X(ej0(c)存在一个实数X(ej)eja是实函数。(d)

X(ej)d=0 (e) X(ej0)0解：满足(a)的有b，g。满足(b)的有d，e。满足（c）的有abedf。满足（d）的有d，b，e，f，g。满足（e）的有b，c，g如果X(ej是信号x(n)P5.11中其他傅立叶变换所对应的信号。0解：由调制性质考虑x(n)ejnX(ej())0取 可知x(n)(1nX(ej())即为图(b)0(b) x1

(n)x(n)(1)n易知dX(ej)2

(ej)d 2即X(ej)

dX1

(ej)2 2 d又nx(n)

dX(ej)1d dX(ej)(j) nx(n)(j) 1 X(ej)2 2 d 2(j)nx(n)2

(ej)2(c) x2

(n)jnx(n)2X(ej)X3

(ej)X(ej)2(d)x3

x2

(n)x(n)(1jn)x(n)2X(ej)X(ej)X(ej)4 1x(n)x(n)x4

(n)[1(1)n]x(n)X(ej)X(ej)X(ej)5 2x(n)x5

(n)x(n)(1jn)x(n)2如果离散时间信号x(n)的傅立叶变换如图P5.12号的波形，并加以标注。x1

(t)

n

x(n)ej(5)nt (b) x2

(t)

n

x(n)ej(5)nt(c)

(t)

O(n)ej(5)nt (d)

(t)

E(n)ej(3)nt3x(tx(t)1

n

dn

x[n]e

jn5

4;X()

n

n

vjnx(t)X()

t。其实部与虚部如图PS5.12-1所示。15...

Re{Re{t)}1…t

2

5 10 {x(t)}m 11…...t-5 -5/2 5/2 5 101010图PS5.12-11010(b)

x(t)2

n

jn2

m

x[m]ejm2

x(t)1

如图PS5.12-2所示。Re{x(t)}21...Re{x(t)}21...... {x(t)}m 21…......t-10 -5 -5/2 5/2 5 10PS5.12-2x(t)=1

jn2

1

x[n]ejn2

1X(t)1

X(t)(c)3示：

2n

82n

82 4 2 4

如图PS5.12-3所Re{xRe{x(t)}312...-8-62-4-2 46 812{{x(t)}m 31/2-62t-4-246-1/266PS5.12-66(d)

x(t)=1

x[n]ejn2

1

x[n]ejn2

1X(t)1

X(t)

如图，PS5.12-4所4 2n示：

2n

2 3 2 3(t)}41/2......t-6-3/23/26{{x(t)}m 41......1/2t-6-9/2-3/23/29/26PS5.12-4x(n)8为周期的离散时间方波信号，且1,0nx(n)0,4n7x(n)X(kX(k)

nN3

x(n)WNj2kn

j3

sin(k)2X(k

nN

x(n)WN

n0

8 e

sin(k)8x(n)y(n8为周期的序列，且n nx(n)0,其n y(n)0,其n 求x(n与y(n得周期卷积fn)x(ny(n，并求出相应的F(k。3n,0n解：f(n)N1x(m)y(nm)0,n3m0 n3,4n6f(n)3(n)2(n1)(n2)0(n3)(n4)2(n5)3(n6)f(n) f(n7rr

sin(4k)x(k)

j27

ej3k 7e7e7n0 sin( k)7sin(ey(k)e

j27

ej7k 7n4 sin( k)7sin(4k)sin(k)F(k)x(k)y(k)

j k 7 77 sin2( k)75.15求下列有限长序列地DFT，并用闭式表示：(a) x(n)R (n)。(b) x(n)sin(n)R (n)(c) x(n)ejnR (n)N N Nx(n)cos(n)R (n) (e) x(n)nR (n) (f) x(n)anR (n) N N N解：(a)x(n)RN

(n)N1

N1 j

1ej2X(k)

n0

WN

n0

1e

j2N＝x(n)sinnR (n)0 Nsinsinn0Im[ejn]由关系Im[x(n)]2j[X(k)X(k)] 1 1ejn 1 1e 有X(k) DFT[x(n)] [

(k)002j1ejWk 2j1ejWk N00N NWksinsin

Nsin(N1)Wk＝N 0

0 NR

(k)12cosWk

W2k N0x(n)ejnR0N

(n)

0 N NN1

1ejNWkNX(k)DFT[x(n)]

ejNWknR0 N

)

0 N R1ejWk

(k)n0 0 Nj(kN1

sin(

N)20e 20

sin(

R (k)) N02 N0x(n)cosnR (n)0 N1cos(0n)Re[ejn] 由关系：Re[x(n)]2[x(k)x(k)]有0X(k)DFT[x(n)]0

1[1ejN

1ejN

]R(k)021ejWk 1ejWk N00 N 0 N1cos(N)WkcosWkcos(N1) 0 N 0 N 0R (k)12cosWk

W2k Nx(n)nR (n)NX(k)DFT[x(n)]

N

nWkn

0 N N(k)

dN1WNn0

]R(k)

N Nn0

N dx Nej(kNk(f)

2sin(N

R(k)NX(k)DFT[x(n)]

N

aNWkn

(k)

1(aWkn)NRNR

(k)N N 1aWk N 1aN RN1aej2k N

(k)

n0 N其中RN

(n)RN

(k)

1WN1Wk

1ejkN2NNjk2

n,k00,0,kN 1e N已知有限长序列地DFTX(k)，求x(n)=IDFT[x(k)]。2N ej,km2NNN

N2－ej,km2NN2X(k)2

ej,kNm (b) X(k)22

jej,kNm0,其他k 0,其他k 其中m为正整数且0<m<N/2.解：(a)x(n)IDFT[X(K)](1N

N1X(KWkn)kN k0

(n)(1ejWmn1e(Nm)n)k

(n)2 N 2 N N1 j2mn j2mn (eje 2

e N ej)RN

()cos(2mn)R

(n)N N

x(n)IDFT[X(K)](1N

N1X(KWkn)kN k0

(n)(

jejWmn

je(Nm)n)k

(n)2 N1 j2mn

2 N Nj2mn (eje 2j

e N ej)RN

()sin(2mn)R

(n)N Nx(n)N=10的有限长序列，且0,其他nx(n)n0,其他n

y(n)1,0n41,5n解：x(n)88DFTX(k)P5.18(a)y（n）是一个16点的序列，且x(n2),为偶数y(n)0,n

试从图P5.18(b)～（d）中选出相当于y(n)的16点DFT的略0,8n如果y(n)x(n),00,8n如果

则在图中找哪一个相当于y（n）16点DFT?解：(c) (d)证明若x(n)实偶对称，即x(n)=x(N-n)，则X(K)证明：(1)x(n)

1(x(n)x(Nn))1(x(n)x*(Nn))2 2 实函数X(k)1X(k)1X*(k)Re[X(k)]2 2又X(k)N1x(nWkn

(k)N1x(NnWkn

(k)n0

N N N Nn0N1x(mWkm

)N1x(mWkmR(k)m0N

N N N Nm0 x(m)WNk)mR (kX(NkN Nm0(2)11 x(n) (x(n)x(Nn)) (x(n)x*(Nn))2 211 X(k X(kX*(kjIm[X(k纯虚数2N1 X(k)N1x(nWknR (k)－x(NN1

(k)N N N NN1

n0 n0 x(m)WNk)mR(kX(NkN Nm0x(n)Nx(n和x(nx(n)的圆周共轭偶部和圆周共轭奇e o部分。即x(n)e

1[x(n)x*(Nn)]21x(n) [x(n)x*(Nn)]o 21 解：1 DFT[xe

(n)]

DFT[x(n)] DFT[X*(N2 21 1 1 X(k) X*(NNk) X(k) X*(k2 2 2 21 1 1 1 Re[X(k1 DFT[xo

(n)]

DFT[x(n)] DFT[X*(N2 21 1 1 X(k) X*(NNk) X(k) X*(k2 2 2 21 1 1 jIm[X(k)]如果x(n)是N点的序列，它的NDFT为(a)证明当x(n)=-X(N-1-n)时，X(0)＝0证明当N为偶数，且x(n)=x(N-1-n)X(N解：要证明X(0)0,需证明N1x(nWknN k0

0,即需证明N1x(n)n0

n0当N当N,

N1x(n)21xnN()n0 n0N()

x(N1

n)0x(n)x(N1n)x(N1)x(N1)2 2x(N1)2N11N1x(n)n0

2n0

x(n)x(N1n))x(N1)02当N:X(0)0

X(N)22N1x(nWNn2Nn0N1()nx(n)Nn0N21 [(1)nx(n)N1nx(N1n)]n0x(n)x(N1n,且N则:nx(n)N1nx(N1n)0N X

)02如果X(K)N点序列x(n)NDFT,则N点有限长序列。若对X(K)再做DFTx(n，试用x(n)x(n)解：X(K)N1x(nWkn,0kNn0Nx(n)Nx((n))N

N1X(KWknNk0上式中：令：k=m,-n=k则Nx((k))N那么

Nm0

x(m)WkmNNx(n)DFT[x(n)]1x(n)

DFT[x(n)]N假定x(n)是有限长序列，当n<0和nNN为偶数。图P5.23(a)绘出了x(n)的包络。由x(n)7g(n)~g(n，如图P5.23(b)中所示。在表P5.23－11 7中的给出了九个DFTP5.23(b)中的每一个信号在表P5.23-1DFT。这里DFT的点数不少于每个序列的长度。解：

(n)x(N1n)1N1

g(n)Wkn1 Nn0N1n0

x(N1knN做变量代换iN1n,:0x(i)Wk(N1i)NiN

x(i)WkiWkiN

N NN1 W kN

i0

x(i)W kiNej

N

X(e

2kN)

H (k)7(n)nx(n)2

j2.NN2

x(n)故DFT[g(n)]H(k)2 8

DFT[g3

(n)]N1x(n)ejNn0N

NxnNx

(n)ejknNN1x(n)ejknN1x(n)ejk(nN)NNn0当N为奇数时,上式=0;

Nn02k当N,2X(ej2N)DFT[g(nH(k.3 3N1

N 4DFT[g4

(n)]2n0

[x(n)x(n )]ejNkn2令n'

n

N2,则:N1

4 4 42 x(n

N)ejNknN 2NN 2N

N1x(n')ej k(n'N

N1x(n)ej knn0 n'N

nN2 2DFT[g4

(n)]

N2n0

4x(n)ejNkn

N1x(n)ejnNN2N

X(e

4kN)H6

(k)(5)

DFT[g5

(n)]N1x(n)ej2n2

H(k)2(6)

DFT[g6

(n)]Ngn0g

(n)ej2kn22N=N1xi)ejkiN=i02当0kN1时DFT[g6

(n)]X(ejNk);2(7)

当Nk2N1时,DFT[g6故DFT[g(n)]H(k)6 5

(n)]X(ejN(kN))如果x(n)是一个无限长序列，它的离散时间傅立叶变换为X(ej)x1

(n)是一个N点NDFTX(KX(KX(ej2kN,k=0,1,2,3,…….N-1。试确定1 1x(n)x1

(n)的关系。解：

(kx(n)X(ej进行频域采样，根据频域采样1理论有：x1

(n)(r

x(nrN))RN

(n)1已知x(n)( )nu(n)，它的离散时间傅立叶变换为X(ej)。y(n)是一个10点的序12n0n10y(n)0。Y(k)y(n的10点DFT，且Y(k)就等于X(ej)的10个等间隔样本，即：2kY(k)X(ej10),k0,1,2,...9求y(n)解：根据题24可知：y(n)(r

x(n10r))R10

(n)=(

1( )n10r)R

(n)2 10r01( )n1= 211( )102

R (n)10已知x(n)是N点有限长序列，X(k)=DFT[x(n)],现用以下方法将x(n)的长度扩大rN,rN点的序列y(n)rN点DFTX(K)的关系。x(n),0nN1(a) y(n)0,NnrN1

x(n ),nir,i0,1,2,......N1 (b) y(n) 0,n解：(a) X(k)N1x(nWknNY(k)(b)

n0N1y(nWrNn0

N1Wkn (k)XrN rXrn0X(k)N1x(nWknNn0Y(k)N1y(nWrNn0

N1xiWNi0

X(k1当k(r1)N,...rN1Y(k)X(krN)图P5.278FFT流程是DIT算法还是DIF算法，为什么？解：是DFT算法。因为碟形结表示DFT的运算在第一级碟形完成，以后各级只是完成了N2点DFT组合NOFT的工作。W08W28W08WW08W28W08W08W08W08W18W08W38W2W08W288设M点有限长序列，即除nM1外，x(n)=0.x(n)的傅立叶变换为X(ejX(ej的NX(ej2kN0kN1，问在(a) NM (b)N>M解：

(n)(

x(nrN))R

(n),

(n的NFFT即可.1 N 1r(b)先将序列添加一系列等于零的点，使得0 x(n),0nM0 x(n)0,MnN1

2(n的NFFTX(ejNk0

z

x0

(n)ej2kn,0kN1N NFFT运算可以一次完成两个N2NN 运算。本题讨论这种算法。x(n)是两个N点实序列，我们构成复序列h(n)=x(n)+jy(n)如果x(n)2N点实序列，将其按奇偶位分组得到两个N:x(n)x(2n)1x(n)x(2n1),0nN12再组成N 点复序列h(n)x1

(n)jx2

(n)试用H(k)表示X1

(k)和

(k)。如何从2X1(k)和X2(k)得到全部的X(k)？解：(a) H(k)X(k)jY(k)H*(kX(kjY(k)X(kY(k)

1[H(k)H*(k)]21[H(k)H*(k)]2j当kN1X(kX1

(k)Wk2N

X(k)2且有 X(kN)X1

(k)Wk2N

X(k)21X(k)X1

(k)Wk2N

X(k),0k2X1

(kN)Wk2N

X(kN),Nk2N12DFTDFT的点来计算离散时间傅立叶变换的样本。也就是说，如果X (k)X(ejM

(2kN)N,k0,1,2,...N1假设N为偶数。序列x(n)的N点修正DFT相当于一个序列X (n)的N点试由x(n)构造出Mx (n。Mx(n)是实序列，则其DFT的所有点并不都是独立的，因为DFT具有共轭对称性。即X(k)X*((k)) R (k)。因此，当x(n)是实序列时，其修正DFTN N的所有点也不全是独立的，试求出此时X (k)中各点间的关系。M令R(k)X (2k)根中的结论证明可以从R(k)确定出X (k)。R(k)M MN点的序列r(n)的修正试求出联系r(n)x(n)的表示式。2由此可以看出，一个实序列x(n)的修正DFT可以这样计算，即先由x(n)构造一r(n，然后计算r(nN点修正DFT。2x1

(n),x2

(n),x3

(nNX1M

(k),X2M

(k),X3M

(k分别代表它们的修正DFT，如果X3M(k)X1M(k)X2M(k)试利用x1

(n)x2

(n)表示x3

(n)。所得到的x3

(n)的表示式应该象圆周卷积的形式那样（但并不相同）表示成x1

(n)x2

(n)的某种组合的单重和式。nN

(n)

(n)都等于2 1 2零，试证明x1

(n)x2

(n)的修正圆周卷积等于x1

(n)x2

(n)的线性卷积。XM

(k)X(ej)

N

,kN1N X (k)N1x(n)ej(k)nMN n0N1x(n)ejnejkn= N Nn0NX (n)x(n)ejMN(b) XM

(k)X*M

(Nk1)(c) XM

(k)X*M

(Nk1)k分，从而可以由序列的偶数点部分获取整个序列，从而由R(k)确定出XM

(k)。因为R(k)XM

(2k)，所以R(k)可以看成XM

(k)的二抽取过程，频域的抽取导 致 时 域 的 周 期 延 拓 。 故r(n)(

x (nrN/2))RM

(n)(

x(nrN/2)ej(nrN/2))RNNN

(n)r 2 r 2（d）由于X1M

(k),X2M

(k),X3M

(k)可以看成新的序列x1M

(n),x2M

(n),x3M

(n)的DFT，则根据DFT的性质，有：Nx(n)ejn(N1xN3 m0

(m)ejmxN2N

(nm)ej(nm))RNNN

(n)x(n)(N1x3 m0

ejN(nm)(x2

(nm)ej(nm)))RNNNNN

(n)N x(nm)ej(nm) xN 2

ejn

以为周期延拓后再移位m以个单位，故：

Nx(nm)ej(nm)N2

x2k

(nkNm)ej(nkNm)

，从而有：x(n)(N1x3

ejN(nm)

x(nKNm)ej(nkNm))RN2 N

N(n)Nm0 k=(

N

x(m)x(nkNm)e1 2

jk)RN

(n)km0=(

N

x(m)x1

(nkNm)(1)k)RN

(n)km0显然，上式可以看成的某种组合的单重和式，与圆周卷积类似，但又不完全一样。（e）令fL

N1x(m)x1 m0

(nm)，则：x(n)(f (n)f (nN)f (nN)f (n2N)f (n2N)....)R (n)3 L L L L L N由于nN

(n)

(n

(n)仅在0,…N-1上有非零、2 1 2 L值。故修正圆周卷积等于线性卷积。x1

(n),x2

(n),x3

(n),x4

(n)是四个N 点实序列，它们的DFT 分别为X(k),1

(k),2

(k),3

(k)。如果x4

(n)x2

(n)是圆周偶对称的；x3

(n)x4

(n)是圆周奇对称的，即：x(n)x1

((Nn))N

R (n),xN 2

(n)x2

((Nn))N

R (n)Nx(n)x((Nn)) R (n),x(n)x((Nn)) R (n)3 3 N N 4 4 N N我们可以通过一个N点复序列的FFT运算来计算上述四个序列的DFT。本题就讨论这种算法。x1

(n)x3

(n)构成序列y1

(n)x1

(n)x3

(n)，如果Y1

(ky1

(n的试问如何从Y1

(kX1

(k)

(k。3y(n)x(nx(ny(ny(n组合成、复序2 2 4 1 2列y(n)y3

(n)jy2

(n)。试问如何由Y3

(k)求出Y1

(k和Y2

(k，再利用的结果，说明如何从Y3

(kX1

(k),

(k),2

(k3

(k)。44个序列都是圆周偶对称的，即：x(n)xi

((Nn))N

R (n),iN如果将其中x(n)按下列方法组成u(n):3 3u(n)[x((nx((n]R (n)3 3 N 3 N N证明u(n)是圆周奇对称的，即：u(n)u((Nn)) R (n).3 3 3 N N若U(k是u(n的X(k求得U(k。3 3 3 3Ny1

(n)x1

(n)u3

(n)，试确定如何从Y1

(k恢X(kX(k。1 3y(n)y(njy(n，其中：3 1 2y(n)x1

(n)u3

(n),y2

(n)x2

(n)u4

(n)u(n)[x3

((nN

x((n

]R (n)Nu(n)[x4

((nN

x((n

]R (n)N试确定如何从Y3

(kX1

(k),

(k),2

(k3

(k)。应当指出，此时不能得到4X(0)3

(0)N4

N( )3 2

N( 。4 2证明不需要任何乘法就可以算出k0k

N2

(k3

(k)。4解） x1

(n)x1

((Nn))N

R (n),xN 3

(n)X

((Nn))

R (n)N x(nDFT

(n)的DFT为虚数。1故有：

3x(n)IDFT[Re(Y1 1x(n)IDFT[Im(Y3

(k))](k))]（b）构造Y3

(k)的圆周共轭偶部和圆周共轭奇部，有：1Y (k) (k)Y*(Nk)]3e 2 3 31Y (k) (k)Y*(Nk)]3o 2 3 3根据DFT的性质有：IDFT[Y3e

(k)]y1

(n)IDFT[Y3o

(k)]jy2

(n)y1(n)和y2(n)（a）X(k),X (k),X (k) 和X (k)。1 2 3 4（c）u(n)[x((nx((n]R (n)3 3 N 3 N Nu((Nn)) R (n)[x((Nnx((Nn]R (n)3 N N 3 N 3 N N=[x((N(nx((N(n]R (n)3 N 3 N N又x(n)为圆周偶对称，所以有：3u((Nn)) R (n)[x((nx((n]R (n)u(n)3 N N 3 N 3 N N 3故u(n)是圆周奇对称的。3（d）U3

(k)WkN

(k)Wk3 N

(k)3(e)

(n)x

(n)

(n,

(n)

(n)为圆周奇对称序列，1 1 3 1 3则根据DFT的性质有：11

(k))X1(k))U3

(k)(k)再利用（d）的性质可以获得X(k)。3（f）构造Y3

(k)的圆周共轭偶部和圆周共轭奇部，有：Y (k)1(k)Y*(Nk)]3e 2 3 31Y (k) (k)Y*(Nk)]3o 2 3 3则根据DFT的性质，有:Y1

(k)Y3e

(k),Y2

(k)Y3o

(k)。又X(k)Re[Y1 U(k)Im[Y3 3e

(k)],(k)],U

(k)Re[Y2 (k)Y4 3o

(k)](k)]由（d）知：

X(k)U3 3X (k)U4

(k)kN(k)N

Wk)NWk)N当k0时，WN

WN

0；当k

NN为偶数时也有W2 N

WN

0。

(0),3

(0),4

N( 3 2

NX ( )4 2g）当k0时，X(k)N1x(n)，故不需要乘法。3n0当k

N2

( )N3 2N

Nn0

(1)nx3

(n)

，也不需要乘法。对X (k)上述结论同样成立。4如果一个LTI系统的单位脉冲响应为h(n)1n，对下列输入信号求该系统响应y(n)2的傅立叶级数表达式：4(a) x(n)sin(n ) (b) x(n)4

(n4k)(c)x(n)是周期为6的信号，并且0.1x(n)0,n2,3

k(d) x(n)(1)njn1 1 1 1 h[n]( )|n|( )nu[n]( )nu[n]2 2 2

e

1 11 ej121x[n]

1(ej3nej3nN8,于是有4 42j1 1

a

0,(3k4)3 2j 3 2j ky[n]

1H(3)ej3n1H(3)ej3n 3 sin(3n)52 2442j 4 2j 4 452 244x[n]令

[n4k],N4akk

1(0k3)4y[n]3k0

jbek2n，则可得kjbaH(k

)1( 1

1 1),k k

411ejk

11ejk 0 2222 2222cosk 33cosk2 1 25

k

k52 2[n]

bej

63ejn3ej

66cosn2k2k0

5 5 5 2221a 1 [ne kn1(1ejkejk)221

1(12cosk)(c) 3 3 3k 6n1

6 6 34(2cosk)b

1(1

k

3 1]k 6 3 5cosk3 213

k2cos2 k3 3cos k3 213cos kcos2 k25y[n]

3 3 ]ejk3n(d)

03 cosk5k3kjnx[n](1)ne2 ejn,N4a1,a1 2

1,a0

a 由b3

aH(kk

)可得b b0 3

0,b1

1 1 131111ej211ej22 21 1 b 1 1 111 1 2 1 ej 1 ej2 23 jn 1 3 1y[n] e2 ejn (j)n 5 3 5 31已知某离散时间LTI系统得单位脉冲响应为h(n)( )nu(n)，对下列输入信号求该系2统得输出响应y(n):3(a)x(n)( )nu(n) (b) x(n)(1)n3343解：(a) x[n]( )nu[n] X()4

(c) x(n)(n1)()nu(n) (d) x(n)cos(n2)1413131 ej41 1Y()X()H() 1 3(1 ej)(1 ej2 41 2 31 1 ej 1 ej2 41 3y(n)[2( )n3( )n2 4(b) x[n]

ejn,X()2k

()Y()

43k

(2k),y[n]

2(1)n23

( )n[n]

()1 14 1 ej 11 141 d 1n( )n[n]j X4 d

()X()

(1 ej)21411 1Y()

1 e

1(1 ej)2112 41= 4 2 11 1 11 e

(1 ej) (1 ej)21 1 2 4 41 1 y[n][4( )n2( )n(n1)()n2 4 41 12 (d) h[n]( )nu[n],H()2 1 ej2x(n)

(ejnejn)222224cos

n2sin n5sin(n3)( 22y(n)1H ejn1H()ejn 2 25sin(n3)( 222 2 2 2某离散时间LTI系统的单位脉冲响应为 h(n)

系统的输出。x(n)

k

(n4k) (b) x(n)(n1)(n1)x(n)为图P5.35所示的方波信号x(n)等于(1)n乘以图P5.35所示的信号。解：(a) x(n)

(n8k),N8,0

P5.35；同样只有直流分量与基波分量可以通过系4k统。1 1 1 1 a ,a .y[n] cos0 8 1

2 8 4 45 1 (b) y(n) y(n1) y(n2)x(n) x(n5 1 4 8 2X()ejej2cos;2cos3

(b)Y() 0, 3(c)x(n)的周期N=8，0

;只有x[n]的直流分量4a1

je4e

ej2ej34

sin581 85n25a 0 8

ej4) 8sin6 5 sin(5) y[n]

cos1 8 4sin(8) 4(d)x(n)如图P5.35-2所示N=8, 0

；只有直流分量与基波分量可以通过系统。41 12

1ej2ej

1cos(5 )a ;a

x[n]ej4n 80 8 1

8n2

8 1ej

8cos(8) 1 1cos58 y[n]

cos3 8 4cos(8) 4对下列差分方程所描述的因果LTI描述逆系统的差分方程。1 1y(n)x(n)1 1y(n1)1 1y(n1)x(n) x(n1)245 1y(n1) y(n2)(n)1x(n1)148485 1y(n1) y(n2)(n)485 1y(n1) y(n2)x(n)1x(n1)482

x(n1) (b) y(n) y(n1)x(n)4 2(d) y(n) x(n2)y(n)y(n)1 1解：(a) y(n)x[n] x[n1],H()1 ej4 41 1G()

11 e14

;g[n]( )nu[n]4逆系统的差分方程：y[n]14

y[n1]x[n]1 1(b) y[n]2

y[n1]x[n],H() 11 ej2112ej 1 1111G()1

1 e4

;g(n)( )nu(n) ( )n1u(n1)4 241 1逆系统的差分方程为：y[n] y[n1]x[n] x[n1]5 1 1 5 1 1 1 (d) y[n] y[n1] y[n2]x[n] x[n1] x[n4 8 4 81 1 ej ej2H() 4 85 11 ej ej25 5 14ej8ej2 2 2G() 1

1

1 1(1 ej)(1 ej) 1 e

1 ej4 2 2 41 1g[n]2( )nu[n]2(