概率统计大题题型

题型一直图（湖北理分有100个（I）在答题卡上完成频率分布表，（II）估计纤度落[中的1（III）统中点

分组

频数

频率

0.04合计

0.250.300.290.100.021.00解）

频率/组距1.341.381.461.54

样本数据（Ⅱ纤落在

中的概率约为

0.300.290.100.69

纤小于的概率约为

0.04

0.30

．（Ⅲ）总体数据的期望约为1.321.400.301.440.290.101.520.021.4088变（2009卷理根据空气质量指数API为整数的同，可将空气质量分级如下表：

．对某城市一年（天）的空气质量进行监测，获得的API数据按照区间

，

，

(100,150]

，

，

，

进行分组，得到频率分布直方图如图.（1求直方图中

的值；计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；求该城市某一周至少天的空气质量为良或轻微污染概.（结果用分数表示．已知

77，

，

318251825

38123，1825

）解）图知

x

3238123)501825365182591259125

，解得

11918250

；（2

365

119218250365

；（3该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为119235050182505

，则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为315

，一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为232766531()7()06()6()578125（2009浙卷理题分分）在,2,3,,9

这

9

个自然数中，任取

3

个数．（I）求这3个中恰有个偶数的概率；（II）设

为这

个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数,2,3

，则有两组相邻的数

1

和

，此时的值是

随机变量分布列及其学期望

E

．解析）记“3个数恰有一个是偶数为件A则

P()

CC4C39

2

；（II）机变量值为的布列为

12

512

112所以数学期望为

52122123题型二抽问题例题

(2009山卷文

一汽车厂生产A三类轿,类轿车均有舒适型和标准型两种型号某月的产量如下(单位辆:舒适型标准型

轿车A

轿车

轿车z按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取辆其有A轿车辆.求z的值.用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的本将该样本看成一个总,从中任取辆求至少有辆适型轿车的概率;用随机抽样的方法从B类适轿车中抽取辆经测它们的得分如:9.4,8.7,9.3,9.0,把这辆车的得分看作一个总,中任取一个数求该数与样本平均数之差的绝对值不超过的率解该厂本月生产轿车为n辆由题意得

50n100

所以设所抽样本中有辆舒适型轿,因用分层抽样的方法在C轿车中抽取一个容量为的本所

40010005

解得m=2也是抽取了2辆适型轿3辆标准型轿车,分别记作;BB,B则从中任取2辆的所有基本事件为(S,)(S)(S(S11,212312(S,B),(,B),,B),(B,B共个其至少有辆适型轿车的基本事件有22231基本事件(S),,),,B)(S,B),,B),(S,S所以从中任取2,12322317至少有舒适型轿车的概率为.10样本的平均数为

18

(9.48.69.28.79.3

那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.2,8.7,9.0这个数总的个数为8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的率为

68

【命题立意:本题为概率与统计知识内,涉及到分层抽样以及古典概型求事件的概问题要读懂题,分清类,列出基本事件查清个数.,用公式解答.变式

（天为了了解某工厂开展群众体育活动的情况采用分层抽样的方法从AB,C三个区中抽取7个厂进行调查已知A,B，区分别有，27个工厂（Ⅰ）求从区中分别抽取的工厂个数；（Ⅱ）若从抽取的7个工厂中随机抽取个行调查结果的对比，用列举法计算这个工厂中至少有1个自A区概率。11【答案】2，，2(2)21【解析：工总数为18+27+18=63本容量总体中的个体数比为所以从三区中应分别抽取的工厂个数为2，

763

，（2设

,A2

为在A中抽得的2个厂，

B,,B1

3

为在区抽得的3个工厂，C,

为在C中抽得的2个厂个工厂中随机的抽取2个的能结果有

27种，随机的抽取的2个工厂至少有一来自A区的结果

(A,)

，(A,)(B)(A,B(A,)()11113121

同理

A

还能组合5种一共有11种所以所求的概率为

1127【考点定位】本小题主要考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识，考查运用统计、概率知识解决实际问题的能力。题型三等能事件概率在一次实验中可能出现的结果有个而且所有结果出现的可能性都相等。如果事件A包的结果有个那么（A=

这就是等可能事件的判断方法其概率的计算公式考常借助不同背景的材考查等可能事件概率的计算方法以及分析和解决实际问题的能力。例题（2010南）了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高的相关人员中，抽取若干人组成研究小组、有关数据见下表（单位：人）(Ⅰ)求x,y;（Ⅱ）若从高校B抽取的人中选人作专题发言，求这二人都来自高校C的概率。解(Ⅰ)由题意可得

x所xy，183654（Ⅱ记从高校B中抽取的人b从高校C中抽取的3人C,CC则从212高校B抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件

b,cc211（

b,c2

3

bc1

bc2

2

b,c2

3

(CC(CCC)10种，设12选中的2人都来自高校C的事件为X则X包含的基本事件(C,，(C13(C共3种，因此(X故选中的2人都来自高校C的概率为10

变1（2010苏某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为；乙产品的一等品率为，二等品率为10%。生产1件甲产mnmn品若是一等品则获得利润4万元是二等品则亏损万元产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元若是二等品则亏损万元设生产各种产品相互独立Ⅰ）记X（单位：万元）为生产件甲产品和1乙产品可获得的总利润，求X的分布列）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10元的概率。解题设知X的可能取值为10-3且（X=10×0.9=0.72，（X=5=0.2×0.9=0.18，（X=2×（X=-3×0.1=0.02。由此得X的分布列为：X10[来源:学-3科ZXXK]

网0.720.08（2）设生产的4甲产品中一等品件，则二等品件。14由题设4)，解n，又N，4。5所求概率为

0.8

0.8

答：生产4甲产品所获得的利润不少于元的概率为。变

（2010福建平面向量m2m∈{1,2,3,4}.n（I）请列出有序数组mn）的所有可能结果）“使得⊥（a－）成立的（mn）为事件A求事件A发生的概率解Ⅰ)有序数吧所有可能结果为（）共16.Ⅱ)a)m

m

，2.

由于m

｛事件A包含的基本条件为（2,1）和（3,42.基本事件的总数为，故所求的概率()

8

.题四互斥件少一发与互立件时生率算不可能同时发生的两个事件A、叫做斥事件，它们至少有一个发生的事件为A+B，用概率的加法公式

(A)()(B)

计算事（B）是否发生事件（或）发生的概率没有影响，则AB叫相互独立事件，它们同时发生的事件为

A

。用概率的法公式

计算。高考常结合考试竞赛、上网工作等问题对这两个事件的识别及其概率的综合计算能力进行考查有一个发生的两个互斥事件AB叫做互为对BAABAA立事件。即

或

。至少、至多问题常使用“正难则反”的策略求用概率的减法公式

P概率。高考常结合射击、电路、交通等题对对立事件的判断识别及其概率计进行考查。例（全国Ⅲ设甲、、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为，、丙都需要照顾的概率为0.125（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概.解）记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件AB、……1分则A、B、相互独立，由题意得：（AB）（A）P（B）=0.05（AC（A）（）=0.1（）（）P（C）=0.125……………………分解得：（A=0.2；（）；（）所以甲乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是0.2、0.25、…（Ⅱ）AB、相独立，∴

相互独立，…………………∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为((A(B)P(C)0.80.750.50.3

……………10分∴这个小时内至少有一台需要照顾的概率为pA0.30.7

……12分变1

（2005福卷文甲乙两人在罚球线投球命中的概率分别为

与

25

（Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概解）依题意，记“甲投一次命中”为事件A投一次命中”为事件B，则(P(B),PA)P(B)5甲、乙两人在罚球线各投球一次，恰好命中一次的概率为

.（Ⅱ）∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为P

9∴甲、乙两人在罚球线各投球两次至少有一次命中的概率P

.91答：甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为100

.∵“甲、乙两人各投球一次，恰好命中一次”的事件为

(((

152变2

（06四卷某课程考核分理论与实验两部分进行部分考核成绩只“合格”与“不合格部分考核都是合格”则该课程考核“合格乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7是否合格相互之间没有影响

在验考核中合格的概率分别0.8,0.7,0.9

所考核（Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；（Ⅱ）求这三人该课程考核都合格的概率保留三位小数）解记“甲理论考核合格”为事件A理论考核合格”为事件A理考核合格”为事件；记为的对立事件，i1,2,3ii

；记“甲实验考核合格”为事件B实验考核合格”为事件B实考核合格”为事B；3（Ⅰ）记“理论考核中至少有两人合格”为事件，为C对立事件解法：AAAA331223312

解法：

0.70.902AA/p>

0.0980.902

所以，理论考核中至少有两人合格的概率为（Ⅱ）记“三人该课程考核都合格”为事件12

01223

230.9

25112511所以，这三人该课程考核都合格的概率为题五独立复验率

若在

次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖其它各次试验的结果，则此试验叫做

次独立重复试验。若在1次试验中事件A发的率为，在

次独立惩处试验中，事件A恰发生k次的概率为Pkn

。高考结合实际应用问题考查n次立重复试验中某事件恰好发生次概率的计算方法和化归转化、分类讨论等数学思想方法的应用。例（2005湖卷某会议室用5盏照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为年上的概率为p，命1为2年以上的概率为从使用之日起每满1年行一次灯泡更换工作更换已坏的灯泡，2平时不换.（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换灯泡的概率；（Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；（Ⅲ）当=0.8=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换只泡的概率12（结果保留两个有效数字解在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为p,需要更换2只泡的概率为2);（II）对该盏灯来说，在第1次更换了灯泡的概率为1-p）；第一次未更换1灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p(1-p，故所求的概率为1p(11

2

p(11（III）至少换只灯泡括换5只换4两种情况，换只概率为（中p为（II）中所求，下同）换只概率为C5p51(1p

（至少换只泡的概率为又当p0.8,p时,p2

0.80.6p0.6540.4即满2年至少需要换4只灯泡的概率为0变1为拉动经济增长某市决定新建批重点工程为基础设施工程民生工程和产业建设工程三类这三类工程所含项目的数分别占总数的,,.现名人独立地从中2任选一个项目参与建.求Ⅰ)他选择的项目所属类别互不相同的概率Ⅱ至有1人选择的项目属于民生工程的概.11．11911．119解记i名人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件，i，C，i，ii2，．题知A，A，A相独立，B，B，B相独立，C，C，C相独立，A，B，ij（i，j，k12，3，i，j，不相同）相互独立，PA，P，i2i(C．i6（Ⅰ）他们选择的项目所属类别互不相同的概率PPA(P(C111236（Ⅱ）至少有人选择的项目属于民生工的概率P(BB)P(P)P)(13变2津1甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，乙球2次2均未命中的概率为

116

．（Ⅰ）求乙投球的命中率

p

；（Ⅱ）求甲投球2次至少命中1次的概率；（Ⅲ）若甲、乙两人各投球2次求两人共命中2次概率．解：本小题主要考查随机事件斥件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分（Ⅰ）解法一：设“甲投球一次命中”为事件投一次命中”为事件B由题意得

116解得

p

3或（舍去以乙投球的命中率为．44解法二：设设“甲投球一次命中”为事件A投一次命中”为事件B．由题意得

P)()

113，于是(B)或PB（舍去()164

．3所以乙投球的命中率为．4（Ⅱ）解法一：由题设和（Ⅰ）知2故甲投球次至少命中次的概率为1A4

．解法二：由题设和（Ⅰ）知2故甲投球次至少命中次的概率为C1P4（Ⅲ）由题设和（Ⅰ）知，224甲、乙两人各投球，共命中有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中两次，乙两次均不中；甲两次均不中，乙中2次概率分别为CP166464所以甲、乙两人各投两次，共命中次概率为

31911166432

．题六随变概分与望解决此类问题时先明确随变量可能取哪些值后按照相互独立事件同时发生概率的法公式去计算这些可能取值的概率值即可等到分布列后根据分布列和期望差公式去获解考离散型随机变量分布列和数学期望等概念和运用概率知识解决实际问题的能力。例

（2005湖卷）城市有甲、乙、丙旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，客人是否游览哪个景点互不影响，表客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对（Ⅰ）求的布及数学期望；（Ⅱ）记“函数fx)＝xξx＋在[，＋∞)

上单调递增”为事件A，求事件A的率解）别记“客人游览甲景点览乙景点览丙景点”为事件A，A，A.由知A，A，相互独立P（A），（A），12321（A）3客人游览的景点数的可能取值为2相地，客人没有游览的景点数的可能取值为，2，1，0所以可能取值为，（）（A·A·A）+（13

1

）=PAP（）（A）（123，（）=1－

)())12

）所以

的分布列为

0.24E

（Ⅱ）解法一因f(x)

92,4所以函数f(xx

[

上单调递增，要使

f()[

上单调递增，当且仅当

3即2

.从而()

(0.76.解法二：的能取值为1当时函数当时函数

f(x)f(x)

22

在区间[2,区间[

上单调递增，上不单调递增.所以()

例2

（2005辽卷某工厂产甲、乙两种产品产品都是经过第一和第二工序加工而成两道工序的加工结果相互立道工序的加工结果均有A、两个等对每种产品，两道工序的加工结果都为A级，产品为一等品，其余均为二等品.（Ⅰ）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率、P；（Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用ξη分别表示一件甲、乙产品的利润，在I的条件下，求ξ、η的布列及ξ、η；（Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所.工厂有工人40名，可用资金万元设x、分表示生产甲、乙产品的数量，在II）条件下，、y为值时，xEyE

最大？最大值是多少？（答须给出图示）（Ⅰ）解：

P0.80.850.68,甲

P0.75乙

………2分）解：随机变量

、

的分别列是

2.5

2.50.6

1.50.4

2.5

2.52.1.

………6分（Ⅲ）解：由题设0,

目标函数为yE4.2xy…分作出可行域（如图

0.作直线

l:

2.1y将l向上方平移至l位置时，直线经过可行域上的点M与原点距离最大，此时z4.2x2.1yy60,取最大值.解程组

…………分得x4,y

即4

时，z取大值，z的大值为25.2……………分变1

甲乙人做射击游戏甲两射击击中与否是相互独立事件规则如下：若射击一次击中，原射击者继续射击，若射击一次不中对方接替射击。已知甲乙两人射击一次击中的概率均为

，且第一次由甲开始射击。（1求前射击中，甲恰好射击3次概率。（若第次甲射击的概率为，数列

式求lima，并说明极nn限值的实际意义。解：记A甲射击，为乙射击，则）前射击中甲恰好射击3次列举为AAAB，n2312123123123n2312123123123其概率为

7771638888512）第

n

次由甲射击这一事件，包括第n次甲射击，第

n

次继续由甲射击这一事件以第次乙射击，第

n

由甲射击这一事件，这两事件发生的概率是互斥的且发生的概率分别为

71a与)88

则有关系式

71+(1)a88其中

1a。=（a列24

列11a()22

liman

n

=

11lim(())=n224实际意义为当甲、乙两人射击次数较多时，甲、乙两分别射击的次数接近相等。变2

（07重理某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初保险公司缴纳每辆

900

元的保险金在一年内发生此事故的每辆汽车可获

9000

元的赔假111设每辆车最多只赔偿一次三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为，，，911且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：（Ⅰ）获赔的概率；（Ⅱ）获赔金额

的分布列与期望．（小13）解：设表示第k辆在一年内发生此种事故，

k知，A，A独立，23且

(A)1

11，PA)，()910

．（Ⅰ）该单位一年内获赔的概率为89101()()P(A)P()91011（Ⅱ）所有可能值为09000，18000，．

．P(

891080)PAAA)((A)P()99000)(AA)AA)(A)213

，((AP(A)(A)P(A)(A)A)P()PA)21231318191011112421199045

，(

18000)P(AA)(AA)AA311233()PAP)()P(A)P()(P()(A)231211101991011273990110

，P(

27000)AAA))))12311910

．综上知，分布列为P

1145

27000求

的期望有两种解法：解法一：由分布列得

81190001145110990

2990011

≈2718.18

（元解法二：设表示第

k

辆车一年内的获赔金额，

则有分布列P

0

9000故

1

19

．同理得

2

9000

11900，E9000818.181011

．综上有

EE10002718.1813

（元题七散随量率布设离散型随机变量的分布列为

x1

x

2

i

P

P

P

i它有下面性质：①

Pi)i②

pp1i

即总概率为；③期望

xx方DEE11iiii离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之.高考常结合应用问题对随机变量概率分布列及其性质的应用进行考.例题

(2004年全国高考题)某同学参加科普知识竞赛,回答三个问题,赛规则规定:每题回答正确得,回答不正得100分假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8,且各题回答正确与否相互之间没有影响①求这名同学回答这三个问题的总得分的概率分布和数学期望②求这名同学总得分不为负分(解取值为

)的概率(20.008

；(

100)3

2

0.096;(

100)30.2

(0.512所以的概率分布为§

0.384

100100963000.512这名同学总得分不为负分的概率为(100)(300)0.384变（2010天理某射手每次击击中目标的概率是

，且各次射击的结果互不影响。（Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有次击目标的概率2253233333312322123222253233333312322123223123（Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次续击中目标。另外2次未击中目标的概率；（Ⅲ）假设这名射手射击3次每次射击，击中目标得1分未击中目标得0分，3次击中，若有2次续击中，而另外1未击中，则额外加；若3次击中，则额外加3分，记射手射击3次后的总分数，求布列。（）：设

X

为射手在5次击中击中目标的数，则

X

~

B

.在5次击，恰有2次中目标的概率(2)2243（Ⅱ）解：设“第

i

次射击击中目标”为事件

A(i1,2,3,i

手5次击中，有3次连续击中目标，另外2次击中目标”为事件,则(A)PAA)(A)(AA)3513514=

1=

881（Ⅲ）解：由题意可知，的有可能取值为

0,1,2,3,6

0)()27

(A)(AA))113=

123P

21242)PAAA33313)()(AAA33278(AA所以分布列是题八标正分例

（06湖）某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩似服从正态分布N(70,100)

。已知成绩在分上（含90分的学生有。（Ⅰ问次参赛学生总数为多少人？（Ⅱ该计划奖励竞赛成排在前50名的学生试问设奖的分数线约为多少分？可查的部）准态布

()xx0

1.21.31.4902.1

点评本题主要考查正态分布独立事件的概念和标准正态分布的查阅查用概率统计知识解决实际问题的能力。解Ⅰ）设参赛学生的分数为

，因为

～，，条件知，P(

≥＝－（

）＝－＝－

(

＝1－

＝1＝0.228.这说明成绩在90分上（含90分的学生人数约占全体参赛人数的2.28，因此，参赛总人数约为

12

≈（人（Ⅱ假设奖的分数线为分P(

≥x＝1（

<＝1F(90)＝1

(

x

＝5070＝，即()＝，查表得5261010故设奖得分数线约为83.1分

≈，解得＝83.1.题九二分列例

（06辽）有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十元，一年后利润万元、万元、1.17万的概率别为

11、、;已知项目的利润与产品价格的调整有关,63在每次调整中价格下降的概率都是(0p

设乙项目产品价格在一年进行次立的调整,乙项目产品价格在一年内的下降次数为

乙项目每投资十万元

取12时一后相应利润是1.3万、1.25万0.2万随机变量、分表示对甲、乙两2项目各投资十万元一年后的利(I)求

、

的概率分布和数学期望

E

、

;(II)当

时求

的取值范围【解析】(I)解法的率分布为

1.21.17

16

13E=1.2

11+1.18=1.18.62由题设得B(2,p)

则

的概率分布为2

(1p

p)

故的率布为

1.3

(1p

p)

所以

的数学期望为)

2

+

p(1)

+

0.2

=

解法2:

的概率分布为

1.21.17

16

13E=1.2

11+1.1862

=1.18.设A表事”第i次调整,格下”(i=1,2),则iP(A)P(A))2

;P(

PA)P()()())21

;P(A)P(A)故的率布为

1.3

(1p

p)

所以的学期望为)

2

+

p(1)+0.2=

2

p

(II)由

E

得:

2

(p00.3因所

时,p的取值范围是0<p<0.3.变（全II)

购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费

元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得000的赔偿金．假定在一年度内有人购买了这保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10元概率为

10

．（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率

；（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50元为保证盈利的期望不小于，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是

p

，记投保的10000人出险的人数为则

，~B4，)

．（Ⅰ）记表示事件：保险公司为该险种至少支付10000元赔偿金，则A发生当且仅当

，·······································································································2分P()(A(

0))

，又

()10

，故p0.001．·······························································································5分（Ⅱ）该险种总收入为0

元，支出是赔偿金总额与成本的和．支出

10

，盈利

a(10000)

，盈利的期望为

E00

1

5·········································由

~B4

)知

10000

，E

4

a

4

E

4

4

a

4

4

4

．

≥

0

4

a

4

4

≥

0

≥

0≥

（元故每位投保人应交纳的最低保费为元·························································题十线回分例（2007高考东下表提了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量

（吨）与相应的生产能耗（标准煤）的几组对照据

y

3

请画出上表数据的散点图；请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出ｙ关于ｘ的线性回归方程ybx

；