概率统计习题册答案

一、概率公式题目、知

P

P

求

解

B

0.50.54、知

P

P

求

B解

B

0.220.79

。、知随机变量

，即

X

有概率分布律

k!

()

，并记事件

；（2

；（）

解1

P

；（）

P)

;（）

Xe1PXXe2、、乙两人独立地对同一目标射击一次，其中率分别为和0.5，已知目标被命中，它是甲中的概率是多少？解设“射击一次命中目标B=乙射击一次命中标(AA)=

(侨AB))P()0.6==0.75(A)(AP(B)-P(AB)0.6+0.5-1041045了防止意外内时设两种报警系系统单独使用时效概率系统A为0.92，系统B为0.93，在A灵的条件下，有的概率为0.85，：（）生意外时，这两个报警系统至少有一个有效的概率灵的条件下，A有的概率。解设

系统A有效”B“统有”

,

0.15

4、长期统计资料得知，某一地区份下雨（记作事件）概率为，风（记作事件B）15概率为

71，既刮风又下雨的概率为，1510

(1)(2)P(3)P

。解

P

110

7

314

；1513PBA815(3)

47119151510

。(X150)f(X150)f()二、已知密度函数）概率的题目、批晶体管的使用寿命X(小时的密度函数

100f(x)

x

，0x任取其中只，求使用最初150时内，无一晶体管损坏的概率。解任晶体管使用寿命超过小的概率为1002设Y为取的只晶体管中使用寿命超过小的晶体管数，则~(32183())03327

).有、城市每天耗电量不超过一百万千瓦小时，该城每天耗电率（即每天耗电量/百万瓦小时）是一个随机变量X，它的分布度为

fx

x其他

，若每天供电量为万瓦小时，求任一天供电量不够需要的概率？解每供电量万瓦小时，所以供给耗电率为万千瓦小/百分千瓦小时=，供电量不够需要即实际耗电率大于供给耗电率。所以

。、种号的电子管的寿命X（小时计）具有以下的概率密度1000(x0

x

，现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立，问其中至少有2只命大于小的概率是多少？2525解一电子管寿命大于小的概率为(1500)(X1500)

15001000

1000()x

15001000

2)3令Y表“任取只此种电子管中寿命大于1500小的个数~

)，11Y2)(YY)5))31112323243243

4

、某些生化制品的有效成分如活性酶，其含量会随时间而衰减。当有效成分的含量降至实验室要的有效计量下，该制品便被视为失效。制品能维持其有效剂量的时间为该制品的有效期，它显然是机变量，记为X。多数情况下，可以认为X服从指数分布。设它的概率密度函数为：,xf()x0

（x的单位月）（）一批产品中抽取样品，测得有50％的样品有效期大于4个月，求参数的。（）一件产品出厂12个后有效，再过12个后它还有效的概率有多大？解指分布的分布函数为

X0（１）

解出

ln234

（２）

X12

e

、K在，）上服从均匀分布，求

的方程

x2Kx

有实根的概率。解要

有实根，则

ACK

则

K或K

，又因为

K~U

。3,3,三、分布函数密度函的题目0、随机变量X的布函数为F(x)arcsin1

a

a

，求数A，；(2)求

X

；(3)求X的布密度。解）由F(x)在,

AB处的右连续性知B

解之得

（2

X（3因为

f(F

'

(

，则

f()

2

2

x

x

0,

、随变量的布函数为

F

arctanxax

，求）常数

A

B

；（）

P

3

；（）

X

的密度函数

f

。解）由分布函数的右连性知：

FlimAABxa44，所以FaBABFB4

；331（）PX033

；（）

f()F

x

2

x

。

0,

其它xx

0,

x、随变量

X

的分布函数为

F

x

，

1,

x求：(1)常数；

(2)

X

；

(3)X

的密度函数

f

x

。解）由分布函数的右连性知：

F

AlimF

，所以；（）

x

；（）

f()

x

x

其它

。、随机变量

的分布函数为

Fx

Be

x0

0

x求）数

A

；（）

X

ln

；（）

的密度函数。解(1)由于

F

内连续，

Fx0x

xA2

A又

F2x

A

故

10

x0x

ln4Xln9

=FlnFln

1126

的密度函数为

f

x

x

0

x、连性随机变量

,x的分布函数为F()0.

，求：(1)常数A，B；{；(3)

的密度函数

f

。1xxxx1xxxx解）由分布函数的右连性及性质知：F00

x

，所以；A（）

P

；（）

f()

x

,

xx

。、随变量X的率密度函数为

Afx

,

x

，求数A；

求

x求X分布函数。解(1)

1

f

1

2

dxA0

所以

1

0.5

f

0.5

11

2

dx

2

0

13（3

当x

F

f

dt0

x时

F

f

f

arcsin

x

当x

F

f

f

1

f

所以

1Farcsinx2

xx11xx11x、连型随机变量

的密度函数为

fx

x,

x

，求：

的分布函数；

。解1由

f(x

2

cosxdxx

22

，

a

；（）

P

1x2

40

；（）

F)

f(t)dt

x12

costdt

x2

x、随变量

的密度函数为

2f

其它

，求）常数

A

；（）

X

；（）

X

的分布函数

F

。解1由

f()

0

2

dx

x

10

A，A3；1（）40

2

3

140

；（）

F(

x

f(t)dt

dt

x

,

x

11、随变量X的密度函数为fx

Ax

其它

，求（）数

；（）

0.5（）

的分布函数

F

。解1由

f()

0

A

x2

10

A

，

；（）

0

2

0

；（）

F(

x

f(t)dt

x

tdt,

2

,

x

四、变一般正为标准态分布求概率、查某地方考生的外语成绩X近服从正态分布，平均成绩为分分上的占考生总数的。求：考生的外语成绩在60分至分之间的概率；该地外语考试的及格率；（3若已知第三名的成绩是96分求不及格的人数

，

(2)0.977

）解依意，

~N

)且P

967296

)查得设全班人数为n由(2)知及格率为0.1587，则

n

20.023

，则不及格人数为

n、高校入学考试的数学成绩近似服从正态分

，如果85分上为“优秀数学成绩为“优秀”的考生大致占总人数的百分之几。

解依意，

X~N

，

分上学生为优秀，则

0.9772所以优秀学生为。、某工程队完成某项工程所需时间X（天）近似服从

N2)

。工程队上级规定：若工程在100天内完工可获得奖金万元在100~115天完可获得奖金万元超115天工款4万。求该工程队在完成此项工程时，所获奖金的分布律。（参考数据：

）YPXYPX0.0013P解设获奖金为Y万，Y是X的数，可取值为－4，3，5115所以可奖金Y的分布律为：

Y

公汽车门高度是按男子与车门碰头的机会在0.01以下设计的子身高

X~问车门的高度应如何确定？（

）解设门的高度为厘，则

170x1706

0.99

，

所以

x6

2.33,

x183.98

。即车门的高度至少要

1

厘米。、公共汽车门的高度是按男子与门碰头的机会在0.01以下来设计的，设男子的身高

X

N问车门的高度应如何确定(

)解设门的高度为

厘米，则xXx0.01

，

所以

x7

x

。即车门的高度至少要1

厘米。、地区18岁的女青年的血压（以mm-Hg计服从

N

)

，在该地区任选一18岁女青年，测量她的血压X。求）(X≤105)）P(100<X

，

(1)0.8413

）解

(1)(105)

10511010

)0.69150.3085

X120)

110110)10

)40.6101xx101xx五、数学期、方差的目1、设随机变量X的概率密度为：求E(),D(

(x)其它

，解：

E所以

x2f()0D

x

2

162、一工厂生产的某种设备的寿命X(以年计)服从指数分布,X

的密度函数为

ef)0,

工厂规定,出售的设备若售出一年之内损坏可予以调换若工厂售出一台设备赢利元,调换一台设备厂方需花费200元.试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。解：表示厂方出售一台设备净赢利,有100gX

XE

10

edxdx41200

1001所以每台的净赢利的数学期望4

100ii3、设有10只同种电器元件，其中有两只废品，从这批元件中任取一只，如是废品则扔掉重取一只，如仍是废品则扔掉再取一只，求：在取到正品之前，已取出的废品数的期望和方差。解：设为取到正品之前已取出的废品数，则的分布为X

2故()

821101010882(X)4594545D(X)(

2

)()]

128845814054、一袋中张卡片，分别记

从中有放回的抽取k

张来，以X表示取出的

张卡片的号码之和，求解：设X表示m次取出的号码，则X的分布律为mm

1n

,i

nmk，ni所以ni

，X12

，k则1

k

n2

k5、已知随机变量X的密度函数为x

x,

，对独立观察3，表示观察值大于布函数；（3）

6

的次数。求的分布律；（2Y的分bb解：令6

11cossin22

14（1）Y

的分布律为：

3

k

（2）

0,

27

,

027F

1y

；6364

,

2E（3）

3926车间生产的圆盘直径在区匀分布，试求圆盘面积的数学期望。解：设X为圆的直径，为圆的面积，则

4

，因为~U

所以

X的密度函数为fx

1b0,

a所以ESa

x2

3

ba

2

ab

2

7厂生产一种化工产品，这种产品每月的市场需求量X（吨）服从区间[0，5]的均匀分布．这种产品生产出来后，在市场上每售出吨可获利6万元。如果产量大于需求量，则每多生产1吨要亏损4万元如果产量小于需求量则不亏损但只有生产出来的那一部分产品能获利了使每月的平均利润达到最大种产品的月产量a应该定为多少吨？a5a42331a5a42331解：因U(0,5)X的概率密度为fx)Y为该厂每月获得的利润（单位：万元据题意

。)X当时()a当时该厂平均每月利润为：

。＝(f())

f(x)x)dx

0

10xa5

dx

a

6a2dx6a55

2

。由

dE(Y)d(6ad

2

)a0可解得（吨可见，要使得每月的平均利润达到最大，月产量应定吨。02,8随机变量X的概率密度为(x)x4,,其他.3已知(X)2,PX4求,的值；（2）随机变Y

X

的数学期望。解（1）

fxdx

4

()

2

xbx2222

xfx)

axdx2

8()xdxa3333(cx)，4221aa24解方程组；bc24（2）Y

)

x

f()

14

xe

11(xdx(e44

29设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周五个工作日里无故障可获利润1万元发一次故障可获利万元发生两次故障获0万元，发生三次或三次以上故障则亏2万元，求一周内的利润期望。解：设一周个工作日内发生故障的天数为X，则X~B为一周内获得的利润，T为离散型随机变量，其所有可能取值为（万元）其分布律为：0.8543即可获利润T的分布律为：

0.057T-20P0.0570.205

50.410

100.328E0.2050.410。fxfx六、点估计（估计和大似然估计）的题设总体

X

概率密度为：

fx

x0,

0x其他

其中参数

0

且未知设

,X,1

X

n

为总体的一个样本

xx,,x是样本值，求1n

的矩估计量和极大似然估计量。、知机变量X的密度函数为

fx)

其他

，其中未参数，求矩计量与极大似然估计量。、总体概密度为

)f(x)0,

x其他

，其中为知参数，

,X,,为体的12一个样本

x,x,1

n

是样本值，求参数矩计量和极大似然估计量。、总具有布律：X123

2

(1

)

其中

为未知参数，已知取得了样本值

xx，x1

。试求矩估计值和极大似然估计值。、总

的密度函数为：

xe00

，其中

为未知参数,X,12

,

n

是来自总体的本，求参数矩计量和极大似然估计量。、

,X12

n

为总体

的一个样本,

的密度函数

f(x)

x0其

（其中未知参数,,,是样本值，求参数12

的矩估计量和最大似然估计量。、

,X,1

n

为总体

的一个样本

的密度函数

f()

ex

，其中未知参数

，

x,x,1

n

是样本值，求参数

的矩估计量和最大似然估计量。、知机变量X的密度函数为

x5)f(x

x6其他

，其中

为未知参数，设

12

,

n

为总体的一个样,

x,x,1

n

是样本值，求参矩计量和极大似然估计量七、区间估计考某大学成年男性的胆固醇水,抽取了样本容量为25的一个样本并测得样本均值为x样本标准差为。定胆固醇水平

~(

),与均知求总体标准差的置信度为90%的置信区间

(24)36.415，

2

）设某异常区磁场强度服从正态分布

N)

，现对该地区进行磁测，今抽测1个点算得样本均值x

样本方差

s

2

0.003

，求出的置信度为95%的置信区。考数据：0.025

(15)

0.975

(15)

0.025

(16)

0.975

(16)

、某单位职工每天的医疗费服从态分布

N

)

，现抽查了

天，得

x

，

30

求职工每天医疗费均值

的置信水平为

的置信区间。（

t

0.025

t

0.05

）某超市抽查80人调他们每月在酱菜上的平均花87费发现平均值为

x

元样本标准差

元。求到超市人群每月在酱菜上的平均花费置信度为95%的间估计。（

t

1.96

，

t

(80

1.65

）、随机地取某种炮弹

发做试验，测得炮口速度的样本标准差

，设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差置信度为0.95

的置信区间。0.975

(8)

0.025

(8)17.535,

0.975

(9)2.7,

0.025

(9)

、某店一年来的发票存根中随机抽取26张算得平均金额为元样标准差为20元假定发票金额服从正态分布求商店一年来发票平均金额的置信度为90%的信区间。

(25)t

(26)1.7056,

(25)2.0595,

(26)2.0555xs2xs20.05八、假设检验、某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取25位考的成绩，算得平均成绩为x=66分，标准差分显性水平

下可认为这次考试全体考生的平均成绩为71分？并给出检验过程考据：

t

(24)2.0639

，

t

(24)

）、器动包装食盐，设每袋盐的净重服从正态分布，要求每袋盐的标准重量为500克某天开后，为了检验机器是否正常工作从经包装好的食盐中随机取9袋测样本均值

x

样本方差S16.03

2

.问这天自动包装机工作是否正（

0.05

）？（参考数据：t

t

）、设有正态分布总体

X

的容量为100的本，样本均

x

均未知，而100

i

，在

水平下，是否可以认为总体方差为

.5

？i

设总体

X

服从正态分布

N)

,从中抽取一个容量为

的样本，测得样本标准差

S

，取显著性水平

0.05

，是否可以认为总体方差为

（

(15)

；

1

(15)6.262

；

(16)

；

1

）、某概率统计课程期末考试的学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取6位生的成绩，算得平均成绩为分样本标准差为9.3分问在显著性水平0.1下，是否可以认为这次试全体考生的平均成绩为70分？给出检验过程。

t

t

t

1.6883、百商场的日销售额服从正态分布，去年的日均销售额为53.6万，方差为36.今年随机查了10个销售额，算得样本均值元，根据经验，今年日销售额的方差没有变化。问：今年的日平均销售额与去年相比有无显著性变化

）？（

t

）、广公司在广播电台做流行歌曲磁带广告，它的广告是针对平均年龄为21岁年轻人。广告公司想了解其节目是否为目标听众所接受。假定听众的年龄服从正态分布，现随机抽400位听众进行调查，得岁，以显著性水平判断广告公司的广告策划是否合实际？检验设

:0

:01

0

(

t

0.025

0.025

)ˆnˆ66ˆnˆ5ˆniˆnˆ66ˆnˆ5ˆni六、点估计（估计、大似然估计）的答案、：

(X)

x

dx

令

X

得

的矩估计量

X1

似然函数为

L

f(x)i

i

)

()i

ii

ilnLln

i

lnx

i

.由

lnLn1d2

i

lnx

i

得的大似然估计量

n

2

。n(lnX)ii

2、：

5

xdx(5

1故的估计量为

16X

似然函数

L

f(;i

(xi

故iilnL(

)ln(1

)

ilnL(n1i

iiln(Xii

、：

(X)

x)

令

1令

11,矩估计量为X

。似然函数为

L

(xii

)

())iii

ilnLln

)ii

.由

lnLln(1)iˆ2ˆˆ3ˆxˆiˆˆˆnˆnˆiˆˆ2ˆˆ3ˆxˆiˆˆˆnˆnˆiˆ得

的极大似然估计量为

n

。ni

ln(1)i、：

x

1433令

43

，所以

为的矩估计量，矩估计值为

。L

Pi

i

1

2

3

lL

l

lnL1

，得

L

。、解

()

)dxxe

,令

X

,得

的矩估计量为

X

。先写出似然函数

L

n)f(x)ii

i

e

i

x/i

,取对数得

lnL(ln

i

x

i

.似然方程为

lnL(

i

xi解得极似然估计值为

x；极大似然估计量为

X

。、：

(X)

10

x

dx

令

故的估计量为

X似然函数

L(

f(;i

xi

lLl

niii

idlnLn令d

i

lnxi

的极似然计量

nlnX

ii、：

()

0

x

dx

1

令

1

故

的矩估计量为

1似然函数

L

f(;i

e

lLliii

idlnL(令d

i

i

的极大似然估计量为

1n

1i

X

i

1X66ˆˆnn222227.50.0250.0252266ˆˆnn222227.50.0250.02522、：

5

x

dx

(5

(x

dx

1故的矩估计量为

16X

似然函数

L

f(;ii

故iilL

l

(i

5)idlnL)nd1i大然估计量为

lni

5

0nln

i

5)i七、区间估计答案(S2(n、：公知的置信度为1的信区间为(,)(n(/212而n，，1

,

2

n

(24)36.415

，代入可得

的置信区间为(、：

16,

(15)

的

1

置信区间为1

0.00315

、：知

25,x30

，

t

，以置度为95%的侧置信区间为：S30Xtn