第36招 归纳法、定义法、公式法、累加法、累乘法

n*n*【知识要点】一、数列的通项公式如果数列

项a

n

和项数n之间的关系以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式即

afn)n

.不是每一个数列都有通项公式.是每一个数列只有一个通项公.二、数列的通项的常见求法：通项五法1、归纳法：先通过计算数列的几项，再观察数列中的项与系数，根据

与项数

的关系，猜想数列的通项公式，最后再证明.2式在已知数列中存在a

d(常数或n

(0)

的关系采求等差数列、等比数列的通项公式的求法，确定数列的通项；若在已知数列中存在：

(a或()n

的关系，可以利用项和公式

(n1(n

，求数列的通项3、累加法：若在已知数列中相两项存在n

n

f()(n

的关系，可用“累加法”求通累乘法：若在已知数列中相邻两项存在：构造法(见下一讲【方法讲评】方法一

n(n归纳法

的关系，可用“累乘法”求通.使用情景解题步骤

已知数列的首项和递推公式观察、归纳、猜想、证明.【例1】在数列{

n

}，

1

，且n

n

an(2)n

，（1求

,2

4

的值；（2猜测数列{}通公式，并用数学归纳法证.n【点评题解题的关键是过首项和递推关系式先求出数列的前n项进猜出数列的通项式，最后再用数学归纳法加以证明（）归纳法在主观题中一般用的比较少，一是因为它要给予严格证明，二是有时数列的通项并不好猜.如果其它方法实在不行，再考虑利用归纳.【反馈检测1在调递增数列{}中，且

aa

成等差数列，,

a

成等比数列，2,3

．（1分别计算a，a和a，的；（2求数列{}的项公式（将a用表n（3设数列{}前项和为，明：，n*方法二

公式法nn使用情景

已知数列是等差数列或等比数列或已知

(a或S()nn

.已知数列是等差数列或等比数列先出等（比数的基本量

a1

再入等解题步骤

差（比）数列的通项公式；已知

(a或S()n

的关系，可以利用项和公式a

S(n1Sn2)nn

，求数列的通项学*网【例2已知数列

n

n

是其前n

项的和满足a21

对切n

都有

S2ba成立，设．n（1求）证数列2

是等比数列；（3求使

b12

成立的最小正整数n的．【点评】利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出【反馈检测2】已知等比数{

n

}中，

a1

,公q

,

a2

4

又分别是某等差数列的第

项，第

项，第1项(1)求a；设n

b,求数列{|}前n项和T.n2nn【例3】数列

n

}的前n项和为

n

，

a1

=1，

a

n

2S

n

(n∈

),求{

n

}的通项公式.1112nn1112nn【点评）已知

(a或S()n

，一般利用和差.如果已知

f(n

n

f(a)n

也可以采用和差法.（）利用此法求数列的通项时，一定要注意检验n否满足，能并则并，不并则分.【例4函数

f(

2

是列{}前项和nn

（n

曲线yf(x)上（）求数{}n

的通项公式若b)

，

c

an6

，且T是数列{}的前项.试nn问T是否存在最大值？若存在，请求出T的大值；若不存在，请说明理.nn【解析）为点

n

在曲线yfx

上，又

f

2

，所以

.当

n

时，

a1

.当时ann

n

2n)n2所以

ann

.（Ⅱ）因为

1(9)()nb)ncbn)()262

①所以T)2)3)()n2

②11T))))()22

n

③11②－③得T))3)(3)()22

12

11()2[1)21

n

]

1n)()2

n

.整理得

T)

，④方法一利用差值比较法由④式得

T

n3)()n

，所以nnnn1111Tn)n)[(2n)n)22231n)n)()n22

因为

，所以

.又)n

，所以

Tn

0n

所以

T

n

n

，所以

T12

n

.所存最值1

方法三利用放缩法由①式得c

1)]()()

，又因为

Tn

是数列

{}

的前

项和，所以

Tn

n

n

.所Tn123所以T存最大值Tn1

.【反馈检测3】已知数{

n

}的前n项Sn

1n

(

n

)，求{

n

}的通项公式方法三

累加法使用情景

在已知数列中相邻两项存在：

an

n

f()

n

的关系解题步骤

先给递推式

an

n

f()

n中的2开赋值，一直到n，一共得到n式子，再把这n个式子左右两边对应相加化简，即得到数列的通.【例4已数列

nn

，

，

a

，

S

n

为数列

n

项和n为数列

n

项和.（）数列

求列n

n

项和

S

n

）求证：

n2

.【解析）法一a

n

)nnn211

，

n

n

1n1

n

【点评）本题

an

n

，符合累加法的使用情景

an

n

f()(2)

，所以用累加法求数列的通项（）用累加法时注意等式的个数，是

个，不是

个【反馈检测4】已知数列

{}n

满足a

n

，求数列

{}n

的通项公式方法四

累乘法使用情景

若在已知数列中相邻两项存在：

n(2)n

的关系解题步骤

先给递推式

n(中从2开赋值，一直到一共得到个式子，再n把这n式子左右两边对应相乘化简，即得到数列的通.【例5】已知数列

aa求n【点评）由已知得

n,nn

符合累乘法求数列通项的情景，所以使用累乘法求该数列的通项.（）用累乘法求数列的通项时，只要写出等式就可以了，不必写n个等式【反馈检测5】已数列

{}n

满足a

n

，1

，求数列

{}n

的通项公式2nn2nn第36【反馈检测案】

a3，6，354

，

a6

①当

时，

a

2

a1

，

a

222

2

，猜想成立；②假设N*)

时，猜想成立，即

2

k(k

a2

(k2

，那么

2(k

2

22

2

(2k(

ak

a2

a2ka2k

k2)2(k22

(k2

2

2∴

时，猜想也成立．由①②，根据数学归纳法原理，对任意的

*

，猜想成立．∴当n奇数时，

a

n2(2

；当

为偶数时，

(

2

．即数列

{}n

n3),n奇数8的通项公式为(n,n数

．,为数nn3)（方法）由（）得8,为数n2)

．以下用数学归纳法证明S

，

*

．①当时，

31

；当

2

时，

2

3412

．∴,

时，不等式成立．②假设(k2)

时，不等式成立，即S

kk

，那么，当k为奇数时，

k8k3)

2

4(k2kk8kk2k(kk

(k

；当

为偶数时，n=n=S

82(k2)(4)

kk2k8kk(2)(k(kk3)(k4)

(k

．∴

时，不等式也成立．综上所述：

4n【反馈检测案）a64)

n

；(2)

T

13)2(n7)(n6)2

21

((n

【反馈检测案】

a

n1n1【反馈检测4答】an

n

学科*网【反馈检测4详解析】由

n

n

得

n

n

则a)n

n

n

a)31(2

(2

n

2

n

n

2

1

1

)

n

所以

【反馈检测5答】

a