行列式计算技巧方法计划

队列式计算技巧及方法计划队列式计算技巧及方法计划PAGEPAGE36队列式计算技巧及方法计划PAGE队列式的假定干计算技巧与方法

内容纲要

队列式的性质

队列式计算的几种常有技巧和方法定义法

利用队列式的性质降阶法

升阶法〔加边法〕数学概括法

递推法

队列式计算的几种特别技巧和方法拆行〔列〕法

结构法

特色值法

几类特别队列式的计算技巧和方法三角形队列式“爪〞字型队列式“么〞字型队列式“两线〞型队列式“三对角〞型队列式

范德蒙品德列式

队列式的计算方法的综合运用

降阶法和递推法

逐行相加减和套用范德蒙品德列式

结构法和套用范德蒙品德列式队列式的性质

性质1队列交换，队列式不变．即

a11a12a1na11a21an1a21a22a2na12a22an2.

an1an2anna1na2nann

性质2一个数乘队列式的一行〔或列〕，等于用这个数乘此队列式．即

a11a12a1na11a12a1n

kai1kai2kainkai1ai2ain.

an1an2annan1an2ann

性质3假如队列式的某一行〔或列〕是两组数的和，那么该队列式就等于两个队列式的和，且这两个队列式除掉该行〔或列〕之外的各行〔或列〕全与本来队列式的对应的行〔或列〕同样．即a11a12Ka1na11a12Ka1na11a12Ka1nMMMMMMMMMMMMb1c1b2c2Kbncnb1b2Kbnc1c2Kcn.MMMMMMMMMMMMan1an2Kannan1an2Kannan1an2Kann性质4假如队列式中有两行〔或列〕对应元素同样或成比率，那么队列式为零．即a11a12a1na11a12a1nai1ai2ainai1ai2aink=0.kai1kai2kainai1ai2ainan1an2annan1an2ann性质5把一行的倍数加到另一行，队列式不变．即a11a12a1na11a12a1nai1cak1ai2cak2aincaknai1ai2ain.ak1ak2aknak1ak2aknan1an2annan1an2ann性质6对调队列式中两行的地点，队列式反号.即a11a12a1na11a12a1nai1ai2ainak1ak2aknak1ak2akn=-ai1ai2ain.an1an2annan1an2ann性质7队列式一行〔或列〕元素全为零，那么队列式为零．即a11a12a1,n-1a1n00000.an1an2an,n-1ann2、队列式的几种常有计算技巧和方法定义法合用于任何种类队列式的计算，但当阶数许多、数字较大时，计算量大，有必定的限制性．0001例10020计算队列式30.004000分析：这是一个四级队列式，在睁开式中应当有4！24项，但因为出现好多的零，所以不等于零的项数就大大减少．详细的说，睁开式中的项的一般形式是a1j1a2j2a3j3a4j4．明显，如果j14，那么a1j10，进而个就等于零．所以只考j14的，同理只考j23,j32,j41的些，就是，队列式中不零的只有a14a23a32a41，而43216，所以此取正号．故00010020=14321a14a23a32a4124.03004000利用队列式的性即把队列式通队列式的性化上三角形或下三角形.方法合用于低队列式．化三角形法上、下三角形队列式的形式及其分以下：a11a12a13a1na110000a22a23a2na21a220000a33a3na11a22ann，a31a32a330a11a22ann.000annan1an2an3ann1a1a2an例21a1b1a2an算队列式Dn1.1a1a2anbn分析：察队列式的特色，主角下方的元素与第一行元素同样，故用第一行的1倍加到下边各行即可使主角下方的元素所有零．即：化上三角形．解：将队列式第一行的1倍分加到第2,3⋯〔n1〕行上去，可得1a1a2KanDn10b1000b1b2Kbn.MMMOM000Kbn加法队列式的特色是队列式某行〔或列〕加上其余各行〔或列〕后，使行〔或列〕元素均相等或出多零，进而化队列式的算．算队列式的方法称加法．3解：

x1mx2xn计算队列式Dnx1x2mxn.x1x2xnmnximx2xni1nDnximx2mxni1nximx2xnmi11x2xn1x2xnn1x2mxnn0m0ximximi1i11x2xnm00mmn1nxim.i1转动消去法当队列式每两行的值比较靠近时，可采纳让邻行中的某一行减或许加上另一行的假定干倍，这类方法叫转动消去法．123n1n212n2n1例4计算队列式Dn321n3n2n2.nn1n221解：从最后一行开始每行减去上一行，有123n1n123n1n1111120002Dn11111220021111111111123n1n1100001n1n12n2.2n21100011110逐行相加减关于有些队列式，固然前n行的和全同样，但却为零．用连加法明显不可以，这是我们能够试试用逐行相加减的方法．a1a10000a2a200例5计算队列式D00a300.000anan11111解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得：a100000a2000D00a300000an0123nn112n21nn1aaan1nn1aaa.1212n降阶法将高阶队列式化为低阶队列式再求解．按某一行〔或列〕睁开x10000x100例600x00解队列式Dn.000x1anan1an2a2a1解：按最后一行睁开，得Dna1xn1a2xn2an1xan.按拉普拉斯公式睁开拉普拉斯定理以下：设在队列式D中随意选定了k1kn-1个行.由这k行元素所构成的全部k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于队列式D.即DM1A1M2A2MnAn，此中Ai是子式Mi对应的代数余子式．即Ann0Ann?Bnn，CnnBnnAnnCnnAnn?Bnn.0Bnnaaaab例7解队列式Dnb.b解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加到第二列，得a

a

a

abDn

0

0

00000n1aaaabn200000000n1a00n2n1abn2bn?200.升阶法就是把n阶队列式增添一行一列变为n+1阶队列式，再经过性质化简算出结果，这类计算队列式的方法叫做升阶法或加边法．升阶法的最大特色就是要找每行或每列同样的因子,那么升阶以后，就能够利用队列式的性质把绝大部分元素化为0，这样就抵达简化计算的成效．此中，增添行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般队列的地点．0111110111例811011解队列式D=.1110111110解：使队列式D变为n1阶队列式，即111110011101011.D0110101110再将第一行的1倍加到其余各行，得：111111100010100D=.1001010001从第二列开始，每列乘以1加到第一列，得：〔n1)111101000D0010000010000011n1n1.数学概括法有些队列式，可经过计算低阶队列式的值发现其规律，而后提出假定，再利用数学概括法去证明．关于高阶队列式的证明问题，数学概括法是常用的方法．cos100012cos100例9计算队列式Dn012cos00.0002cos100012cos解:用数学概括法证明.当n1时，D1cos.当ncos12cos21cos2.2时，D212cos猜想，Dncosn.由上可知，当n1，n2时，结论建立．假定当nk时，结论建立．即：Dkcosk.现证当nk1时，结论也建立．cos100012cos100当nk012cos001时，Dk1.0002cos100012cos将Dk1按最后一行睁开，得cos10012cos10Dk11k1k1?2cos012cos00002coscos1001k1k12cos10012cos000012cosDkDk1.因为Dkcosk，Dk1cosk1coskcoskcossinksin，所以Dk1

2cos

Dk

Dk12coscoskcosk

coskcos1.

coskcossinksin

sink

sin这就证了然当

n

k

1时也建立，进而由数学概括法可知，对全部的自然数，结论都建立．即：Dncosn.递推法技巧剖析：假定n阶队列式D知足关系式aDnbDn1cDn20.那么作特色方程ax2bxc0.①假定0，那么特色方程有两个不等根，那么DnAx1n1Bx2n1．②假定0，那么特色方程有重根x1x2，那么DnAnBx1n1．在①②中，A，B均为待定系数，可令n1,n2求出．950000049500000495000例10计算队列式Dn.00004950000049解：按第一列睁开，得Dn9Dn120Dn2.即Dn9Dn120Dn20．作特色方程x29x200.解得x14,x25.那么DnA?4n1B?5n1.当n1时，9AB；当n2时，614A5B.解得A16,B25，所以Dn5n14n1.3、队列式的几种特别计算技巧和方法拆行〔列〕法观点及计算方法拆行〔列〕法〔或称分裂队列式法〕，就是将所给的队列式拆成两个或假定干个队列式之和，而后再求队列式的值．拆行〔列〕法有两种状况，一是队列式中有某行〔列〕是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给队列式中行〔列〕没有两项之和，这时需保持队列式之值不变，使其化为两项和．例题分析1a1a200011a2a300例11011a300计算队列式Dn.0001an1an00011an解：把第一列的元素当作两项的和进行拆列，得1a1a2000101a2a3000011a300Dn00001an1an000011an1a200011a2a300011a3000001an1an00011ana1a200001a2a300011a300.0001an1an00011an上边第一个队列式的值为1，所以1a2a3001a300Dn1a1001an1an0011ana1Dn1.这个式子在关于任何nn2都建立，所以有Dn1a1Dn11a11a2Dn21a1a1a21n1a1a2annii11aj.i1j1结构法观点及计算方法有些队列式经过直接求解比较麻烦，这时可同时结构一个简单求解的队列式，进而求出原队列式的值．例题分析111x1x2xn例12x12x22xn2求队列式Dn.x1n2x2n2xnn2x1nx2nxnn解：固然Dn不是范德蒙品德列式，但能够考虑结构n1阶的范德蒙品德列式来间接求出Dn的值．结构n1阶的范德蒙品德列式，得1111x1x2xnxx12x22xn2x2fx.x1n2x2n2xnn2xn2x1n1x2n1xnn1xn1x1nx2nxnnxn将fx按第n1列睁开，得fxA1,n1A2,n1xAn,n1xn1An1,n1xn，此中，xn1的系数为An,n1nn11DnDn.又依据范德蒙品德列式的结果知fxxx1xx2xxnxixj.1jin由上式可求得xn1的系数为x1

x2

xn

xi

xj

.1jin故有Dnx1x2xnxixj.1jin特色值法观点及计算方法设1，2，n是n级矩阵A的所有特色值，那么有公式A12n.故只需能求出矩阵A的所有特色值，那么就能够计算出A的队列式．例题分析例13假定1，2，n是n级矩阵A的所有特色值，证明：A可逆当且仅当它的特色值全不为零．证明：因为A12n，那么A可逆A012n0i0i1,2n.即A可逆当且仅当它的特色值全不为零．4、几类特别的队列式的奇妙策算技巧和方法三角形队列式观点a11a12a13a1na11a22a23a2na21a22形如a33a3n，a31a32a33这样的队列式，形状像个三角形，annan1an2an3ann故称为“三角形〞队列式．计算方法由队列式的定义可知，a11a12a13a1na110000a22a23a2na21a220000a33a3na11a22ann,a31a32a330a11a22ann.000annan1an2an3ann“爪〞字型队列式观点a0b1b2bnbnb2b1a0cnanc1a1a1c1形如c2a2，a2c2，c2a2，c1a1cnanancna0b1b2bnancna2c2这样的队列式，形状像个“爪〞字，故称它们为“爪〞字型队列式．a1c1bnb2b1a0计算方法利用对角线消去队列式中的“横线〞或“竖线〞，均可把队列式化成“三角形〞队列式．此方法可概括为：“爪〞字对角消竖横．例题分析a11111a2例14计算队列式1a3，此中ai0,i1,2,n.1an剖析：这是一个典型的“爪〞字型队列式，计算时可将队列式的第i(i2,3,n.)列元素乘以1后都加到第一列上，原队列式可化为三角形队列式．aia1111n11a1111a2i2ai0a2解:1a30a31an0an1a2a3ana1.i2ai“么〞字型队列式观点cnana0c1bnb2b1a0b1a1c2a1c1形如c2a2，b2a2，a2c2，c1a1cna0b1b2bnbnanancnanbnbnana0b1b2bncncnc1a1a2b2，b2a2，c2a2，c2a1b1b1a1c2c1a0a0c1cnanancnc1a0c2a1b1a2c2，a2b2这样的队列式，形状像个“么〞字，所以常a1c1cnb1bnb2b1a0anbn称它们为“么〞字型队列式．计算方法利用“么〞字的一个撇消去另一个撇，就能够把队列式化为三角形队列式．此方法能够归纳为：“么〞字两撇互相消．注意：消第一撇的方向是沿着“么〞的方向，从后向前，利用an消去cn，而后再用an1消去cn1，挨次类推．例题分析1111b1例15计算n1阶队列式Dn1.11bn11bn解：从最后一行开始后一行加到前一行〔即消去第一撇〕，得n1bini11binn1nDn1i11?n211bii11bn1bn1bn1nn3n21bii1.“两线〞型队列式观点a1b1000a2b20形如这样的队列式叫做“两线型〞队列式．000bn1bn00an计算方法关于这样的队列式，可经过直接睁开法求解．例题分析a1b1000a2b20例16求队列式Dn.000bn1bn00an解：按第一列睁开，得a2b20b100Dn1a100bn1n1a2b20bn100an00bn1a1a2an1n1b1b2bn.“三对角〞型队列式观点abab000001abab000001abab000形如这样的队列式，叫做“三对角型〞行00000abab000001ab列式．计算方法关于这样的队列式，可直接睁开获得两项递推关系式，而后变形进行两次递推或利用数学概括法证明．例题分析abab000001abab000001abab000例17求队列式Dn.00000abab000001ab解：按第一列睁开，得ab000001abab00001abab00DnabDn1ababDn1abDn2.0000abab00001ab变形，得DnaDn1bDn1aDn2.因为D1ab,D2a2abb2，进而利用上述递推公式得DnaDn1bDn1aDn2b2Dn2aDn3bn2D2aD1bn.故DnaDn1bnaaDn2bn1bnan1D1an2b2abn1bnanan1abn1n.bbVandermonde队列式观点1111a1a2a3an形如a12a22a32an2这样的队列式，成为n级的范德蒙品德列式．a1n1a2n1a3n1ann1计算方法1111a1a2a3an经过数学概括法证明，可得a2a2a2a2aiaj.123n1ji1a1n1a2n1a3n1ann1例题分析111x1x2xn例18x12x22xn2求队列式Dn.x1n2x2n2xnn2x1nx2nxnn解：固然Dn不是范德蒙品德列式，但能够考虑结构n1阶的范德蒙品德列式来间接求出Dn的值．结构n1阶的范德蒙品德列式，得1111x1x2xnxx12x22xn2x2fx.x1n2x2n2xnn2xn2x1n1x2n1xnn1xn1x1nx2nxnnxn将fx按第n1列睁开，得fxAAxAn,n1xn1Axn，1,n12,n1n1,n1此中，xn1的系数为An,n11nn1DnDn.又依据范德蒙品德列式的结果知fxxx1xx2xxnxixj.1jin由上式可求得xn1的系数为x1x2xnxixj,1jin故有Dnx1x2xnxixj.1jin5、队列式的计算方法的综合运用有些队列式假如只使用一种计算方法不易计算，这时就需要联合多种计算方法，使计算简易易行．下边就列举几种队列式计算方法的综合应用．降阶法和递推法210001210001200例19计算队列式Dn.000210