第24课时632方差与标准差

2222222nnii22222222nnii2【习航学要求

第24时差标差(x)+()+…+(x)，此和最小时，对应的x的作为近似值，因为．会方差与标准差也是对调查数的一种简明的描述，要求熟练记忆公式，并

(x)x)=

+)能用于生产实际和科学实验中；会差与标准差对数据描述中的异同。【课堂动】自评价案有乙两种钢筋现从中各抽取一个样本(如下表检查它们的抗拉强度(单位:kg/mm)，过计算发现，两个样本的均数均为．130甲125125乙145哪种钢筋的质量较好【分析】在平均数相同的情况下观上数据表发乙样本的最小值低甲样本的最小值110，最大值145于甲样本的最大值135，这说乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定．在平均数相同的情况下两数据的极差能大概判断它们的稳定程度．极:我把一组数据的最大值与最小值的差称为极差．从数据表上可以看出，乙的极差较大，数据较分散甲的极差小据集中这就说明甲比乙稳定．运用极差对两组数据进行比较简单方便但果两组数据的集中程度差异不大时，就不容易得出结论．这时，我们考虑用更为精确的方—方差．在上一课时中了体平均的估计，其中提到平均数“最理想近值的缘由同我们可以考虑每一抗拉强度与平均抗拉强度的离差差越小定性就越高．那么来画一组数据的稳程度呢？在上一课时中，设个实验值(i，i…n)的近似值为x，么它与这n个验值a(i=1的离差分别为x，ix于上述离差有正有负，故不宜直接相加可考虑将各个离差的绝对值相加，研究|+…+||取最小值时x值．但由于含绝对值，运算不太方便，所以考虑离差的平方和，即

1所以当(方和最小，故可用(a这个物理量的理想近似值，称其为这个据，a，，的平均数或均值，一般记为1a(a在上述过程中，可以发现，一组数据与其平均数的离差的平方和最小用与其平均数的离差的平方和来刻画一组数据的稳定程度是可行的本例中可用各次拉强度与平均抗拉强度的差的平方和表示比较的两组数据的容量可能不同应上平方和除以数据的个数把此所得的值为这组数据的方．因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了离差的程度将方差开方后的值称为这组数据标差差可以刻画数据的稳定程度．一般地，设一组样本数据x,1平均数为，称(x)ni为这个样本的方差，其算术平方根s(x为本标准差分别简称i样方，样标差根据上述方差计算公式可算得甲、乙两个样本的方差分别为和165，故可认为甲种钢筋的质量好于乙种钢筋．【精典例】例甲种冬水稻试验品种连续5年平均单位面积产量如（位试据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定：品第第2第3第4第5种年年年年年甲9.89.910乙9.49.79.8【解】甲品种的样本平均数为10样本方差为[(9.82(9.92/

(102(10.2]＝乙品种的样本平均数也为10，样本方差为

丙丁

1035791113151719[(9.4

2

2

(10.8

2

（2比较计算结果，各组方差和标准差的关系是什么？天数灯泡数

(9.72]＝例2为保护学生的视力室内的日光灯在使用一段时间后必须更换已某校使用的100只光灯在必须换掉前的使用天数如下试计这种日光灯的平均使用寿命和标准差211241301331361～～～～～～～～240270330360390111825167

【解】甲6.7；乙，2.6丙：666.725.8丁：，5.2乙方差与标准差分别与甲的相同；丙的方差是甲的方差的100差甲的10；丁的方差是甲的方差的4倍差甲的例某市共有万居民，城市调查队按千分之一的比例进行入户调查调查的结果如下家庭人均月收入工作人员管人员(元)数数【分用一区间内的组中值作为相应日光灯的使用寿命，再求平均寿命。【解】各组中值分别为

，此算得平均数约为

19518%20%28525%345375

＝

合计

将各组中值对于此平均数求方差得1(165268)100

一工人员家庭人均月收入的估计及方差的估计s2；1(225

2

268)

2

管理人员家庭人均月收入的估计

x

及其方差(285268)

2

268)

2

的估计

s

22268)]＝2128.60（）

平均数的估计x及体方差的估计

s

2故标准差约为

2128.6046

【解】分组数据用组中值作为本组数据的代表。答：估计这种日光灯的平均使用寿命约为天，标准差为46天

x

=995，

s21

例列组数据的方与标准果精确到0.1

=1040，

s

22

甲

12789

x=1004

s

2

乙

11121315161719

追训练/

1.若本

1

，

2

，

3

n

的平均数x

差S2样4，13

，．．．，

n

的平均数

x

＝，

S

2

＝____0.4_____．,的方差为3k，，…