数字信号处理题解及电子课件-第3章3.8关于正弦信号抽样

第3章离 变 与处 理抽样定理 的 基本 工DFT的性质 具 关于正弦信号的抽连续信号 变级系数X

是

k次谐波的系数，所X

在频率坐标轴上是离散的，间隔

0

x(At0t X k0

是非周期信号，可以认为AAx(202x(x(A0TTk0tt对应连续非周期对应连续周期连续 离散密 强FTFT说法

x(t)1X(j)

x(t)e

tdt

x(t)dt说法

x(t)因Ex

2x(t)

[

x(t)因Ex

x(t)

[

x(t)所以，如

x( 是绝对可积的，那么它一是平方可积的，但是反之不一定成立。例x(t)

sin2是平方可积的，但不是绝对可积的。所以x(t)

更稳妥（即更严格）周期信号：可以实现 非周期信号：可以实 变换属于能量信号 例

f0t)

求 变换因为

x(t)

2dt

所以，严格意义上叶变换不存在，可将其展开 级数现利用

函数

x(t)

变换

jtdt

j(0

j(0)t

(0

(01/

X 0

1/1

k0X(谱

0离散时间信号 DiscreteTimeFourierTransform,（一）定（二）（二）

是离散的，所以变换需要求和X(ejX(ej

的连续函数的周期函数，周期为

x(nl1空可以看作是

X(ej

在频域展开级数 系数即

x(n

z在单位圆上取值时

z变换

X(ej

可以得

x(n

的幅度谱反变四 变换连续非周 连续非周期()连续周 离散非周期()离散非周 连续周期（）离散周 离散周 切实理解四种FT之间的对应关四 变（三）（三）线移奇偶、虚实性

则X(ej 是

的实函数如则：如则时域相关定互相关DTFT

Parseval’s

E(ejx xExn

x x2x

E(e

X(ej)x(n)2n注意：Parseval’s定理有着不同的表示形式：上述关系只对能量信号成立Wiener—Khinchin定对功率信号，其自相关函数定义为定义

r(m)e

X2(eX2(ej)

(ejxxx

N

2N1 1Px1

P(exx

(ej

~

内的积分等于信号的为能量谱

P(ej

为功率谱，同理

(ej

(ej

始终是

的实函数P(ej)r(m)e 思考：由功率谱是否可以得到原信（四）（四）例1d(n)

n,N10 ,N10N

1

D(e

)en0

1

ee

j(N1)/2sin(N/D j(D

/sin 函 2 2442

0-- - - - -

2N5

过零0-- - - - -

N越大，例2.

xN(n)x(n)dN N

X(e

)*D(ej令

则：X(ej

是周期的线谱

D(ej卷积后，频谱将发生失真，影其分辨率两个线谱

sinc函数的卷积f1f2

86420086420000N窗函数频谱

4

是矩形窗 瓣的宽例X(z)

1

1az1低 高 相抽样定现研究信号抽样的数学模型！

k

P(j)

k

(ksx(n)

xa

DTFTDTFTX(ej)1

X(jjk周期延拓，无穷迭周期延拓，无穷迭

X(eX(ej若保

X(ej

Xa

相 x(n或

可保 x(fs

全部信fs

Nyquist抽样定理，或Shannon抽样定迭（Aliasing),将无法恢复原信号。

fs

2fc 做频谱分析，了

Xa

的行为使用抗混迭滤波器，限A/A/Ha(s)

Xa

的范围x(n) fsfs/

：抽样频率：折迭频率

x(n

D/A转换器；理论上：导出如下：在满足抽样定理的情况下X(ej)

Xa

H(

s/

h(t)

sin(st/

sin(st/Xa

j)

X(e

)H

j)|权s权sx(t)

)sin[ s)/Tsan

s)/离 级数周期序x(n)周期序

x(n

x(n是离散的，故频谱是周期的；x(n即x(

的频谱应是离散的、且是周期的但x(n)

是功率信号，不能直接作

x(t)

k

X(k0

离散

ejk0t02

e离散、非周0离散、非周

j2ex(nTs

k

(k0

sk

(k0

j2nk周s

，间隔是X

是周期的，周期

N，间隔是0X(k)

Nn0

j2nk

k~x(n)

1NNk

X(k

j2nk

n~DFS

n,

仍取无穷长，实际上没必要X(k)

Nn0

j2nk

k~x(n)

1NNk

N1X(kN1

j2nk

n~改为

(k)

Nn0

j2nk

kx(n)

1NNk

X(k)e

j2nk

n,N1,N1从原理上

和X(k0

的各一个周期即可表示完整的序列FT、FSDTFTDFS都不符合要求但DFT并不是“第五种 变换离 变换X(k)

N

nk

j2/ n0x(n)

1NNk

X(k

nk

n,

,N1有限长，因此可方便地用来实现频谱分析但使用时，一定要想到，它们均来自DFS,x(n)

X(k都是周期的ZDTFT、DFT

n ,N1X(ej

N

zej X(k)

n0Nn0

j2nk

2N

r1z N

X(kX(z)

1Nk1N

ej2k/

z1线

DFT的性质WWWWNW2(N W W 正交[Wnk正交

W W N 2(N X W11W, xW1X

DFT[x(n

Wkm

(k)

Wkm

(k)X(k)

Nn0

x(n

j2nk

:nmNrm

x(r)e

j2(rm)kW

N

x(r)e

j2rk

N

x(r)e

j2 NNWN

r rN X(k)x(n)x(n NN

x(r)e

j2rk

N

x(r)e

j2rk

N

x(r)e

j2rkrm r rx(n

X(k)

X(k)

X(N

k)XR(k)

XR(k)

XR(N

k)XI(k

XI

(k

XI(N

kX(k)

X(N

karg

(k

arg

(k)x(n)

Parseval’sN

1NNk

X(k)x(n),

h(n)

点序线性卷

y(n)

k

x(k)h(n

k),

y(n):2N1当和DFT联系起来时，注意

x(n)

h(n)都