高等数学一阶讲义下

第四章定模块一：不定积分的概念和性质一．必备知识点F(xf(xIF(xIxI，都有Fxfx)f(x的定义域。上的不定积分，记作f(x)dxIf(xf(xI上所有原函数所组成的集合，而不是一个具体的函数，所以它一个任意常数C。2）F(x)G(x)都是f(x)在区间I上的原函数，那么显然有f(x)dxF(xCf(x)dxG(xCF(xCG(xCF(xG(x)不一定成立，因为C是任意常数，等式两端的C不一定相等，所以不能随便去掉。一般来说，我们有CCC,CCC,C2C。f(xg(x1）f(x)g(x)dxf(x)dxkf(x)dxkf(x)dx,kR,kf(x)dx'f(xdf(x)dxfF(x)dxF(xC或dF(x)F(xk0k0时，kf(x)dx0dk ) 1）xadx xa1C,(aa1dxlnxxaxdx

ln

axC,exdxexCcosxdxsinxC,sinxdxcosxCsec2xdxtanxC,csc2xdxcotxCsecxdxlntanxsecxC,cscxdxlncscxcotxCsecxtanxdxsecxC,cscxcotxdxcscxCtanxdxlncosxC,cotxdxlnsinxC 111a2x2b2dxabarctanbC,1x2dxarctanxC111b2b2a2

dx

1arcsin

dxarcsinxC dx1

a

a2 ax2x21x2x21

二．考点精析与技巧点拨f(x)dx'f(x和F(x)dxdF(xF(x三．温故知新【例1：计算下列不定积x（1） （2）x

xx

ex（3）

xxx21

tan2cos2x2

（6）

x4x21x1x1x1

2dx

312C1

32C

21

xx（2）ex1 dxedxxx

2dxex2x2C x2 （3）x21dxx2x2dxdx1x2dxxarctanxC tan2xdxsec2x1dxsec2xdxdxtanxxC cos2xdx cosx1dx1cosxdx1dx1sinxx x4 x41 （6）x21dx x2 dxx1dx21x2

x2arctanxC3x1xx1x1

dx1dxarcsinxlnxC11 212【解析 dx

d1x2

1ln1x2C

1ln1x21 21 21 3sin2xcos3【解析sin2xcosxdxsin2xdsinx1sin3x34

xxln2x 【解析

x

dxx

dlnxx

ln

5f(x2x1,0x2x21,x

fx0f(x)dxxC1；当0x2f(x)dxx2xC2；x2时，f(x)dx1x3xC。 由此可以得到CCC6C14，则CC4CC

因此

x ，其中C C, 13x4C,x 模块二：换元法和分部积分一．必备知识点f(x)(x)dx令u(xfuduF(uCF(x)注：两类换元法是计算不定积分的两种重要的思路，记住这两个公式关键都是灵活运用微分的公式d(x)'(x)dx。其中使用第一类换元法时要把被积函数凑成f(x)'(x)的形式，故又称之为“凑由导数的计算公式(uv)'uvu'vuv(uv'u'v)dxuv'dxu'vdx，移uv'dxuvu'vdx。udvuvvdu二．考点精析与技巧点拨 faxnbxn1dx faxnbdaxnfexexdxfexdexxflnx1dxflnxdlnx1xfx dx2fxdx1xfsinxcosxdxfsinxdsinftanxsec2xdxftanxdtan farctanx dx farctanxdarctan 11farcsin dxfarcsinxd1a2xxasin ta2a2xa2x x2axasecx x2anaxnaxcx被积函数含有x 或x 的有理式，通常采用做幂代换naxnaxcxaxnaxncxf(k1axbk2axbknaxb，可令axbtN

Nk1k2knt积函数是关于指数函数ex的函数时，令extxlnt

x

1ln

时，按照公式，要先将被积函数写成u(x)v'(x)。拆分的原则是：容易求导的作为u(x) v'(x)。具体地来说，我们 这时一般选取u(xPn(xv'(xekx（或sinaxcosax，反复使用分部积分公式nP(xarctanxP(xarcsinxP(xarccosxP(xlnx时，选取v'(xP(x u(xarctanx（或arcsinxarccosxlnx）,用分部积分法一次,被积函数的形式发生变化,再考虑其它当被积函数形如ekxsinaxekxcosax时，u(x)和vx)比较复杂的被积函数使用分部积分法,要先用凑微分法,使尽量多的因子和dxdvx，然后再三．温故知新【例1：计算下列不定xa（1）12x2 （2）cosa（3）2xsin （5）x(1x2)50 （6）

1ex1arcsinx1（7）eex

cos sinxcos【思路分析：使用第一类换元法将被积函数凑成 (x)'(x)的形式，再用基本积分公式求解1212 d1212

1

2 2

arctan2x xx

dxacosd a aa 2xsinx2dxsinx2dx2cosx2 1 11

exdxexd exx （5）x(1x2)50dx1(1x2)50dx21(1x2)50dx21

(1x2)511arcsin（6）

1x

dx

1arcsinxdarcsin 1arcsinx2darcsinx131arcsinx2eexxdxeexexdxeexdexeex 注意到sinxcosx sin2x

cos2x cos dsinxcos d2sinxcos可知2sinxcosxdx2sinxcosx 2sinxcos ln2sinxcosx【例2：计算下列不定积 exex 2.(1x)3dx;3.a6x6dx ex

de ln| |Cexe

e2x

e2x

ex dx dx11 C.(1x)3 (x1)2 (x1)3 x12(1x)2x x3a

(a3)

d(x) | |C x3【例3（2004—1）：已知f'exxex，且f10，则fx 【思路分析】先求出f'x的表达式，再积分即可 ln 【解】：令ext，则xlnt，于是有f't ，即f'x fxlnxdx1lnx2C f10，得C0fx1

lnx24xfxdxarcsinxC

dx ff【思路分析：利用不定积分的意义。先求出fx，再计算f11

f

11x2故 dxx1x2dx11x2d(1x2)11x2f 【例5：计算下列不定积x2（1）a2x2 （2）x2x2（3）x2a2a2（7）

ex

（6）ex(1e2xa2x2dxa2a2sin2tacostdta2cos2tdta2cos2t12xa2a2sin2ta2tC a2arcsinxxa2 asec2 cos dsint x

dx2

asectdtcostdtcos2tdt1sin2对上述积分，再令usintdsintdu21

du1ln1u1sin2

1

1 1

1将usint1sint11sint1sint1sintx2x21sin

C 2ln1sintClnsecttantcos

sec

x2x2x2x2x

x2a2xlnaCln xC1x2a2t2t2x2t2 x2a2t2t2x2t2xxa

Clnx

lnaClnx

C1x2x2x2x2t2 dx dt 1dtarctantC Cx2tt2t2x2tt2t2x2法二：xsectx2 dx secttantdtdttCarccos1x2 xasina2acosa2 dxa4sin4tacostdta2sin4ta

cot2tdcott1232

cot3tx2x1 a2由于xasint，cott a

a2x2dx1

1(3a2x

1)2

ex(1e2x)dxe2x(1e2x)dxe2x(1e2x令ett21t21 dt1arctantC1arctanext 1t2 ex exex

x令ue1dx edx de duu u再 tuu

1tt dut21dt2t21dt2t1dt2t tt u再将t ex1代u

ex1dx

ex1 Cex1ex1ex1）（5）小题的方法可以推广：如果积分式可以写成

f(xn)dx

，则可以使用换元法f(xn) f(xn dxn dxln2x【例6】：求不定积分【解析

x2

dxln2

ln2tdt2ln2t2tdt2ln2txx22x t t txx222ln2tdln2tln22tCln227Ix8(1x2) 【解析：令x ，则dx ，于

xC 2 2x(1x

21211

1

dtt81dt

1t2t8(1t2) (t21)(t21)(t4 1 dt1t2dt(ttt1)dt1t21t71t51t3tarctantC 111arctan1 【例8：计算下列不定积xcos（5）arccos

lnarccot

1e1xx3 （8）sinxexxexdxxdexxexexdxxexexx2exdxx2dexx2exexdx2x2ex2xexdxx2ex2x2ex2(xexexdx)x2ex2xex2exlnxdxxlnxxdlnxxlnx1dxxlnxx1arccosxdxxarccosxxdarccosxxarccosx111xarccosx dx2xarccos112xarccotxdxxarccotxxdarccotxxarccotx1x2xarccotx dx2xarccotx1ln(1x2)21 1 1 1 x3exdx e)dxx

dex exex exex sinxexdxsinxdexsinxexexdsinxsinxexexcossinxexcosxdexsinxex(cosxexexdcossinxexcosxexsin于是得到sinxexdxsinxexcosxexsinxexdxsinxexdx1(sinxexcosxex)2注：1）一般来说，如果积分式中出现了对数函数、反三角函数这类的函数，我们就应该考虑分部分，而且，在整个积分过程中，对数函数和反三角函数总是充当公式uv'dxuvu'vdx中的u9求不定积【解析x2exdxx2dexx2ex2x2ex2x2ex2xex2x2ex2xex2ex10】：I1arctanxdxI2x2lnxdx【解析'

Iarctanxdx xarctanxdxxarctanxxdarctanxxarctanx 1xarctanx1

d1x2xarctanx1ln1x2C2212x2lnxdx

31x3lnx

x2dx1x3lnx1x3I2

3ln

3 【解析excosxdxcosxdexexcosxexdcosxexcosxexsinxdxexcosxsinexcosxexsinxexdsinxexcosxexsinxexcos所以excosxdxexcosxexsinxexcosxdx，即2excosxdxexcosxexsinxC excosxexsin故ecosxdx

C2【例12：计算下列不定积分1212arctan1（1） （2） 11

xx2x2

arcsin

x13xxarctan（5（06—2） （6）x21x21111

11x2u

dx xdx2 dx

1111

du2

u11du111

u1u1 11u12 Cx1211 法二：xtant 1 dx1

sectdt

tantsectdt

tanttantsec2t1dsect1sec3tsectC

213 11

1212arctan

dx

12arctanxdarctan 2arctanx2d12arctanx 12arctanx2xx2

sectsec2ttan

secttanxt6

1costdttsintCarccos1x 6t2dt

x2x2

213x13x

1

1t 6t6arctantC6x66arctanx6arcsin arcsin arcsin dx (ex de令et 1t arcsintd(1)1t t1t2 令1t2arcsintt1t2 令1t2 arcsintt

arcsint1u2

2uuu

u(1u21e2x1e2xarcsinex1e2x1e2x

C

x21x2dx

dx

1x2arctanxd1arctanxdarctan

arctanx

dx

x1x2 arctan 1

dx21arctan 2

x21x2 2 法二：令arctanxt

arctanx1arctanx21 1

Carctanxdxtcsc2t1dttcottcostdt1t

tcottlnsint1t2x1x1

sin arctanxxln(1

1arctanx2C.【例13：设f(lnx) ，计算f ln(1et【解】设lnxt，则xe，f(t) .于11f(x)dx

ln(1ex

x)d(ex)exln(1ex)

ln(1

1

x)

x)ln ln(1

ex(1ex

ln(1

x1xx(1ex)ln(1ex)模块三：特殊类型函数的不定积分一．必备知识点

xx

(x

dx(k

x2pxq mx((xpx R(sinxcosx)dx能公式tan 1tan2由三角函数的知识，sinx 2,cosx 2，若作万能变换utanx，1tan2 1tan2 1u2 R(sinx,cosx)dxR1u2,1u21 无理积分三角代换化为三角函数有理式积去根号化为有理积二．考点精析与技巧点拨)Qm分解成部分分式：若

(x)的因式分解中含有因式xak，则其部分分式对应的A1

rxr

xa2

x2其中，Aii12,k为待定系数；若Qm(x)的因式分解中，含有因式2

pxq（

4q022

B1xC1 B2x Brx x2px

x2px

x2px Bx Bx①xadx，②(xa)tdx，③x2pxqdx，④(x2pxq)sdx(sp24q0形如sinaxsinxdxsinaxcosxdxcosaxcosxdx，先将三角函数积化和差再凑微分．其2coscos1coscos22sincos1sinsin22形如sinnxcosmxdx①若m与n皆为偶数，则用倍角公式化简被积函数后再积分，其中倍角公式为：sin2x1cos2x，cos2x1cos ②若mn中至少有一个奇数，则将奇次幂因子拆成一个一次幂因子并与dx凑微分（sinxdcosx三．温故知新x21计算(x1)2xx2(x1)2(xac

x1 (x1)2 a(x1)(x1)b(x1)c(x(x1)2(x(ac)x2(b2c)xab(x1)2(x2，解得ac1,b2abc1x2 121【解：(x1)2(x1)dxx 1)2x 1lnx1 1lnx1 x 2计算

x

1lnx212

x

Cx26x 【解】 dx dx x26x x26x x26x d(x26x13)

2 x26x1

32）d(x） ln(x26x13)4

(x3221ln(x26x13)4arctanx3 4 42x2 x4

dxx2

x2

dx

(x1)dx

dx xarctanxCx2 【思路分析】：被积函数中cosx的幂次为奇数，取出一个凑微分cosxdxdsinx，其余因子利cos2x1sin2x转化为关于sinxsin2xcos3xdxsin2xcos2xdsinxsin2x1sin2xdsinsin2xsin4xdsinx1sin3x1sin5xC sin22x1cossinxcosxdx(sinxcosx)cosxdx sin22xdx sin22xcos2x 1cos4xdx sin22xdsin xsin4xsin32x cos

cos

osxinx osxinx2 cosxsin cos2

cos

cosxsin

cosxsin 1dx1dcosxsinxx1lncosxsinx cosxsin acosxbsin注：此方法，可推广到所有ccosxdsinxdxacosxbsinxAccosxdsinxBccosxdsinxAccosxdsinxBcsinxdcosxAcBdcosxAdBcsin

aAcbAdacosxbsinxdxAdxBdccosxdsinxAxBln(ccosxdsinx)Cccosxdsin71sinx

ccosxdsin (1sin 1sin：方法一：

1sin (1sinx)(1sin cos2 dxsinxdxsec2xdx cos2 cos21tanx C

cos2

cos方法二 1sinx

(cos2sin22

d tan sec

dx

2

Ctan(1tan1 x tan(1tan1

2tan 令

t,则x2arctant,dx dt,sinx

1

1tan2 1 2原式 1t2dt2(1t)21tC211

Cx1x28I(x2n1)2dx(n【解析I

dx

xn

dx d(x 1)

xnd 1) x2n 1 n1 n 2nx2n 2nx2n1 2nx2n 2narctan 9(1)I1

xln(1x)dx

xI21x2arctanxdxxxln(1 ln(1 （1） dxxdx dxxdxln(1x)d 1dln(1x) ln(1 xdx

x xdx x(1x) 11dxln(1x) 1x

ln(1 ln(1x)ln(1x)C11ln(1x) x I21x2arctanxdx(11x2)arctanxdxarctanxdx1x2arctan(2)xarctanx

1

dx1arctan2xxarctanx 1

d(x21)1arctan2x2xarctanx1ln(1x2)1arctan2x 【例10】：求下列不 I1

xn

n1,正整数 (2)I2

1

1 xxn1dx=xnxn1dx=nxnxn1dx=nxnxn1dxnlnxn1

x t，得I2arctantdtarctan2tCx x1x

Insinnxdxsinn1xdcossinn1xcosxcosx(n1)sinn2xdsinsinn1xcosx(n1)cos2xsinn2sinn1xcosx(n1)1sin2xsinn2sinn1xcosx(n1)sinn2xdx(n1)sinnsinn1xcosx(n1)sinn2xdx(nsinn1xcosx(n1)In2(n 所以nIsinn1xcosxn sinn1xcos n所以In In2第五章定积一.必备知识设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，在[a,b]内任 n1个分ax0x1x2...xn1xn这样[ab就被分为了n个子区间[xi1,xi],(i12,...,用xixixi1表示各区间的长度，再在每个区间上取一点i,xi1ixi，作如nnfixif1x1f2x2...fn令maxxi，如果有极限lim 0

fixi存在且与[ab的划分及i的选取无关，则称f(x)间[abf(x在区间[abbf(x)dxlimf 0baf(x)dxyf(xxaxbx轴围成的曲边四边形的面积（x轴下b其中第ifixi，当分割地比较细时，它与第i个区间上的曲边梯形的面积是比较接近的，可以作为它的近似值。这样，整个曲边梯形的面积就可以近似表达为 f1x1f2x2fnxnfixi。但是fixi与实际的面积 n的，为了得到精确的面积值 分割取得无限细，准确地说，是对和式fixi取极 fixi，由定积分的定义可知，该极限值就是函数f(x)在区间ab上的定积0 注：1）定积分的几何意义有助于我们理解定积分，同时也是直接的考点，要重点掌握。

f(x)dx1：f(x在区间[abf(x在区间[ab2：设函数f(x在区间[ab上有界，且只有有限个第一类间断点，则f(x在区间[ab上可积。 af(x)dxaf(u)duaf

aaf(x)dxaa

f 2)

f(x)dx

f(x)dx特例

f(x)dx0,

f(x)dx bf(xg(x)dxaf(x)dxag(x)dx， f(x)dx f(u)du f ba1dxbbb如果在区间[abf(x0，则有af(x)dxb 推论：ⅰ如果在区间[abf(xg(x，则有af(x)dxag(x)dxⅱ设M和m是函数f(x)在区间[ab]bm(ba)af(x)dxM(bbⅲ（积分中值定理）f(x在区间[ab上连续，则在积分区间[ab上至少存在一点

baf(x)dxf()(bbxf(x在区间[abx为区间[ab上的一点，则积分af(t)dt[a,b]上的变上限积分。易知该积分值是与x有关的，也就是说变上限积分确定了[a,b]上的一个新的函数x记作(x)af(t)dtaxbxxx

xdx的导数是'(x)

f(t)dtf(x),axdx

注：1)dxxf(t)dtdxbf(t)dtf积分上限为一个函数时的导数为：dux)f(t)dtdux)f(t)dtduf(u(x))u'(x（u(x可导dx du (((

f(t)dt)'f((x))'(x)f((x))( g(x)f(t)dt)((x)

x x F(x)0tf(t)dtx0f F'(x)xf(x)

x

x c)

(

fu(xtdt ( xxF(xxtuFx0sinuduxF'(x)sinx2：f(x在区间[ab上连续，则函数(x)af(x)dxf(x在[abx牛顿-莱布尼兹公式bF(xf(x在区间[ab上的一个原函数，则af(x)dxF(bF大地简化了定积分的计算。它是微积分最的定理之一，其简洁明了的形式也使它被认为是微积分几百ⅰ()a,()(t)在区间[,]上具有连续导数，其值域([,])[ab则有f(x)dxf((t))b abu(x)v'(x)dxu(x)v(x)bbu'a 设f(x)在区间a,a上可积，特别的，在区间(,)上（反常积分收敛时）亦可以，如果f(x是偶函数，则有af(x)dx20f(x) af(x是奇函数，则有af(x)dxa

f(x)dx2f(x)dx

T 2二、考点精析与技巧点拨【例1】：计算下列各函数的导数11t(1）f(x)(2）f(x(2）f(x)xsin

f(x)dx2f(x)dx2(1）f'(x

1(1

11(2）f'(x)sinexsinex2(x2)'sinex2xsin【例2】：计算下ee(1）

t2et2x 1t4(2）lim

x (3（02--3）

x1cos【解析 x2 x2 (tedt)x

tedt (xe)

2xx2

2x

2x

x 2x1 2x1 1t4(2）用洛必达法则lim lim lim

x2

(x2)

x

u2arctan1t

x2arctan1t lim0

(3） x1cos 2

2xarctan1x2 3】：设函数fx连续，且xtf2xtdt1arctanx2.f11，求2fxdx的值 【解：f2x 中的变量是2xt，故设法把x“转移”到f外2令u2xt，则t2xu，所以dtdu代入xtf2xtdt1arctan20 2 0tf2xtdt2x(2xu)fudux(2xu)fu2x2xfudu2xufudu1arctanx21：将等式

2fudu2

ufudu

arctanx2x求导 22xfudu2x[2f(2x)f(x)][2x（f2x)2xf(x)]

2xf(u)d2

11

1

f(u)duf(1)

2f(u)du2fxdx1[1f(1)]1(11) 2 2 2 22f(xF(xF(x2 22于 x

fuduxufudu2x[F(2x)F(x)]xudFx2x[F(2x)F(x)]uF(u)2x2xF(u)duxF(x)2xFx 所 xF(x)2xF(u)du1arctanx2 两边对x求导， F(x)xf(x)2F(2x)F(x)1 F(2x)F(x)

[ xf21 2xf(u)duF(2x)F(x)1

xf 212222

f(u)du

fxdx

1

f(1)]

1

1) 2 2 【例4：设f(x)连续,则dxtf(x2t2)dt dx(A)xf(x2 (B)xf(x2 (C)2xf(x2 (D)2xf(x2 【思路分析F(t(t)f(x)dx,(t),(tF(t)(t)f(t)(t)f(t)t:0xu:x20,dudx2t22tdtdt1duxtf(x2t2)dtux2t tf(u)10 2t 0

f

12

f选

1 dx0tf(xt)dt2dx0f 1f(x2)x21f(x2)2xxf(x2 x2x5f(x)

0A B C D ，f(0)0，即x0是f(x)的一个零 f(x2ln(2x2

f

x(,)f(x只有一个零点6（103）yy(x

xyet2dt xxsin2tdt确定,则dy dx【解析xyet2dtxxsin2tdtx0y0

e(xy)2(1dy)xsin2tdtxsin2x x0y0代入上式，得1dydx

0 dydx

dt【例7：（93--1）设Fx x210 dtt t xx【解析Fx21x0，令210，解得0x1xx4Fx单调减少区间是0,1 4 2）公式 2）公式 h(x) h g'(x)u(g(x))实际上是对定积分的性质和链式法则的应用， g(

【例8】：说明下列各对积分哪一个的值比较大 1x2dx与1x3dx 2lnxdx与2(lnx)2dx 0xdx与0ln(1x)dx

x2x3，所以1x2dx1 （2）(1,2区间上，0lnx1，所以lnx 2lnxdx2(ln

lnx2)lnx(lnx2) （3）x0xln(1x，故0xdx0ln(1 【例9（11--1）设I 4lnsinxdx,J 4lncotxdx,K 4lncosxdx，则I,J,K的大小关系是( （A）IJ （B）IK （C）JI （D）KJ 【解析】x )时，0sinx cosxcotx，因此lnsinxlncosxlncot 4lncosxdx 4lncotxdx，故选 10（94cos4xdx,N 2cos4xdx,N 2sin3xcos4xdx,P2x2sin3xcos4xdx设M 1 设M sinxcos4xM1

2cos4xdx2PM

2cos4xdx2【例11】：计算下列（1）

x2 （2）01e2xln（3）(96--01（4（00--1）1

1e2x2xx2x xdx【解析

x2

，得 dx2

t1t2dt

1t2

2 2做变量替换t2u，得 2 1t2dt2 2 1udu (1

31/43

2：xasect，得

x2a2dx

3atan

asecttan34 0asec343 tan23

dt

tcostdt

1sin3t3a2做变量替换e2xt

sec3

e2 1e2 01e2xdx11t2tdt21t1tdt2[lntln(t1)] 2(2ln2

1e2 1e22ln2 3/2 3/ 1 3/

2 0 1e2xdx0

2du

21)du

ln

|

ln 1

1

1

2 312xx2dx11(x1)2dx（做变量替换x1t） 1t2dt3 x t，则xt2，dx2tdt.因x xdx2t2costdt2t2dsin x

02t2sint

02tsintdt4

tdcost 4tcostcostdt4 xa2xa2xa2xabsint

，对应这几种情况，分别令xabsectxabtantb2xaxb2xax当被积函数是幂指函数的代数式时，可以采用指数代换axt,x ln

lnt12】I10

1x2

2I1x31x2dx2sin3tcos2tdt2sin2tcos2tdcos 【例13】I xln【解析】令tlnxxetdxetdtx23t从ln2变化到ln3I dxln31etdtln lntln3lnln3lnln2xln ln2

ln2 ln14f(x【解析

，则

xf'(x)dxf(xsinx

f(x)(sinx)'xcosxsin

/

xf'(x)dxxf(x)

/

f(x)dxxf(x)

sinxsinx

4/15】1x/0【解析1x2arctanxdx11arctanxdx31x3arctanx11x3darctan 3 31 1 11 xarctanx0 2dx 0x 2 1

1x 11xdx1 dx21x211ln(1x2) 3 601

11ln （1）

x4sin（2） 01

sin2xdx 1

cos2

1arcsin12122【解析】(1)f(xx4sinx为奇函数，因此定积分

x4sinxdx注意到 010

22

010

sin2xdx01

cos2 11x2 1x2 (sinx cosx

dxarctanxarctan01arcsin11

01 1arcsin

dx

1arcsin

11dx21

(arcsin

3

1221222

0arcsin

darcsinx

化计算，有时还可能带来新的思路，如例（2。【例17】：计算下列e1|lnx|e10x|tx|1 min1, 2 1min1,x2dx1min1,x2dx3min 11dx1x2dx 122 x1时lnx0，当0x1时lnx0e|lnx|dx1|lnx|dxe|lnx|dxe1

e 当t1时，tx在[0,1]上恒正。因此x|tx|dxx(tx)dx 11当t0tx在[0,1]上恒为负。因此x|tx|dxx(tx)dxt11 当0t1时，0x|tx|dx0x|tx|dxtx|tx|dx3 题型三积分恒等式或积分不等式的证明 18证明1xm(1x)ndx1xn(1x)m 思路分析：根据积分式的特点可知：应该做变量替换t1对定积分1xm(1x)ndx做变量替换t10 于是1xm(1x)ndx0(1t)mtnd(1t1(1t)mt 19f(x为[0,1]2f(sinx)dx2f(cos 思路分析：要把sinx变为cosx可以用公式cosxsinxxt 对左边的积分做变量替换t 2 于是2f(sinx)dxf t))d t)f(cost)dt2f(cos 20f(x为以Ta

T f(x)dx0

fT T f(x)dxaf(x)dx0f(x)dx fT f(x)dxaf(x)dx0f(x)dx0f(uT af(x)dx0f(x)dx0f(u)du0ff(x为以T为周期的周期函数f(xT)f

TH(a)T

f(x)dx，则H'(a T

f(a) aH(aH(00f(x)dx，即a

f(x)dx

f21f(xf(xf(x为连续的偶函数，则f(x)的原函数中有且仅有一个为奇函数。x思路分析：f(xF(xF(x0f(t)dtF(0xF(xf(xF(x0f(t)dtF(0)。设f(x)为连续的奇函数x 于是F(x) f(t)dtF(0)utf(x

) 于是F(x) f(t)dtF(0) f(u)duF 模块二．反常积一．必备知识点（一）.无穷限反常积分tf(x在a上连续，取talimf(x)dxf(xtt a,上的反常积分，记作 f(x)dx。也就是说 f(x)dxtlima

f(x)dx收敛，否则称反常积分 f(x)dx发散a同样，当f(x在a上连续，且limt

f(x)dx存在时，称此极限为函数f(x在a a反常积分f(x)dx发散。a 最后f(x)在上连续limf(x)dxlimf(x)dx t

t限值之和为函数f(x)在上的反常f(x)dx， f(x)dxlim

f(x)dx

f(x)dx

f(x)dxf(x)dx 也就是说当反常积分 f(x)dx和f(x)dx都收敛时f(x)dx收敛当 f(x)dx和f(x)dx 注：1）需要注意的是只有 f(x)dx f(x)dx都收敛时 f(x)dx 反常积分是收敛的。例如，对积分

dx

01 t01 t 进而可知反常积分1x2dx（二）.函数反常积分 瑕点：如果函数f(x)在xa的任一邻域内 ，则称点a为函数f(x)的瑕点 例如：x0是f(x) 是f(x)tanx的瑕t t

01反常积分：f(x在ab上连续，bf(xlimf(x)dxttbtbbf(x在ab上的反常积分，记作f(x)dx。也就是说f(x)dxlimbb

tb 积分af(x)dx收敛，否则称反常积分af(x)dxbf(x在abaf(x的瑕点，如果极限limbta

f(x)dxbbbf(x在ab上的反常积分，记作f(x)dx。也就是说f(x)dxlimbbb

ta tb分af(x)dx收敛，否则称反常积分af(x)dxtbf(x在ab上除了点c（acblimf(x)dx与极限limftc tcb都存在，则称这两个极限值之和为函数f(x)在ab上的反常积分，记作af(x)dx，b taf(x)dxlimtf(x)dxlimaf(x)dxaf(x)dxcf t b也就是说当反常积分af(x)dx和cf(x)dx都收敛时af(x)dx收敛；当af(x)dx和cf(x)dx至少有一个发散时，af(x)dx发散b故1、反常积分的计算【例1】计算下列（1）（2）e

xln1x22exxln2 xln dx

ln

2 21x2

1xln 1 ln

ln

dx

ln ln 32(1x23

23x1x2

13

dex

ex x 2x 2x 2dx

1 e e2x 1dln

，令tlnx，则原式变形为dt xln2

ln2 1【例2】计算下列 x2x22 x1lnx1ln令xsect得

dx

dsectdtx2 2secttanx2

f(x)xe为奇x1lnx1lnee

dlnxarcsin(lnx)1211lnlimarcsin(lnx)arcsin(ln1) 【例3】 x24xx220x2200x24x8lim022x2)2lim2 b b 一、必备知识点1、微元法简介b出U所对应的分量U，U可以表示为形式f(x)dx。bⅲ）.计算积分af3、微元法的应用如图，设曲线方程为r(，取为积分变量，设其上下限为,。在图中取面积元（阴影部分），1(可以近似看做一个扇形，其面积为dS1

d

da式Vbf(x)2dxa b同上，可得面积计算公式为VaS(x)dxb故【例1】：计算由下列曲线围成的平面图形的面xyx2yxyexyexxS x2)dx2x231x31xx

0S1(exex)dxexex1ee10（0等于 A曲边梯形ABCD面积 B梯形ABCD面积C曲边三角形ACD面积 D三角形ACD面积axf(x)dxaxdf(x)xf(x)a f(x)dxaf(a)afaa

的面积，所以 【例3】：计算由下列曲线围成的平面图形的面（1）2a（2）ae与射线coscos 2sin

【解析 2(2acos

2d

2(cos)2d0 1 12

（2）所求的面积为：A2(ae)d2aed4

4(cos2

d24cos2d2

2cossin与 的交点M的极坐标为2cos

121 112 6(2sin)2d 6 xacos3tyasin3tx3y3a3（a0心脏线，方程ra(1cos（a0，图像中a1xatsint,ya(1cost（a0，图像中a2对数螺线，方程r阿基米德螺线，方程r【例4】：计算下列几何体的体积 【解析（1）V2

xsinxdx2

xdcosx2(xcosxsin

2 yasin3t

V2y2dx0

0a2sin6t(3acos2tsin6a32(sin7tsin9t)dt01

x(1ln2（10 (ex)下方,x轴上方 区域为Gx(1ln2 y2dx dx d(ln【解析】V

x(1ln2 e1ln2arctanln

)=( (D的面D绕直线xe旋转一周所得旋转体的体积 【解析(1)x0ylnx在点(x0lnx0yln

1(xx00

lnx010x0y1e

A1(eyey)dy1e （2）切线y1xx轴及直线xe所围成的三角形绕直线xe旋转所得的圆锥体积为eV1 2V1(eey)2dy20因此所求旋21

y VVV

e

(e

)dy

yy1DO1ex7(02--3)Dy2x2xax2y0D y2x2y0xa所围成的平面区域，其中0a2D1x轴旋转而成的旋转体体积V1D2绕y轴旋转而成的旋转体体积V2问当a为何值时，V1V2取得最大

32a55 2a2 V2

2a0

dy22

aV

432a55则V4a31a得区间0，2内的唯一驻点a1，当0a1时，V0，当a1时，V0。因此a1

此时VV取得最大值 第六章分模块一一、必备知识点F(x,f,fff(n0.其中未知函数的最高阶导数的阶称之为微分 y(xyy'(x gy)dyf(x)dx方程。对该方程的两端求不定积分gy)dyf(x)dx y f(x,y)中的函数f(x,y)可以写成 y xy于齐次方程，我们引入新函数uyux。由一元函数微分学的知识，可知dyxduudxx原方程可得xduu(u)，整理 (u) dyP(x)yQ(x) P(x)dx 两边积分可得ln

P(x)dxCyCePx)dxCeC11yCePx)dx中的常数换为未知函数C(x)yC(x)ePx)dxyC(x)ePx)dx代入原1C'(x)eP(x)dxP(x)C(x)eP(x)dxP(x)C(x)eP(x)dxP(整理得C'(x) 两端积分得C(x)Q(x)ePx)dxdxC再将C(x)Q(x)ePx)dxdxCyC(x)ePx)dx yeP(x)dxQ(x)eP(x)dxdx 伯努利方程*（数学一、二

a

在方程两端同时除以y得 yp(x)全微分方程*（数学一

q(x)，令z 得 p(x)zq(x)，将原方程1 一阶微分方程P(x,y)dxQ(x,y)dy0如果满 学的理论，存在可微函数u(xyduPdxQdy（称u(xyP(xy)dxQ(xy)dy的原函数，由此可得通解为u(x,y)C。 u(xyxP(xy0)dxyQ(xy)dy u(xy P(x0y)dy Q(xy)dx，其中x0y0y 0 0）不定积分法：由uP(x,

得u(x,y)P(xy)dxCy)，再对yu

P(

，由该方程可解得Cy)P(xy)dxQ(xy)dydu二、题型精讲与【例1】：求解下列微分微分方程xy'y0满足初始条件y(1)2的特解 y'sinxylny,yf'lnx1xf

2 d y0改写成 0，于是有xyC y(1)2得C2xy2y2x ylnydysinxdxylnydysinxdxxln(lnyln(tan)2

e得C0x2所以y 令lnxtxetf'(t1etf'(x1f(x)(1ex)dxxex【例2】微分方程yy(1x)的通解 xdyy(1x)dy(1x dy1dxdx，即lnylnxx y3（1998—1）已知函数yy(x在任意x处的增量y的高阶无穷小，y(0)，则y(1)等于

1

，且当x0时，是

1

（是x0时的高阶无穷小所以dy dx，即dy 1 1积分得lnyarctanxCy(0，得Clnyearctanxlnearctanxy(1)e【例4】：求解下列微分y2（1）xy'y2（2）(x3y3)dx3xy2dy y21，令uy，则原方程化为uxduu u2 (u2 u2u2 duu2u2x(y)2(y)2xyx

u21)lnxlnC，即uy2y2

Cx，将ux（2 这是齐次方程，令u

y，则原方程化为：(x3x3u3)dx3x3u2udxxdu)0，即x1 1du dx，两边积分得：ln(12u12u3

lnxC1，即2u1x2（其中CC2将uyx32y3Cxy2次数是相同的：在方程xy'y 0中去掉y2(【解析】yy2( 令yu，代入原方程得uxduu2u

x11 dx，得1lnu2lnxC，即u2Cx2（其中Ce2c1 u x

1得Cy2xx2yy

【例5微分方程dyy1y3满足 ( 2

d 【解析】令u，有 u x ux uxduu1

2d d xu2lnx1 lnxC，1

x2

ln

y

1知应取x0,y0且C1,所以得特解y dy1lny1lny x2

【解析】zydyzxdz

1 1

,即 111ln(z1z2)lnxC或z 1 x2 C(xx2令tx,于是t0,而且dydydxdyy x2

y x2

yt2y2 dx t2x2 C(t0),即yt2x2x2x2【例7【 5分】求微分方程(3x22xyy2)dx(x22xy)dy0的通解【解析】yux,dyxdu

xdu3(u2u

2uu2u1Cx即y2xyx2Cx(yx2y2)dxxdy0,(x【例8【 7分】求初始问题dyxduudx

的解

1u2dxxdu0y

dxx11

01u1u以ux

x2y x2

x10，得C1.x2y x2【例9】：求解下列微分（1）(x21)y'2xycosxy'ycotx5ecosx,y|2f(xf(x)3xftdte2xf(x 3 cos（1）y'x21yx21

2xdxdx x2x2 [cosx(x21)dxC] (sinx

x21x2 x2yecotxdx(5ecosxecotxdxdxC (5ecosxsinxdxC) (5ecosxC)sinx sinx由y|4得C1，故所求特解方程为：y (5ecosx sinf'(x)3f(x)2e2xP(

xf(x)eP(x)dx dx e(2eedx e3x(2exC)Ce3xf(0)1可得C3f(x3e3x【例10】微分方程xy2yxlnx满足y(1)1的解 9【解析】xy2yxlnxy2ylnxx dx

2lnx 2ln lnx C lnx dxC2 lnxdxC xlnxx y(1)

x(lnx) )【例11（2011—1）：微分方程yyexcosx满足条件y00的解y 【解析y1dxexcosxedxCexcosxdxCexsinxC，又由初始条件y0y C0yexsinx0,x【例12设有微分方y2yx，其x2x1试求，在,0,xyyx，使之在,1和1内都满足所给方程，且满足条件y00思路分析：本题考查一阶线性微分方程的求解。由于x是分段函数，因此需要分段求解。2dx

2e2dxdxCy

1e2x2e2xdxCCe2x x 1 由y00，得C11，所以ye2x x1x1y2y0yC

C

x由limCe2xlime2x1e21，得Ce2e21y1e2e2

x1

x1e21，则得在上的连续函 xyx x显然，yx满足题中所给的全部条件【例13【 5分】求微分方程(yx3)dx2xdy0的【解析】整理微分方程yx3dx2xdy0，得dyyx3yx2 解 当x0时

dyy lny1lnx 1yC(x)x

xC'(x)x2x2

C(x)5

5x2 1 xyx

x2c y

(x)2c xx

(x)2 【例14【 5分】求微分方程(x21)dy(2xycosx)dx0满足初始条件

1的特解x

dy2xycosx x2 x2 yex21即

cosxx2

2xex21dx由 1知C1，则所求特解x

ysinxx2ysinxx2【例15【 8分设yex是微分方程xy'pxyx的一个解求此微分方程满足条件【解析】yex代入原方程得pxxexx，代入原方程xy'xexxyx

xln2即yxln20得Ce2

y'ex1yyexCexexxexy*ex 2【例16【 3分】微分方程(yx3)dx2xdy0满足x【答案】y 1x5

6的特解 5dy1y1x2 dy1y0的通解

dyy

1xxxyx

lny1lnxlnc2xx

yxx

c(x)11

1从而

x1xx22

35 c(x)35

1x2dxC1x2C

y 1 1xx(x2C) x 6

yx1

C

y 1x3x5xdy1y1x2

1dx 1 e2x

2xdxC1lnx 1ln

x2e3

dxC 1 xx x2dxC x2Cxx 6

5

C

xy 1x3x5【例17【 4分】微分方程(yx2ex)dxxdy0的通解是y 【答案x(ex

yx2exdxxdydyyxex 1dx 1 ye xe xdxCxxex dxCx(ex 题型四伯努利方程的求解*（数学一、二）【例18】：求解下列（1）y'4yx

（2）2yy'2xy2y令u ，则原方程可化为2du4uy 2dx 2 e e

Cx2

xC)

x3yu2

x3Cx2令uy2du2xuue2xdxex2e2xdxC