圆锥曲线的光学性质课件

圓錐曲線的切線與光學性質圓錐曲線的切線與光學性質1割線LPQ切線PQ割線L圓錐曲線與直線關係1.切線與割線的意義：(1)當直線L與曲線

交於P、Q兩相異點時，L就不再是割線，此時稱直線L為曲線

的切線，P為切點。割線L繞P

點旋轉，當Q點一旦與P

點重合，(2)固定P

點，當Q點在曲線

上移動逼近P

點時，此時稱L為

的一條割線。本段結束割線LPQ切線PQ割線L圓錐曲線與直線關2圆锥曲线的光学性质课件3

2.圓錐曲線與直線關係的判別：已知圓錐曲線的方程式為f(x,y)=0及一直線L：ax+by+c=0，(3)當D<0時，圓錐曲線與直線L

沒有交點。(2)當D=0時，圓錐曲線與直線L

相切於一點(L

為切線)。(1)當D>0時，圓錐曲線與直線L

相交於相異兩點(L

為割線)。可得x的一元二次方程式px2+qx+r=0，令其判別式D=q24pr，解聯立方程組則：本段結束

2.圓錐曲線與直線關係的判別：已知圓錐曲線的方程式為f4P橢圓的切線P拋物線的切線P雙曲線的切線3.圓錐曲線的切線：(1)當直線與橢圓相交於一點時，(2)當直線與拋物線相交於一點時，若此直線不與軸平行，則此直線必為切線，此時，拋物線落在直線的同一側。(3)當直線與雙曲線相交於一點時，若此直線不與漸近線平行，則此直線必為切線，此時，雙曲線的兩支分別落在直線的兩側。此直線必為切線。TobecontinuedP橢圓的切線P拋物線的切線P雙曲線的切線3.圓錐曲線5P與拋物線軸平行的直線軸LP與雙曲線之漸近線平行的直線漸近線L注意：交於一點(如下圖所示)(切線

有重根判別式D=0)

不一定為切線。切線

交於一點。本段結束P與拋物線軸平行的直線軸LP與雙曲線之漸近線平行的直線漸近6

切線的性質：過圓或橢圓上任意一點都有唯一一條切線，任意與圓或橢圓恰有一交點的直線都是圓或橢圓的切線。圓錐曲線的切線與曲線恰有一交點，但一曲線的切線與曲線，不一定只有一交點。反之，與曲線恰有一交點的直線也不一定是切線。(3)平行拋物線的對稱軸的直線與拋物線都恰有一交點，平行雙曲線的漸近線的直線與雙曲線都恰有一交點，但它們都不是切線。本段結束

切線的性質：過圓或橢圓上任意一點都有唯一一條切線，任意與圓7圓錐曲線切線的基本求法也可考慮根與係數兩根之和也可假設已知斜率利用公式圓錐曲線切線的基本求法也可考慮根與係數兩根之和也可假設已知斜8圓錐曲線切線方程式圓錐曲線的切線方程式圓錐曲線切線方程式圓錐曲線的切線方程式9圓錐曲線的切線方程式1.「已知切點」的切線方程式：在坐標平面上，軸是水平線及鉛直線的圓錐曲線(圓、拋物線、Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0，其中A、C不皆為0。二次曲線：Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0上一已知點P(x0,y0)為切點的切線方程式為(見P.63-65)2.範例：求過點(2,2)且與拋物線x2+xy8=0相切的直線方程式。整理得切線方程式為5xy12=0。解：切點P(x0,y0)=(2,2)，橢圓、雙曲線)方程式皆可表為Let’sdoanexercise!圓錐曲線的切線方程式1.「已知切點」的切線方程式：在坐標平面10馬上練習：(2)求過點(3,1)且與雙曲線4x2y28x2y9=0Ans：(1)3x+2y12=0。(2)4xy11=0。整理得切線方程式為4xy11=0。(2)切點P(x0,y0)=(3,1)，整理得切線方程式為3x+2y12=0。解：(1)切點P(x0,y0)=(2,3)，相切的直線方程式。＃Tobecontinued(2)馬上練習：(2)求過點(3,1)且與雙曲線4x2y211圓錐曲線的切線方程式圓錐曲線切線方程式圓、橢圓與雙曲線可用來推導切線公式圓錐曲線的切線方程式圓錐曲線切線方程式圓、橢圓與雙曲線可用12以x集項整理得(B+Am2)x2+(2Amk)x+(Ak2AB)=0，3.「已知斜率」的切線方程式：證明：設切線L：y=mx+k，代入Bx2+Ay2AB=0，因為相切

x有重根(4A2m24AB4A2m2)k2+4AB(B+Am2)=0。得k2=Am2+B，Tobecontinued得Bx2+A(mx+k)2AB=0，(2Amk)24(B+Am2)(Ak2AB)=0，以x集項整理得(B+Am2)x2+(2Amk)x+(A13注意：設斜率為m的切線為y=mx+k，代入拋物線方程式，利用相切

判別式D=0，即可求得k。本段結束注意：設斜率為m的切線為y=mx+k，代入拋物線方程式14拋物線已知斜率之切線拋物線已知斜率之切線15即x+y3=0或x+y+3=0。4.範例：解：y=x3，且m=1Let’sdoanexercise!即x+y3=0或x+y+3=0。4.範例：解：y16馬上練習：Ans：x2y+4=0或x2y4=0。解：即x2y+4=0或x2y4=0。＃馬上練習：Ans：x2y+4=0或x2y4=0。17x2y=k2x+y+12=05.範例：解：設切線L：x2y=k，即x2y+2=0或x2y8=0。x2y+2=0x2y8=0＃x2y=k2x+y+12=05.範例：解：設切線L：x186.範例：求斜率為3且與拋物線y=x2+5x+3相切的直線方程式，及其切點。解：設所求y=3x+k，代入y=x2+5x+3，相切

判別式D=0

得切線為y=3x+19。故切點為(4,7)。

x28x+(k3)=0k=19。

x=4。且

x28x+(193)=0Let’sdoanexercise!6.範例：求斜率為3且與拋物線y=x2+5x+319馬上練習：設拋物線y=2x23x+1，求斜率為5的切線方程式，及其切點。Ans：切線y=5x7，切點(2,3)。解：設所求y=5x+k，代入y=2x23x+1，相切

判別式D=0得切線為y=5x7。故切點為(2,3)。且2x28x+(1+7)=0

x=2。＃馬上練習：設拋物線y=2x23x+1，求斜率為5的切線20PPPPP7.「曲線外」已知點的切線方程式：(1)過拋物線外一點P，有兩條切線。(2)過橢圓外一點P，有兩條切線。(3)過雙曲線外一點P，切線有三種情形：

當P

點為中心時，過點P

的任意直線都不是切線

當P

點不是中心且落在漸近線上時

當P

點不在漸近線上且不在雙曲線內部時

沒有切線。

只有一條切線。

有兩條切線。本段結束PPPPP7.「曲線外」已知點的切線方程式218.範例：解：點P(1,4)

在橢圓外，故有兩條切線。故所求切線為x+y3=0或5xy+9=0。Tobecontinued注意＃8.範例：解：點P(1,4)在橢圓外，故有兩條切線。22(1,4)注意：可設過(1,4)的切線其切點為(x0,y0)，得切線為x+y3=0或5xy+9=0。(x0,y0)Let’sdoanexercise!(1,4)注意：可設過(1,4)的切線其切點為(23馬上練習：求過點(1,3)且與雙曲線4x2y2=4相切的直線方程式。Ans：13x6y+5=0，x=1。又點(1,3)非中心且不在漸近線2xy=0上故所求切線為13x6y+5=0或x=1(鉛直線)。兩條切線。解：＃點(1,3)不在雙曲線上，馬上練習：求過點(1,3)且與雙曲線4x2y2=4相249.範例：求過點(2,0)且與拋物線y=x22x+4相切的直線方程式。解：點(2,0)不在拋物線上，相切

判別式D=0

解得m=2或6。故所求切線為2x+y4=0或6xy12=0。設切線方程式為y=m(x2)，代入y=x22x+4，Let’sdoanexercise!9.範例：求過點(2,0)且與拋物線y=x22x+425馬上練習：求過點(4,1)且與拋物線2x=y2相切的直線方程式。Ans：x+4y+8=0，x2y+2=0。解：點(4,1)

不在拋物線上，設切線y+1=m(x+4)，故所求切線為x+4y+8=0或x2y+2=0。相切

判別式D=0，＃馬上練習：求過點(4,1)且與拋物線2x=y2相切26F平行軸的光線反射後必過焦點軸F焦點射出的光線反射後必平行軸軸射到拋物線上經反射後，都會與軸平行。圓錐曲線的光學性質1.拋物線的的光學性質：由拋物線焦點F射出的光線，反之，與軸平行的入射光，射到拋物線上經反射後，都會通過焦點F。TobecontinuedF平行軸的光線反射後必過焦點軸F焦點射出的光線反射後必平行27圆锥曲线的光学性质课件28PHA切線1F準線LQ23M故1=2。證明：設點P為拋物線上任一點注意：準線L上任一點A與焦點F且此時2=3，又QHA為直角

所以Q

點不在拋物線上，1=3(對頂角相等)，本段結束PHA切線1F準線LQ23M故1=2。證明：設29PQ軸F(7,4)遇到拋物線：y2=4x上一點P，經反射後通過上的點Q，求Q的坐標。解：光線碰到

上的點P(4,4)後，反射必過y2=4x

的焦點F(1,0)，2.範例：一光線經過點(7,4)沿水平方向前進，Let’sdoanexercise!PQ軸F(7,4)遇到拋物線：y2=4x上一點30PQ軸F(4,6)馬上練習：一光線經過點(4,6)沿鉛直方向前進，遇到拋物線：x2=16y上一點P，經反射後通過上的點Q，求Q的坐標。Ans：(16,16)解：光線碰到上的點P(4,1)後，反射必過

x2=16y

的焦點F(0,4)，＃PQ軸F(4,6)馬上練習：一光線經過點(4,6)31PQ軸F(4,6)馬上練習：一光線經過點(4,6)沿鉛直方向前進，遇到拋物線：x2=16y上一點P，經反射後通過上的點Q，求Q的坐標。Ans：(16,16)解：光線碰到上的點P(4,1)後，反射必過

x2=16y

的焦點F(0,4)，＃PQ軸F(4,6)馬上練習：一光線經過點(4,6)32PQ軸F準線θθθωωωRSOAPQ軸F準線θθθωωωRSOA33F2F1P3.橢圓的光學性質：由橢圓焦點F2射出的光線，經反射後都會通過另一個焦點F1。射到橢圓上的點P，Tobecontinued證明F2F1P3.橢圓的光學性質：由橢圓焦點F2射34圆锥曲线的光学性质课件35PF2F1QA1232aMF2F1O切線12O法線P設點A為圓上任一點證明：以F2

為圓心，半徑為2a(橢圓長軸長)作一圓，注意：F2PF1

的平分線即為過P點的法線。故1=2。且此時2=3，因此Q點不在橢圓上。因此P點在橢圓上。1=3(對頂角相等)，切線本段結束PF2F1QA1232aMF2F1O切線12O法線36PF2F1O切線O法線D4k5k4.範例：已知橢圓的兩焦點為F1(1,7)、F2(2,2)，且P(5,3)在上，試求過P與相切的直線方程式。解：

切線的斜率=3。故所求切線為3xy12=0。Let’sdoanexercise!PF2F1O切線O法線D4k5k4.範例：已知橢圓37切線300法線BPF2F1A300Ans：16。解：馬上練習：如圖F1、F2為橢圓的兩焦點，直線L切於P點，且F1PF2=600。設F1、F2對L的投影點分別為A、B，mn300300＃切線300法線BPF2F1A300Ans：16。解：馬上練38PF2F1其反射光所在的直線會通過另一個焦點F2。5.雙曲線的光學性質：由焦點F1射出的光線，射到雙曲線上的點PTobecontinued證明PF2F1其反射光所在的直線會通過另一個焦點F2。539圆锥曲线的光学性质课件40PF2F1QA證明：以F2

為圓心，半徑為2a(雙曲線貫軸長)作一圓，設點A為圓上任一點因此P點在雙曲線上。因此Q

點不在雙曲線上，注意：F2PF1的平分線即為過P點的切線。M故1=2。且此時2=3，1=3(對頂角相等)，2a切線123本段結束PF2F1QA證明：以F2為圓心，半徑為2a41F1、F2為雙曲線的兩焦點，求F1AF2的分角線方程式。切線AF2F16.範例：已知A(4,3)為雙曲線x22y2+4x+4y26=0上一點，且整理所求為3x2y6=0。切點A(x0,y0)=(4,3)，解：所求即為過A

點的切線Let’sdoanexercise!F1、F2為雙曲線的兩焦點，求F1AF2的分角線方程式42PF2F1A(9,6)馬上練習：故所求點P(5,4)。若一光線從的焦點F1(3,0)發射，碰到上的P點，反射後通過點A(9,6)，Ans：P(5,4)。解：反射線PA的延長線必過F2(3,0)，已知P點在第一象限，求P點坐標。本節結束PF2F1A(9,6)馬上練習：故所求點P(5,43M(1,2)B(x2,y2)A(x1,y1)解：設此弦交

於A(x1,y1)，B(x2,y2)，則x1+x2=2，y1+y2=4，圓錐曲線的弦1.範例(中點弦)：求以(1,2)為中點之弦方程式。

所求為8x+25y58=0。Let’sdoanexercise!M(1,2)B(x2,y2)A(x1,y1)解：設此弦44M(4,3)B(x2,y2)A(x1,y1)馬上練習：在拋物線：y2=6x的諸弦中，Ans：xy1=0。求以M(4,3)為中點之弦方程式。解：設此弦交

於A(x1,y1)，B(x2,y2)，則x1+x2=8，y1+y2=6，

所求為xy1=0。＃M(4,3)B(x2,y2)A(x1,y1)馬上練習：45解：將x=12y

代入x2+4y2=4，2.範例：若直線x+2y=1與橢圓x2+4y2=4交於P，Q兩點，設交點P(x1,y1)，Q(x2,y2)，得8y24y3=0，Let’sdoanexercise!根與係數&

(ab)2與(a+b)2解：將x=12y代入x2+4y2=4，2.範例：若46得x2+ax+(b+2)=0，將y=0代入y=x2+ax+(b+2)，馬上練習：設a、b為實數。已知坐標平面上拋物線y=x2+ax+b與x軸交於P、Q兩點，若拋物線y=x2+ax+(b+2)Ans：解：將y=0(即x軸)代入y=x2+ax+b，設交點P(x1,0)，Q(x2,0)，設交點R(x3

,0)，S(x4,0)，(99學測)與x軸交於R、S兩點，得x2+ax+b=0，＃得x2+ax+(b+2)=0，將y=0代入y=x2+47OLxyP(x0,y0)MP(x0,y0)LML1L2y10.範例：如圖，拋物線y2=x的圖形中有三條法線，L1、L2、L3(x軸)通過點(2,0)，試求此拋物線有三條法線通過點(a,0)的a的範圍。解：設直線L與y2=x

相切於P(x0,y0)同理，過P(x0,y0)的切線為12L3Ox＃OLxyP(x0,y0)MP(x0,y0)LM48圓錐曲線的切線與光學性質圓錐曲線的切線與光學性質49割線LPQ切線PQ割線L圓錐曲線與直線關係1.切線與割線的意義：(1)當直線L與曲線

交於P、Q兩相異點時，L就不再是割線，此時稱直線L為曲線

的切線，P為切點。割線L繞P

點旋轉，當Q點一旦與P

點重合，(2)固定P

點，當Q點在曲線

上移動逼近P

點時，此時稱L為

的一條割線。本段結束割線LPQ切線PQ割線L圓錐曲線與直線關50圆锥曲线的光学性质课件51

2.圓錐曲線與直線關係的判別：已知圓錐曲線的方程式為f(x,y)=0及一直線L：ax+by+c=0，(3)當D<0時，圓錐曲線與直線L

沒有交點。(2)當D=0時，圓錐曲線與直線L

相切於一點(L

為切線)。(1)當D>0時，圓錐曲線與直線L

相交於相異兩點(L

為割線)。可得x的一元二次方程式px2+qx+r=0，令其判別式D=q24pr，解聯立方程組則：本段結束

2.圓錐曲線與直線關係的判別：已知圓錐曲線的方程式為f52P橢圓的切線P拋物線的切線P雙曲線的切線3.圓錐曲線的切線：(1)當直線與橢圓相交於一點時，(2)當直線與拋物線相交於一點時，若此直線不與軸平行，則此直線必為切線，此時，拋物線落在直線的同一側。(3)當直線與雙曲線相交於一點時，若此直線不與漸近線平行，則此直線必為切線，此時，雙曲線的兩支分別落在直線的兩側。此直線必為切線。TobecontinuedP橢圓的切線P拋物線的切線P雙曲線的切線3.圓錐曲線53P與拋物線軸平行的直線軸LP與雙曲線之漸近線平行的直線漸近線L注意：交於一點(如下圖所示)(切線

有重根判別式D=0)

不一定為切線。切線

交於一點。本段結束P與拋物線軸平行的直線軸LP與雙曲線之漸近線平行的直線漸近54

切線的性質：過圓或橢圓上任意一點都有唯一一條切線，任意與圓或橢圓恰有一交點的直線都是圓或橢圓的切線。圓錐曲線的切線與曲線恰有一交點，但一曲線的切線與曲線，不一定只有一交點。反之，與曲線恰有一交點的直線也不一定是切線。(3)平行拋物線的對稱軸的直線與拋物線都恰有一交點，平行雙曲線的漸近線的直線與雙曲線都恰有一交點，但它們都不是切線。本段結束

切線的性質：過圓或橢圓上任意一點都有唯一一條切線，任意與圓55圓錐曲線切線的基本求法也可考慮根與係數兩根之和也可假設已知斜率利用公式圓錐曲線切線的基本求法也可考慮根與係數兩根之和也可假設已知斜56圓錐曲線切線方程式圓錐曲線的切線方程式圓錐曲線切線方程式圓錐曲線的切線方程式57圓錐曲線的切線方程式1.「已知切點」的切線方程式：在坐標平面上，軸是水平線及鉛直線的圓錐曲線(圓、拋物線、Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0，其中A、C不皆為0。二次曲線：Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0上一已知點P(x0,y0)為切點的切線方程式為(見P.63-65)2.範例：求過點(2,2)且與拋物線x2+xy8=0相切的直線方程式。整理得切線方程式為5xy12=0。解：切點P(x0,y0)=(2,2)，橢圓、雙曲線)方程式皆可表為Let’sdoanexercise!圓錐曲線的切線方程式1.「已知切點」的切線方程式：在坐標平面58馬上練習：(2)求過點(3,1)且與雙曲線4x2y28x2y9=0Ans：(1)3x+2y12=0。(2)4xy11=0。整理得切線方程式為4xy11=0。(2)切點P(x0,y0)=(3,1)，整理得切線方程式為3x+2y12=0。解：(1)切點P(x0,y0)=(2,3)，相切的直線方程式。＃Tobecontinued(2)馬上練習：(2)求過點(3,1)且與雙曲線4x2y259圓錐曲線的切線方程式圓錐曲線切線方程式圓、橢圓與雙曲線可用來推導切線公式圓錐曲線的切線方程式圓錐曲線切線方程式圓、橢圓與雙曲線可用60以x集項整理得(B+Am2)x2+(2Amk)x+(Ak2AB)=0，3.「已知斜率」的切線方程式：證明：設切線L：y=mx+k，代入Bx2+Ay2AB=0，因為相切

x有重根(4A2m24AB4A2m2)k2+4AB(B+Am2)=0。得k2=Am2+B，Tobecontinued得Bx2+A(mx+k)2AB=0，(2Amk)24(B+Am2)(Ak2AB)=0，以x集項整理得(B+Am2)x2+(2Amk)x+(A61注意：設斜率為m的切線為y=mx+k，代入拋物線方程式，利用相切

判別式D=0，即可求得k。本段結束注意：設斜率為m的切線為y=mx+k，代入拋物線方程式62拋物線已知斜率之切線拋物線已知斜率之切線63即x+y3=0或x+y+3=0。4.範例：解：y=x3，且m=1Let’sdoanexercise!即x+y3=0或x+y+3=0。4.範例：解：y64馬上練習：Ans：x2y+4=0或x2y4=0。解：即x2y+4=0或x2y4=0。＃馬上練習：Ans：x2y+4=0或x2y4=0。65x2y=k2x+y+12=05.範例：解：設切線L：x2y=k，即x2y+2=0或x2y8=0。x2y+2=0x2y8=0＃x2y=k2x+y+12=05.範例：解：設切線L：x666.範例：求斜率為3且與拋物線y=x2+5x+3相切的直線方程式，及其切點。解：設所求y=3x+k，代入y=x2+5x+3，相切

判別式D=0

得切線為y=3x+19。故切點為(4,7)。

x28x+(k3)=0k=19。

x=4。且

x28x+(193)=0Let’sdoanexercise!6.範例：求斜率為3且與拋物線y=x2+5x+367馬上練習：設拋物線y=2x23x+1，求斜率為5的切線方程式，及其切點。Ans：切線y=5x7，切點(2,3)。解：設所求y=5x+k，代入y=2x23x+1，相切

判別式D=0得切線為y=5x7。故切點為(2,3)。且2x28x+(1+7)=0

x=2。＃馬上練習：設拋物線y=2x23x+1，求斜率為5的切線68PPPPP7.「曲線外」已知點的切線方程式：(1)過拋物線外一點P，有兩條切線。(2)過橢圓外一點P，有兩條切線。(3)過雙曲線外一點P，切線有三種情形：

當P

點為中心時，過點P

的任意直線都不是切線

當P

點不是中心且落在漸近線上時

當P

點不在漸近線上且不在雙曲線內部時

沒有切線。

只有一條切線。

有兩條切線。本段結束PPPPP7.「曲線外」已知點的切線方程式698.範例：解：點P(1,4)

在橢圓外，故有兩條切線。故所求切線為x+y3=0或5xy+9=0。Tobecontinued注意＃8.範例：解：點P(1,4)在橢圓外，故有兩條切線。70(1,4)注意：可設過(1,4)的切線其切點為(x0,y0)，得切線為x+y3=0或5xy+9=0。(x0,y0)Let’sdoanexercise!(1,4)注意：可設過(1,4)的切線其切點為(71馬上練習：求過點(1,3)且與雙曲線4x2y2=4相切的直線方程式。Ans：13x6y+5=0，x=1。又點(1,3)非中心且不在漸近線2xy=0上故所求切線為13x6y+5=0或x=1(鉛直線)。兩條切線。解：＃點(1,3)不在雙曲線上，馬上練習：求過點(1,3)且與雙曲線4x2y2=4相729.範例：求過點(2,0)且與拋物線y=x22x+4相切的直線方程式。解：點(2,0)不在拋物線上，相切

判別式D=0

解得m=2或6。故所求切線為2x+y4=0或6xy12=0。設切線方程式為y=m(x2)，代入y=x22x+4，Let’sdoanexercise!9.範例：求過點(2,0)且與拋物線y=x22x+473馬上練習：求過點(4,1)且與拋物線2x=y2相切的直線方程式。Ans：x+4y+8=0，x2y+2=0。解：點(4,1)

不在拋物線上，設切線y+1=m(x+4)，故所求切線為x+4y+8=0或x2y+2=0。相切

判別式D=0，＃馬上練習：求過點(4,1)且與拋物線2x=y2相切74F平行軸的光線反射後必過焦點軸F焦點射出的光線反射後必平行軸軸射到拋物線上經反射後，都會與軸平行。圓錐曲線的光學性質1.拋物線的的光學性質：由拋物線焦點F射出的光線，反之，與軸平行的入射光，射到拋物線上經反射後，都會通過焦點F。TobecontinuedF平行軸的光線反射後必過焦點軸F焦點射出的光線反射後必平行75圆锥曲线的光学性质课件76PHA切線1F準線LQ23M故1=2。證明：設點P為拋物線上任一點注意：準線L上任一點A與焦點F且此時2=3，又QHA為直角

所以Q

點不在拋物線上，1=3(對頂角相等)，本段結束PHA切線1F準線LQ23M故1=2。證明：設77PQ軸F(7,4)遇到拋物線：y2=4x上一點P，經反射後通過上的點Q，求Q的坐標。解：光線碰到

上的點P(4,4)後，反射必過y2=4x

的焦點F(1,0)，2.範例：一光線經過點(7,4)沿水平方向前進，Let’sdoanexercise!PQ軸F(7,4)遇到拋物線：y2=4x上一點78PQ軸F(4,6)馬上練習：一光線經過點(4,6)沿鉛直方向前進，遇到拋物線：x2=16y上一點P，經反射後通過上的點Q，求Q的坐標。Ans：(16,16)解：光線碰到上的點P(4,1)後，反射必過

x2=16y

的焦點F(0,4)，＃PQ軸F(4,6)馬上練習：一光線經過點(4,6)79PQ軸F(4,6)馬上練習：一光線經過點(4,6)沿鉛直方向前進，遇到拋物線：x2=16y上一點P，經反射後通過上的點Q，求Q的坐標。Ans：(16,16)解：光線碰到上的點P(4,1)後，反射必過

x2=16y

的焦點F(0,4)，＃PQ軸F(4,6)馬上練習：一光線經過點(4,6)80PQ軸F準線θθθωωωRSOAPQ軸F準線θθθωωωRSOA81F2F1P3.橢圓的光學性質：由橢圓焦點F2射出的光線，經反射後都會通過另一個焦點F1。射到橢圓上的點P，Tobecontinued證明F2F1P3.橢圓的光學性質：由橢圓焦點F2射82圆锥曲线的光学性质课件83PF2F1QA1232aMF2F1O切線12O法線P設點A為圓上任一點證明：以F2

為圓心，半徑為2a(橢圓長軸長)作一圓，注意：F2PF1

的平分線即為過P點的法線。故1=2。且此時2=3，因此Q點不在橢圓上。因此P點在橢圓上。1=3(對頂角相等)，切線本段結束PF2F1QA1232aMF2F1O切線12O法線84PF2F1O切線O法線D4k5k4.範例：已知橢圓的兩焦點為F1(1,7)、F2(2,2)，且P(5,3)在上，試求過P與相切的直線方程式。解：

切線的斜率=3。故所求切線為3xy12=0。Let’sdoanexercise!PF2F1O切線O法線D4k5k4.範例：已知橢圓85切線300法線BPF2F1A300Ans：16。解：馬上練習：如圖F1、F2為橢圓的兩焦點，直線L切於P點，且F1PF2=600。設F1、F2對L的投影點分別為A、B，mn300300＃切線300法線BPF2F1A300Ans：16。解：馬上練86PF2F1其反射光所在的直線會通過另一個焦點F2。5.雙曲線的光學性質：由焦點F1射出的光線，射到雙曲線上的點PTobecontinued證明PF2F1其反射光所在的直線會通過另一個焦點F2。587圆锥曲线的光学性质课件88PF2F1QA證明：以F2

為圓心，半徑為2a(雙曲線貫軸長)作一圓，設點A為圓上任一點因此P點在雙曲線上。因此Q

點不在雙曲線上，注意：F2PF1的平分線即為過P點的切線。M故1=2。且此時2=3，1=3(對頂角相等)，2a切線123本段結束PF2F1QA證明：以F2為圓心，半徑為2a89F1、F2為雙曲線的兩焦點，求F1AF2的分角線方程式。切線AF2