重庆市高考数学三模试卷理科含解析

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2021年重庆市高考数学三模试卷〔理科〕

一、：本大共12小，每小5分，共60分.在每小出的四此中，只有一是切合目要求的.

1．全集U=R，会合M={x|y=}，N={y|y=32x}，中暗影局部表示的会合是

〔〕

A．{x|＜x≤3}B．{x|＜x＜3}C．{x|≤x＜2}D．{x|＜x＜2}2．复数z=1+，1+z+z2+⋯+z2021〔〕A．1+iB．1iC．iD．15a2a3a4a5aaaaaa=〔〕3．〔13x〕=a0+1x+a2x+3x+4x+5x，求|0|+|1|+|2|+|3|+|4|+|5|A．1024B．243C．32D．244．假定某程序框如所示，出的n的是〔〕

A．43B．44C．45D．465．出以下四个：①“假定am2＜bm2，a＜b〞的抗命是真命；②假定x，y∈R，“x≥2或y≥2〞是“x2+y2≥4〞的充分不用要条件；③函数y=loga〔x+1〕+1〔a＞0且a≠0〕的象必点〔0，1〕；④ξ听从正散布2P〔2≤ξ≤0〕，P〔ξ＞2〕．N〔0，σ〕，且此中正确的选项是〔〕A．①②B．①③C．②③D．③④6．某几何体的三如所示，此中正是腰2的等腰三角形，俯是半径

第1页〔共23页〕

1的半圆，那么其侧视图的面积是〔〕

A．B．C．1D．

7．实数x，y知足：，z=|2x﹣2y﹣1|，那么z的取值范围是〔〕

A．[，5]B05]C．[05D．[5．[，，〕，〕8．某中学学生社团活动迅猛睁开，高一重生中的五名同学打算参加“清净了文学社〞、“科技社〞、“十年国学社〞、“围棋苑〞四个社团．假定每个社团起码有一名同学参加，每名同学起码参加一个社团且只好参加一个社团，“〞且同学甲不参加围棋苑，那么不一样的参加方法的种数为〔〕A．72B．108C．180D．2169sin2α=sinβα=απβπαβ〕．假定，〔﹣〕，且∈[，]，∈[，]，那么+的值是〔A．B．C．或D．或2gx〕=lnx的图象分别交于点M，N，那么当|MN|抵达最10．设直线x=t与函数f〔x〕=x，〔小时t的值为〔〕A．1B．C．D．11．双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点O为坐标原点，点P在双曲线右支上，△PF1F2内切圆的圆心为Q，圆Q与x轴相切于点A，过F2作直线PQ的垂线，垂足为B，那么|OA|与|OB|的长度挨次为〔〕A．a，aB．a，C．D．12．设D是函数y=f〔x〕定义域内的一个区间，假定存在x0∈D，使f〔x0〕=﹣x0，那么称x0是f〔x〕的一个“次不动点〞，也称f〔x〕在区间D上存在次不动点．假定函数f〔x〕=ax2﹣3x﹣a+在区间[1，4]上存在次不动点，那么实数a的取值范围是〔〕A．〔﹣∞，0〕B．〔0，〕C．[，+∞〕D．〔﹣∞，]

二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.把答案填写在答题线上.

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13．向量⊥，||=3，那么?=．14．设等差数列{an}的前n项和为Sn，假定，那么=．15．从某居民区随机抽取10个家庭，获取第i个家庭的月收入xi〔单位：千元〕与月积蓄〔单位：千元〕的数据资料，算得=80，yxiyi=184，=720．家yii=20，庭的月积蓄y对月收入x的线性回归方程为y=bxa2千元，+，假定该居民区某家庭的月积蓄为展望该家庭的月收入为千元．

〔附：线性回归方程y=bx+a中，b=，a=﹣b〕

16．P点为圆O1与圆O2公共点，圆Oxa2yb221，圆Oxc1：〔﹣〕+〔﹣〕=b+2：〔﹣〕2yd221ac=8=，那么点P与直线l：3x﹣4y﹣25=0上随意一点M之间+〔﹣〕=d+，假定，的距离的最小值为．

三、解答题：解允许写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17ABC中，角A，B，C的对边分别为abc=，A+3C=B，．在△，，，1〕求cosC的值；

2〕假定b=3，求△ABC的面积．

18．市踊跃倡议学生参加绿色环保活动，此中代号为“环捍卫士﹣﹣12369〞的绿色环保活动小组对2021年1月﹣2021年12月〔一月〕内空气质量指数API进行监测，如表是在这一年随机抽取的100天的统计结果：指数0〔50，〔100，〔150，〔200，〔250，[，＞300API50]100]150]200]250]300]空气质优良稍微污染轻度污染中度污染中重度污重度污量染染天数413183091115〔Ⅰ〕假定市某公司每日由空气污染造成的经济损失P〔单位：元〕与空气质量指数API〔记

为t〕的关系为：，在这一年内随机抽取一天，预计该天经

济损失P∈假定本次抽取的样本数占有30天是在供暖季节，此中有8天为重度污染，达成2×2列联表，并判断能否有95%的掌握以为A市今年度空气重度污染与供暖相关？

非重度污染重度污染共计

供暖季

非供暖季

共计100

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下边对界值表功参照．P〔K2≥k〕k参照公式：．19．在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，PD⊥DC，底面ABCD是梯形，AB∥DC，AB=AD=PD=1，CD=2〔1〕求证：平面PBC⊥平面PBD；〔2〕设Q为棱PC上一点，=λ，试确立λ的值使得二面角Q﹣BD﹣P为60°．

20xOy中，椭圆C：+=1ab0e=，直线．在平面直角坐标系〔＞＞〕的离心率l：x﹣my﹣1=0〔m∈R〕过椭圆C的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点．

〔Ⅰ〕求椭圆C的标准方程；

〔Ⅱ〕过点A作垂直于y轴的直线l1，设直线l1与定直线l2：x=4交于点P，尝试究当m变化时，直线BP能否过定点？

xgx〕=mxn21．函数f〔x〕=e，〔+．〔1〕设h〔x〕=f〔x〕﹣g〔x〕．①假定函数h〔x〕在x=0处的切线过点〔1，0〕，求m+n的值；②当n=0hx〕在〔﹣1，+∞m的取值范围；时，假定函数〔〕上没有零点，求〔2〕设函数rx〕=+，且n=4m〔m0x≥0rx〕≥1．〔＞〕，求证：当时，〔

[选修4-1：几何证明选讲]

22．如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角均分线，过点C作

CD⊥AF交AF的延伸线于D点，CM⊥AB，垂足为点M．

〔1〕求证：DC是⊙O的切线；

〔2〕求证：AM?MB=DF?DA．

第4页〔共23页〕

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为〔t为参数〕．在极坐标系〔与

直角坐标系xoy取同样的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴〕中，曲线C

的方程为ρsin2θ=4cosθ．〔Ⅰ〕求曲线C的直角坐标方程；〔Ⅱ〕设曲线C与直线l交于点A、B，假定点P的坐标为〔11〕，求|PA|+|PB|的值．，[选修4-5：不等式选讲]24fx=x4x5．函数〔〕|﹣|+|+|．〔Ⅰ〕试求使等式f〔x〕=|2x+1|建立的x的取值范围；〔Ⅱ〕假定对于x的不等式f〔x〕＜a的解集不是空集，务实数a的取值范围．

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2021年重庆市高考数学三模试卷〔理科〕

参照答案与试题分析

一、：本大共12小，每小5分，共60分.在每小出的四此中，只有一是切合目要求的.1U=R，会合M=xy=}，N={yy=32x}，中暗影局部表示的会合是．全集{||〔〕

A．{x|＜x≤3}B．{x|＜x＜3}C．{x|≤x＜2}D．{x|＜x＜2}【考点】Venn表达会合的关系及运算．【剖析】第一化会合A和B，而后依据Venn求出果．【解答】解：∵M={x|y=}={x|x≤}N={y|y=32x}={y|y＜3}中的暗影局部表示会合N去掉会合M∴中暗影局部表示的会合{x|＜x＜3}故：B．

2z=1+，1zz2+⋯+z2021〔〕．复数++A．1+iB．1iC．iD．1

【考点】复数代数形式的混淆运算．

【剖析】化复数，而后利用复数位的运算求解即可．

【解答】解：复数z=1=1+=i．+1+z+z2+⋯+z2021=1+i+i2+⋯+i2021=1．故：D．313x5a2a3a4a5，求|aaaaaa=〔〕〕=a0+1xa2x+3x+4x+5x0|+|1|+|2|+|3|+|4|+|5|．〔+A．1024B．243C．32D．24【考点】二式系数的性．【剖析】因为|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|正好等于〔1+3x〕5的各系数和，故在〔1+3x〕

的睁开式中，令x=1，即可求得|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|的．【解答】解：由意〔13x〕5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5可得，|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|正好等于〔1+3x〕5的各系数和，第6页〔共23页〕

故在〔13x〕5的睁开式中，令x=1可得|aaaaaa=45=1024，+0|+|1|+|2|+|3|+|4|+|5|故：A．

4．假定某程序框如所示，出的n的是〔〕

A．43B．44C．45D．46【考点】程序框．【剖析】框第一循量n1，累加量p1，而后行运算n=n+1，p=p+2n1，而后判断p＞2021能否建立，不建立循行n=n1p=p2n1，建立算法束，+，+出n的．且由框可知，程序行的是求等差数列的前n和．目前n和大于2021，出n的．【解答】解：框第一循量n1，累加量p1，行n=1+1=2，p=1+〔2×21〕=1+3=4；判断4＞2021不建立，行n=2+1=3，p=1+3+〔2×31〕=1+3+5=9；判断9＞2021不建立，行n=3+1=4，p=1+3+5+〔2×41〕=1+3+5+7=16；⋯由上可知，程序运转的是求首1，公差2的等差数列的前n和，由p=＞2021，且n∈N*，得n=45．故：C．

5．出以下四个：①“假定am2＜bm2，a＜b〞的抗命是真命；②假定x，y∈R，“x≥2或y≥2〞是“x2+y2≥4〞的充分不用要条件；③函数y=loga〔x+1〕+1〔a＞0且a≠0〕的象必点〔0，1〕；④ξ听从正散布2P〔2≤ξ≤0〕，P〔ξ＞2〕．N〔0，σ〕，且此中正确的选项是〔〕A．①②B．①③C．②③D．③④【考点】命的真假判断与用．

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【剖析】逐个剖析四个结论的真假，综合议论结果，可得答案．

【解答】解：①“假定am2＜bm2，那么a＜b〞的抗命题是“假定a＜b，那么am2＜bm2〞，当m=0时不建立，故为假命题，故错误；②假定x，y∈R，当“x≥2或y≥2〞时，“x2y24x2y24x2或y2+≥〞建立，当“+≥〞时，“≥≥〞不必定建立，故“x≥2或y≥2〞是“x2+y2≥4〞的充分不用要条件，故正确；③当x=0x11=1恒建立，故函数y=logx11a0a0时，y=loga〔+〕+a〔+〕+〔＞且≠〕的图象必过点〔0，1〕，故正确；④ξ听从正态散布N〔02，那么P〔ξ＞2〕，故错误；，σ〕，且P〔﹣2≤ξ≤0〕应选：C

6．某几何体的三视图以下列图，此中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为

1的半圆，那么其侧视图的面积是〔〕

A．B．C．1D．【考点】由三视图求面积、体积．【剖析】由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，再依据此中正视图是腰长为2的等腰三角形，我们易得圆锥的底面直径为2，母线为为2，故圆锥的底面半径为1，高为，从而可得其侧视图的面积．【解答】解：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，又∵正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，∴半圆锥的底面半径为1，高为，即半圆锥的侧视图是一个两直角边长分别为1和的直角三角形，故侧视图的面积是，应选：B．

7x，y知足：，z=2x﹣2y1|，那么z的取值范围是〔〕．实数|﹣

A．[5]B05]C．[05D5，．[，，〕．[，〕【考点】简单线性规划．

【剖析】由拘束条件作出可行域如图，令u=2x﹣2y﹣1，由线性规划知识求出u的最值，取绝对值求得z=|u|的取值范围．

第8页〔共23页〕

【解答】解：由拘束条件作可行域如图，

联立，解得，

∴A〔2，﹣1〕，

联立，解得，

∴．

令u=2x﹣2y﹣1，

那么，

由图可知，当经过点A〔2，﹣1〕时，直线在y轴上的截距最

小，

u最大，最大值为u=2×2﹣2×〔﹣1〕﹣1=5；

当经过点时，直线在y轴上的截距最大，

u最小，最小值为u=．

∴，

z=|u|∈[0，5〕．应选：C．

8．某中学学生社团活动迅猛睁开，高一重生中的五名同学打算参加“清净了文学社〞、“科技

社〞、“十年国学社〞、“围棋苑〞四个社团．假定每个社团起码有一名同学参加，每名同学起码

参加一个社团且只好参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑〞，那么不一样的参加方法的种数为

〔〕

A．72B．108C．180D．216

第9页〔共23页〕

【考点】计数原理的应用．【剖析】依据题意，剖析可得，必有2人参加同一个社团，分2步议论，第一剖析甲，因为甲不参加“围棋苑〞，那么其有3种状况，再剖析其余4人，此时分甲独自参加一个社团与甲与此外1人参加同一个社团，2种状况议论，由加法原理，可得第二步的状况数目，从而由乘法原理，计算可得答案．【解答】解：依据题意，剖析可得，必有2人参加同一个社团，第一剖析甲，甲不参加“围棋苑〞，那么其有3种状况，再剖析其余4人，假定甲与此外1人参加同一个社团，那么有A44=24种状况，假定甲是1个人参加一个社团，那么有C42?A33=36种状况，那么除甲外的4人有2436=60种状况；+故不一样的参加方法的种数为3×60=180种；应选C．9．假定sin2α=，sin〔β﹣α〕=，且α∈[，π]，β∈[π，]，那么α+β的值是〔〕A．B．C．或D．或【考点】两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．

【剖析】依题意，可求得α∈[，]，2α∈[，π]，进一步可知β﹣α∈[，π]，于是可求得cos〔β﹣α〕与cos2α的值，再利用两角和的余弦及余弦函数的单一性即可求得

答案．【解答】解：∵α∈[，π]，β∈[π，]，∴2α，2π，∈[]又sin2α=＞0，

∴2α∈[，π]，cos2α=﹣=﹣；又sin〔β﹣α〕=，β﹣α∈[，π]，∴cos〔β﹣α〕=﹣=﹣，∴cosαβ=cos2αβα=cos2αcosβαsin2αsinβα=〕〔+〕[+〔﹣〕]〔﹣〕﹣〔﹣〕﹣×〔﹣﹣×=．又α∈[，]，β∈[π，]，∴〔α+β〕∈[，2π]，=，∴α+β第10页〔共23页〕

应选：A．2gx〕=lnx的图象分别交于点M，N，那么当|MN|抵达最10．设直线x=t与函数f〔x〕=x，〔小时t的值为〔〕A．1B．C．D．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．

【剖析】将两个函数作差，获取函数y=f〔x〕﹣g〔x〕，再求此函数的最小值对应的自变量

的值．【解答】解：设函数y=f〔x〕﹣g〔x〕=x2﹣lnx，求导数得

=

当时，y′＜0，函数在上为单一减函数，

当时，y′＞0，函数在上为单一增函数

因此当时，所设函数的最小值为

所求t的值为

应选D

11．双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点O为坐标原点，点P在双曲线右支上，△PF1F2内切圆的圆心为Q，圆Q与x轴相切于点A，过F2作直线PQ的垂线，垂足为B，那么|OA|与|OB|的长度挨次为〔〕A．a，aB．a，C．D．【考点】双曲线的简单性质．【剖析】利用切线长定理，联合双曲线的定义，把|PF1|﹣|PF2|=2a，转变为|AF1|﹣|AF2|=2a，从而求得点A的横坐标．再在三角形PCF2中，由题意得，它是一个等腰三角形，从而在△F1CF2中，利用中位线定理得出OB，从而解决问题．【解答】解：依据题意得F1〔﹣c，0〕，F2〔c，0〕，设△PF1F2的内切圆分别与PF1，PF2切于点A1，B1，与F1F2切于点A，

那么|PA1|=|PB1|，|F1A1|=|F1A|，

|F2B1|=|F2A|，

又点P在双曲线右支上，

|PF1|﹣|PF2|=2a，

|F1A|﹣|F2A|=2a，

而|F1A|+|F2A|=2c，

设A点坐标为〔x，0〕，那么由|F1A|﹣|F2A|=2a，第11页〔共23页〕

得〔x+c〕﹣〔c﹣x〕=2a，

解得x=a，

|OA|=a，∴在△F1CF2中，

OB=CF1=〔PF1﹣PC〕

=〔PF1﹣PF2〕==a，

∴|OA|与|OB|的长度挨次为a，a．

应选：A．

12．设D是函数y=f〔x〕定义域内的一个区间，假定存在x0∈D，使f〔x0〕=﹣x0，那么称x0是f〔x〕的一个“次不动点〞，也称f〔x〕在区间D上存在次不动点．假定函数f〔x〕=ax2﹣3x﹣a+在区间[1，4]上存在次不动点，那么实数a的取值范围是〔〕A．〔﹣∞，0〕B．〔0，〕C．[，+∞〕D．〔﹣∞，]【考点】二次函数的性质．“fx〕在区间D上有次不动点〞“Fx〕=fxx在区间D上有零【剖析】依据〔当且仅当〔〔〕+〞x∈[14Fx〕=fxx=ax2﹣2x﹣a=0，议论将a分离出来，点，依题意，存在，]，使〔〔〕++利用导数研究出等式另一侧函数的取值范围即可求出a的范围．【解答】解：依题意，存在x∈[1，4]，使F〔x〕=f〔x〕+x=ax2﹣2x﹣a+=0，

当x=1时，使F〔1〕=≠0；

当x≠1时，解得a=，

第12页〔共23页〕

∴a′==0，

得x=2或x=，〔＜1，舍去〕，

x〔1，2〕2〔2，4〕a′+0a↗最大↘∴当x=2，a最大==，

因此常数a的取范是〔∞，]，

故：D．二、填空：本大共4小，每小5分，共20分.把答案填写在答上.13⊥，||=3，?=9．．向量【考点】平面向量数目的运算．【剖析】由合平面向量是数目运算求得答案．【解答】解：由⊥，得?=0，即?〔〕=0，∵||=3，∴．故答案：9．14．等差数列n}的前n和Sn，假定，=9．{a【考点】等差数列的性；定分的用．【剖析】先利用定分求得，再依据等差数列的等差中的性可知S9=9a5，S5=5a3，依据a5=5a3，而可得的．

【解答】解：∵=〔x2+x〕|02=5，

∵{an}等差数列，

S9=a1+a2+⋯+a9=9a5，S5=a1+a2+⋯+a5=5a3，

∴

故答案9．

第13页〔共23页〕

15．从某居民区随机抽取10个家庭，获取第i个家庭的月收入xi〔单位：千元〕与月积蓄yi〔单位：千元〕的数据资料，算得=80，yi=20，xiyi=184，=720．家庭的月积蓄y对月收入x的线性回归方程为y=bxa2千元，+，假定该居民区某家庭的月积蓄为展望该家庭的月收入为8千元．

〔附：线性回归方程y=bx+a中，b=，a=﹣b〕

【考点】线性回归方程．【剖析】利用条件求出，样本中心坐标，利用参照公式求出b，a，而后求出线性回归方程y=bxax=2，利用回归直线方程，推断该家庭的月积蓄．+，经过【解答】解：〔1〕由题意知，n=10，==8，=yi=2，

b==，

a=﹣b=2﹣×8=﹣，

∴线性回归方程为﹣，

当y=2时，x=8，

故答案为：8．

16．P点为圆O1与圆O2公共点，圆Oxa2yb221Oxc1：〔﹣〕+〔﹣〕=b+，圆2：〔﹣〕2+〔y﹣d〕2=d2+1，假定ac=8，=，那么点P与直线l：3x﹣4y﹣25=0上随意一点M之间的距离的最小值为2．【考点】直线与圆的地点关系．【剖析】把两个圆的方程相减与圆O1联立可得x2+y2=9，令4y﹣3x=t，那么y=，代入可得25x2+6tx+t2﹣144=0，由△≥0，可得﹣15≤t≤15，再利用P到直线l的距离为=，即可求出点P与直线l上随意一点M之间的距离的最小值．【解答】解：∵ac=8，=，∴=，故两圆的圆心O1〔a，b〕、圆心O2〔c，d〕、原点O三点共线，不如设==k，那么c=，b=ka，d=kc=．把圆O1：〔xa2yb221Ox﹣c2yd221﹣〕+〔﹣〕=b+，圆2：〔〕+〔﹣〕=d+相减，可得公共弦的方程为〔2c﹣2a〕x+〔2d﹣2b〕y=c2﹣a2，第14页〔共23页〕

即〔﹣2a〕x+〔﹣2?ka〕y=﹣a2，即2〔﹣a〕x+2k〔﹣a〕y=〔+a〕〔﹣a〕，当a≠±2时，﹣a≠0，公共弦的方程为：2x+2ky=+a，即：2ax+2kay=a2+8，即：2ax2by=a28++．O1：〔x﹣a〕2+〔y﹣b〕2=b2+1，即x2+y2=2ax+2by﹣a2+1，再把公共弦的方程代入圆O1的方程可得x2+y2=9①．令4y﹣3x=t，代入①可得25x2+6tx+t2﹣144=0．再依据此方程的鉴别式△=36t2﹣100〔t2﹣144〕≥0，求得﹣15≤t≤15．

点P到直线l：3x﹣4y﹣25=0的距离为==，

故当4y﹣3x=t=﹣15时，点P到直线l：3x﹣4y﹣25=0的距离获得最小值为2．

当a=±2时，由条件可得a=c，b=d，此时，两圆重合，不合题意．故答案为：2．

三、解答题：解允许写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17ABC中，角A，B，C的对边分别为abc=，A+3C=B，．在△，，，1〕求cosC的值；

2〕假定b=3，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．

1A3C=B代入ABC=π得B=C，可得sinB=cosC0【剖析】〔〕把++++＞，由条件和正弦定理化简后，利用平方关系求出cosC的值；〔2〕由条件求出边c的值，由〔1〕和平方关系求出cosB和sinC的值，利用两角和的正弦公式求出sinA的值，代入三角形的面积公式求解即可．【解答】解：〔1〕由题意得A+3C=B，那么A=B﹣3C，代入A+B+C=π得，B=+C，因此sinB=cosC＞0，∵，∴由正弦定理得，，那么，①又sin2C+cos2C=1，②

由①②得，cos2C=，那么cosC=；〔2〕∵，b=3，∴c=，1sinB=cosC=，且B=C，由〔〕知+∴cosB=﹣=﹣，同理可得sinC=，那么sinA=sin〔B+C〕=sinBcosC+cosBsinC

=×+〔﹣〕×=

第15页〔共23页〕

∴△ABC的面S===．

18．市极倡学生参加色保活，此中代号“保士12369〞的色保活小2021年1月2021年12月〔一月〕内空肚量指数API行，如表是在一年随机抽取的100天的果：指数0〔50，〔100，〔150，〔200，〔250，[，＞300API50]100]150]200]250]300]空气良微染度染中度染中重度重度量染染天数413183091115〔Ⅰ〕假定市某企每日由空气染造成的失P〔位：元〕与空肚量指数API〔

t〕的关系：，在一年内随机抽取一天，估天

失P∈假定本次抽取的本数占有30天是在供暖季，此中有8天重度染，达成2×2列表，并判断能否有95%的掌握A市今年度空气重度染与供暖相关？非重度染重度染合供暖季22830非供暖季63770合8515100下边界表功参照．P〔K2≥k〕k参照公式：．

【考点】独立性．

【剖析】〔Ⅰ〕由200＜4t400≤600，得150＜t≤250，数39，即可求出概率；〔Ⅱ〕依据所的数据，列出列表，依据所的的公式，代入数据做出，同界行比，即可得出．

【解答】解：〔Ⅰ〕“在今年内随机抽取一天，天失P∈=⋯．

〔Ⅱ〕依据以上数据获取如表：非重度染重度染合供暖季22830非供暖季63770合8515100⋯．

K2的K2=≈＞⋯

因此有95%的掌握A市今年度空气重度染与供暖相关．⋯

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19．在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，PD⊥DC，底面ABCD是梯形，AB∥DC，

AB=AD=PD=1，CD=2

〔1〕求证：平面PBC⊥平面PBD；

〔2〕设Q为棱PC上一点，=λ，试确立λ的值使得二面角Q﹣BD﹣P为60°．

【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判断．

【剖析】〔1〕在梯形ABCD中，过点作B作BH⊥CD于H，经过面面垂直的判断定理即得结论；

2〕过点Q作QM∥BC交PB于点M，过点M作MN⊥BD于点N，连QN．那么∠QNM

是二面角Q﹣BD﹣P的平面角，在Rt三角形MNQ中利用tan∠MNQ=计算即可．1AD⊥平面PDC，PD?平面PCD，DC?平面PDC，图1所示．【解答】〔〕证明：∵∴AD⊥PD，AD⊥DC，

在梯形ABCD中，过点作B作BH⊥CD于H，

在△BCH中，BH=CH=1，∴∠BCH=45°，

又在△DAB中，AD=AB=1，∴∠ADB=45°，

∴∠BDC=45°，∴∠DBC=90°，∴BC⊥BD．

∵PD⊥AD，PD⊥DC，AD∩DC=D．

AD?平面ABCD，DC?平面ABCD，

∴PD⊥平面ABCD，

∵BC?平面ABCD，∴PD⊥BC，

∵BD∩PD=D，BD?平面PBD，PD?平面PBD．

∴BC⊥平面PBD，

∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD；

2〕解：过点Q作QM∥BC交PB于点M，过点M作MN⊥BD于点N，连QN．由〔1〕可知BC⊥平面PDB，∴QM⊥平面PDB，∴QM⊥BD，

∵QM∩MN=M，∴BD⊥平面MNQ，∴BD⊥QN，图2所示．∴∠QNM是二面角Q﹣BD﹣P的平面角，∴∠QNM=60°，

∵，∴，

∵QM∥BC，∴，∴QM=λBC，

由〔1〕知，∴，

又∵PD=1，MN∥PD，∴，

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∴MN===1﹣λ，

∵tan∠MNQ=，∴，

∴．

20xOy中，椭圆C：+=1ab0e=，直线．在平面直角坐标系〔＞＞〕的离心率l：x﹣my﹣1=0〔m∈R〕过椭圆C的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点．

〔Ⅰ〕求椭圆C的标准方程；

〔Ⅱ〕过点A作垂直于y轴的直线l1，设直线l1与定直线l2：x=4交于点P，尝试究当m变化时，直线BP能否过定点？

【考点】椭圆的简单性质．

【剖析】〔Ⅰ〕由椭圆C：+=1〔a＞b＞0〕的离心率e=，直线l：x﹣my﹣1=0〔m

∈R〕过椭圆C的右焦点F，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．

〔Ⅱ〕令m=0，那么A〔1，〕，B〔1，﹣〕或A〔1，﹣〕，B〔1，〕，从而获取知足

题意的定点只好是〔，0〕，设为D点，再证明P、B、D三点共线．由此获取BP恒过定

点〔，0〕．

【解答】解：〔Ⅰ〕∵椭圆C：+=1〔a＞b＞0〕的离心率e=，直线l：x﹣my﹣1=0

〔m∈R〕过椭圆C的右焦点F，

∴由题设，得，

解得a=2，c=1，∴b2=a2﹣c2=3，

∴椭圆C的标准方程为=1．

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〔Ⅱ〕令m=0，那么A〔1，〕，B〔1，﹣〕或A〔1，﹣〕，B〔1，〕，当A〔1，〕，B〔1，﹣〕时，P〔4，〕，直线BP：y=x﹣，当A1〕，B1，P4，﹣〕，直线BP：y=x+，〔，﹣〔〕时，〔﹣∴知足题意的定点只好是〔，0〕，设为D点，下边证明P、B、D三点共线．设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，∵PA垂直于y轴，∴点P的纵坐标为y1，从而只需证明P〔4，y1〕在直线BD上，

由，得〔4+3m2〕y2+6my﹣9=0，

∵△=144〔1+m2〕＞0，∴，，①

∵kDB﹣kDP=﹣=﹣=

=，

①式代入上式，得kDB﹣kDP=0，∴kDB=kDP，

P4y1〕恒在直线BD上，从而PB、D三点共线，即BP恒过定点〔0∴点〔，、，〕．

21．函数f〔x〕=ex，g〔x〕=mx+n．〔1〕设h〔x〕=f〔x〕﹣g〔x〕．①hx〕在x=010〕，求mn假定函数〔处的切线过点〔，+的值；②当n=0时，假定函数h〔x〕在〔﹣1，+∞〕上没有零点，求m的取值范围；〔2〕设函数r〔x〕=+，且n=4m〔m＞0〕，求证：当x≥0时，r〔x〕≥1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．

【剖析】〔1〕求出函数的导数，利用导数的几何意义即可获取结论．

2〕求出r〔x〕的表达式，求函数的导数，利用导数研究函数的单一性即可．【解答】解：〔1〕①h〔x〕=f〔x〕﹣g〔x〕=ex﹣mx﹣n．那么h〔0〕=1﹣n，函数的导数f′〔x〕=ex﹣m，那么f′〔0〕=1﹣m，那么函数在x=0处的切线方程为y﹣〔1﹣n〕=〔1﹣m〕x，∵切线过点〔10〕，∴﹣〔1n〕=1﹣m，即mn=2．，﹣+②当n=0时，h〔x〕=f〔x〕﹣g〔x〕=ex﹣mx．假定函数hx1∞〔〕在〔﹣，+〕上没有零点，第19页〔共23页〕

即ex﹣mx=0在〔﹣1，+∞〕上无解，假定x=0，那么方程无解，知足条件，

假定x≠0，那么方程等价为m=，

设g〔x〕=，

那么函数的导数g′〔x〕=，假定﹣1＜x＜0，那么g′〔x〕＜0，此时函数单一递减，那么﹣1g〔x〕＜g〔﹣1〕=﹣e，假定x＞0，由g′〔x〕＞0得x＞1，由g′〔x〕＜0，得0＜x＜1，即当x=1时，函数获得极小值，同时也是最小值，此时g〔x〕≥g〔1〕=e，综上g〔x〕≥e或g〔x〕＜﹣e﹣1，假定方程m=无解，那么﹣e﹣1≤m＜e．2〕∵n=4m〔m＞0〕，

∴函数r〔x〕=+=+=+，

那么函数的导数r′〔x〕=﹣+=，

设h〔x〕=16ex﹣〔x+4〕2，

那么h′〔x〕=16ex﹣2〔x+4〕=16ex﹣2x﹣8，[h′〔x〕]′=16ex﹣2，当x≥0时，[h′x〕]′=16ex20，那么h′x〕为增函数，即h′x〕＞h′0〕=16﹣8=8＞〔﹣＞〔〔〔0，

即h〔x〕为增函数，∴h〔x〕≥h〔0〕=16﹣16=0，即r′〔x〕≥0，即函数r〔x〕在[0，+∞〕上单一递加，

故r〔x〕≥r〔0〕=，

故当x≥0时，r〔x〕≥1建立．

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[修4-1：几何明]

22．如，AB是⊙O的直径，C，F⊙O上的点，CA是∠BAF的角均分，点C作

CD⊥AF交AF的延于D点，CM⊥AB，垂足点M．〔