历自主招生试题分类汇编-初等数论

历自主招生试题分类汇编—初等数论历自主招生试题分类汇编—初等数论历自主招生试题分类汇编—初等数论历年自主招生试题分类汇编——不等式5.〔2021年北约〕xy1且x,y都是负数,求xy1的最值.xy【解】由x0,y0可知,xy1|xy|1|x||y|1,所以|xy||x||y|(|x||y|)21,即xy(0,1],444令txy(0,1],那么易知函数yt1在(0,1]上递减,所以其在(0,1]上递减,4t4于是xy1有最小值4117,.无最大值xy44解答二：1(x)(y)2xy得0xy1，而函数f(t)t1在(0,1)上单一递4t减，在(1,)单一递加，故f(xy)f(1)，即xy117，当且仅当xy1时4xy42取等号．10.〔2021年北约〕x1,x2,,xnR,且x1x2xn1,求证:(2x1)(2x2)(2xn)(21)n.【证】(一法:数学概括法)①当n1时,左侧2x12121右侧,不等式建立;②假定nk(k1,kN*)时,不等式(2x1)(2x2)(2xk)(21)k建立.那么当nk1时,那么x1x2xkxk1,k1个正数不可以同时都大于1,1因为这也不可以同时都小于1,所以存在两个数,此中一个不大于1,另一个不小于1,不如设xk1,0xk11,进而(xk1)(xk11)0xkxk11xkxk1,所以(2x1)(2x2)(x2k)(xk21)(2x1)(2x2)[2kx2(xk1xk)kx1](2x1)(2x2)(x2kxk1)(21)(k21)(21k)1(21)此中推导上式时利用了x1x2xk1(xkxk1)1及nk时的假定,故nk1时不等式也成.综上①②知,不等式对随意正整数n都建立.(二法)左侧睁开得(2x1)(2x2)(2xn)(2)n(2)n1n(2)n2((2)nk(xixixj)xi1xi2xik)x1x2xni11ijn1i1i2ikn由均匀不等式得11xixixiCnk(xixixi)CnkCnk((x1x2k1Cnkk2xn)Cn1)Cnk1i1i2ikn1i1i2ikn故(2x1)(2x2)(2xn)n(n11(n22(nkkCnn(n2)2)Cn2C)n2C)n,2即1.)(三法)由均匀不等式有n2n21nxknxk1n(n⋯⋯①;n()n⋯⋯②)2xk2xkk12xkk12xkk1k11①+②得nn2(x1x2xn)n,即(2x1)(2x2)(2xn)(21)nn1建立.(2xk)nk11n22(四法)由AMGM不等式得：()n，ni1xi2n(xi2)i11(nxi)n1，两式相加得：121，故ni1xi2nn(xi2)n(xi2)i1i1nn．(2xi)(1)2i11．〔2021年北文〕02，求：sintan．【分析】不如f(x)xsinx，f(0)0，且当0x，f(x)1cosx0．于是2f(x)在0x上增．∴f(x)f(0)0．即有xsinx．2同理可g(x)tanxx0．g(0)0，当0x，g(x)110．于是g(x)在0x上增。222cosx∴在0x上有g(x)g(0)0。即tanxx。2注：也可用三角函数的方法求解．7.〔2021年〕nN*,xn,求:nn(1x)nexx2.nx)x【明】原不等式等价于nx2n((1en)n.n当x2n,上述不等式左非正,不等式建立;当x2n,由ey1y(y0)及努力不等式(1y)n1ny(n1,y1),xx)x))n22进而n((1x)en)nn((1(1n(1x2)nn(1nx2)nx2,即.nnnnn1.〔2021年优秀盟〕|x3|2x210,求x范.【解】由|x3|2x210|x|32|x|210(|x|1)(|x|125)(|x|15)02所以由数根法得|x|(,15)(1,15),又因|x|0,22所以x(1515).,1)(1,221、〔2021年优秀盟〕函数fxxsinx．假定x1、x2π，π，且fx1fx2，22A．x1x2B．x1x20C．x1x2D．x12x22答案:〔文科〕D．历年自主招生试题分类汇编——初等数论7．〔2021年北〕最多有多少个两两不等的正整数，足此中随意三数之和都素数．分析足条件的正整数

n个．考模

3的同余，共三，

0，1，2．n个正整数需同足①不可以三都有；②同一中不可以有

3个和超

3个．否都会出三数之和

3的倍数．故

n

4．当n4，取1，3，7，9，其随意三数之和所以足要求的正整数最多有4个．

11，13，17，19均素数，足意，6〔2021年北〕在1，2，⋯，2021中取一数，使得随意两数之和不可以被其差整除，最多能取多少个数？解：将1，2，⋯，2021分红〔1，2，3〕，〔4，5，6，〕⋯，〔2021,2021,2021〕,〔2021,2021〕671，假如所取数n672，由抽原理必定有两个数属于同一，不如ab，ab1或2。当ab1，此ab整除ab，不合要求。当ab2，此，a与b同奇偶，所以ab偶数，进而ab也能整除ab，也不合要求。∴n671，观察1,4,7，⋯，2021671个数中的任两数ab，abk3k,2N，而ab3l,lN，∴ab不整除ab，进而可知，最多能取671个数，足要求。析：本考整除，而解答主要用到数学中的抽原和节余，整除等的数知，体出自主招生要求考生有必定的数学知，并掌握数学的一些常用方法和技巧。6.〔2021年〕x,y,z是互不相等的正整数,xyz|(xy1)(xz1)(yz1),求x,y,z.【解】本等价于求使(xy1)(xz1)(yz1)xyz(xyz)xyyzzx1xyzxyz整数的正整数x,y,z,因为x,y,z是互不相等的正整数,所以xyz|xyyzzx1,不失一般性不如xyz,xyzxyyzzx13yx,于是z3,合z正整数,故z1,2,当,xy|xyyx1,即xy|yx1,于是xyxyyx12x,所以y2,z1但另一方面yz,且正整数,所以y2矛盾,不合意.所以z2,此2xy|xy2y2x1,于是2xyxy2y2x1,即xy2y2x1,也所以xy2y2x4x,所以y4,又因yz2,