2018基础视频讲义需要版

2018考研数学讲欢迎使高等数TOC\o"1-1"\h\z\u引 引任务（3.4.5.6月份第一讲：极limfx=A00,当0x-

时，有fxAxx0x0x0x x xfxAfxfxfxlimfxM0,X0,xX时,有fx n为自然数,n专指n，而略去“+”不limxA0N0，当nNxAx 对{x}，xa（常熟，x0，n1, ，若limxn0，则limx（x x

x （C）非0常 【分析】写出定义：0，N0，当nN时， 0xnxn1xn1

11xn 1

1 取=12

（n1）2）xnfxn1若limfxAA【证】假设limfxBABAB0,0,

0,00,0

fxAfxB取Af A，BfxB取AB，则有ABfxAB e 1 aarctanx存在，求a、Iex x0x0两个方向进行分析： limexaarctan10x0 2 x x0 x ex aaa1,I 若limfxA，则M0,0，当0

xx0时，恒有fxMfx f AfxA

fxA取2018（0的数M2018A，证毕A（

B.(0,1

在（）xsin(xxsin(x【fx在I①若I为a,b，用“连续函数fx在a,b上必有②若I为a,b，则用 ,x x- xsin(x x1+x(x1)(x局部保号若limfxA0xx0fx若limfxA0xx0fx【分析】0,xx0,fxA Af A取A2

Afx3A 【例】设limfx=f0且 fx2，则x0是（ x01cossin(sin(3)(), xsin(x sin(2)(2)x0x(x1)(x (1)f1cos

2fx0

f0limfxlimf x01cos

(1cosx)0

0 0①七种未定式（ ,0,,,0,10若limfx0,limg(x 且

f

，则

f

fx x x sin cos 【注】如 sinxlim

x sixarcsixntanxarctaxnexxln )(1x) 12112

0 ,001tanx1sin1tanx1sinx1sin2x ex2e22cos 【例2】 （ e22cos(ex22cosx21)

x22cosx 2x2sin

1cos lim lim lim lim

【分析】碰到01 1 如limxlnx=lim =lim limxln2x行不 ln

x01

ln2x

换一种=

lnx limx0x0 x0 简单x、ex3：原式=limln(1x1)ln(1x)lim(x1)ln(1x)（换元=limtlntt

cos2【例】lim( x0sin2 xsinxcos

x21sin24

2xsin2xcostantanxsin1x((1sin2x)211tanx1sinlimtanx(1cosx)11 sin212 =lim lim x2sin2 1=lim22cos4xlim 【例】limx2ex1x（令x x et1t et =lim2e1 lim =lim lim tt0 t t0 t t0 第三组（000,1U(x)V(x)eV(x)lnU(lim(x

1x2)x（01ln(x1x2=lim

=

ln(x1x2ln(x1x21lim(tanx)cosxsinx（1x4公式limuvelimvlnuelimv(u1)（u1limtan xcosxsin cosx(1tan2原式=e ex 2fxax0sinxx1x36arcsinxx1x36tanxx1x3o(x3)arctanxx1x33cosx11x21x4o(x4 ln(1x)xx2x3x4o(x ex1xx2x3o(x 11

1xx2x3 （x1】limarcsinxarctan Barcsinxx1x36arctanxx1x33arcsinxarctanx1x3o(x3即原式=

2与cxkc、cosx11x21x4o(x4 (x2 e21()

o(x4 所以cosxe2 x4 x4o(x4) x4o(x4 cosx

14【例3】设fxx0的某领域内有定义，且

fxtanxsin4x

0

fx fx

fx

=

fxtanx4tanx1tanIlimsin4x4tanxlimsin4x4x4x41tan limsin4x4xlim4x4tan 1 41x3 =

xn

fxA，则limfntanntann1n2tanxtanxlimx2(xtan1 limtant = （作倒代换）=et0 若xn不易于连续化，用 【例1】求lim xn nn nn n(n n(n n2n i1n2n n2nnnarctan【例2nnarctannn4nn4nn2nnnnarctan给出xn，若xn单增且有上界或者单减且有下界limxnxn 【例设常数a0,1,x , n，n1, n

aa,

=a

a，猜测上界为a1 1 不妨设xa，则 n a，则有上界 a x n n1) (x )(x (1)n1(x 2 (xx)(xx

x2x110xn1xn0，xn21再根据单调有界准则，可知xn1记lim

AAa

A 11舍去A ，故A11若limfxfx0fxxx00xx0

fx0xx0

fxfx00xx0

fx（2）0xx0

fx（3）fx0（1（2）在若不存在=无穷间断点若不存在=震荡震荡间断点fx1

x,x 在x0处连续，则ab limfxlimfxf 应用limfx0xfx0fx limfx0xfx0fx fx0xfx0fx左导数 fx0存在fx0fx0fx

fx0狗fx0 狗 limfx0xfx0xfx就是典型错误 0xxxlimfxfx0fx00 x01f00fxx0可导的是（f1co f1ehli

lim

fh

limf2hf 【分析】见到fx0：先用定义法写出来，熟练运用定义法。这是道关于函数导数2fx是可导的偶函数，证明fx是奇函数【分析】即证明fx f【练习】若fx是可导的奇函数，证明fx是偶函数(x)(ax)axln(ex)(lnx)x(sinx)cosx(cosx)sinx(tanx)sec2x(cotx)csc2x(secx)secxtan(cscx)cscxcot1111(arctanx) 1(arccotx) 1x2(ln(x x21))x2x2(ln(x x21))x2【例yx2xxxexxxx0，求y7ye2xlnxexlnxyfxF(xyF(x,y)0两边同时对xyy(x（复合求导【例】带你学y1 d21 1n 所确定的隐函数的二阶导数1 1nn【注】n

u)u

uuu un ux3(2

(x 【例】dx1证明 yd2x y''d

(y (y xln(1t2 d3求参数方程ytarctant所确定的函数的三阶导数dx3d2xtd2设ysint， tfx的定fx在ab连续①（有界性定理）M0, |f(x)|M,x②（最值定理）mf(x)M，mf(x)在ab③（介值定理）当muM时[a,b].使f()u④（零点定理）ff'(x的定

f(b0时，(a,b使f(0f(xxx0处

f'(x00.（自己证明设f(x)满足以下三条2）(ab)内可导则(a,b)，使f'()0.（自己证明3)f(a)f【注】若f(af(b),则f'(f(bf(a)=0b

b 设f(x

满足2）(a,b)内可导

f'()

f(b)f.3)g'(x) g'( g(b)【注】若取g(xx,f'()1任何可导函f(xanxn

f(b)fbf(xnf''(x f(n)(xf(x)f(x)f'(x)(xx) 0(xx)2 0(xx)n

f

()(xx xx

(n f(xf(x)f(x)f'(x)(xx)f''(x0)(xx)2f()(xx xx

若f(x)n阶可导：f''(x f(n)(xf(x)f(x)f'(x)(xx) 0(xx)2 0(xx)no((xx)n

f(x3f(x)f(x)f'(x)(xx)f''(x0)(xx)2f(x0)(xx)3o((xx f(x)f(0)f'(0)xf''(0)x2f(0)x3 （1）涉及fx的应用（①-b【例】f(x在ab上连续，证明a,b使af(x)dxf()(ba)b直接说：mf(x证明：mu直接得出：f()u,(2)罗尔定理的应用（⑥）f(af(bf'(F(xf(f'()1f(x)在[0,1]上连续0,1)内可导且f(1)kkxe1xf(x)dxk0

(I)方程fx=0在(0,1)2 由(uv)'u'vuc'可得1）uf(xvx记F(xf(x)xF'(x)f'(x)xf(x)(x)'f'(x)xf则可证f'(f(2）uf(xvex记F(xf(x)exF'(x)f'(x)exf(x)exex[f'(x)f则可证ef'(f(0或者f'(f(3）uf(xve(x),记F(xf(x)e(x)F'(x)f'(x)e(x)f(x)e(x)'(x)e(x)[f'(x)f(x)①将欲证结论中的

f(b)fb

f'()【例2】证明柯西中值定理：g'(

f(b)fg(b)f(x)、g(x)在[a,b]上二阶可导，g"(x)0,f(a)f(b)g(a)g(b) 1）g(x)0,x2）(a,bf()g(

f"(g"(bf复杂化证明：(ab使bf(baf(af(f'()(b给出相对高阶的条件证明低阶不等 【例】f''(x0f(00,证明:xx0,有f(xxf(x 给出相对低阶的条件 阶不等3f(x)二阶可导且f(2f(1)f(22f(x)dx.证明(1,3使f''(

b【例】设0ab1，证明arctanbarctana f'()

f(b)fg(b)【例】设f(x)在[ab]上连续,(ab)内可导0ab2证明：,(ab使ftanabfsin2 泰勒公式的f(n)”nox0的某个去心领域，xU(x0fxfx0xfx的真正极大值of'(x0,xI，则f(x在I上单调递增f'(x0,xI，则f(x在I上单调递减of(xxx0处连续，在U(x0,o当x0x0x0时f'x0,当x0x0x0时f'x0极当xxx时f'x0,当xxx时f'x0极

若fx在xx与xx内不变号不是极 f(xxx0处二阶可导f'(x0f(x0极小值f(xxx0处二阶可导f'(x0f(x0极大值1fx11)x在(0,x2fx连续fx的图像如下fx有几个极小值点，几个极大值点x1x2I fx1+fx2fx1x2fx是 2 fx1+fx2fx1x2fx是凸 2 判别法，设fxI上二阶可导

0xIfx 0xIfx3若f(x)x点的左右f''(x 号x(,f(x))拐

2（带你学，P13914）yf(xf''(x00,f'''(x0证明(x0,f(x0为拐点3】yx1)(x2)2(x3)3(x4)4，则其某一个拐点为（A（1,0） B x

f(xxx0为f(x)的一条limf(xA，则称yAf(x的一条x-

f(x)ByB为f(x)的一条limf(x)a0,limf(xaxb,则yaxb为一条 x2x2x(x1)(x ）

f'(x0x0若给出[a,b]

f'(x)不x不可导点，是可疑点 比较f(x0、f(x1)、f(a)、f(b)取其最大（小）者为最大（小） 1位于第一象限的部分求一点P，使该点处的切线、椭圆及两坐 设f(x)定义在某区间I上，若存在可导函数F(xF'(x)f(x对xI都成立F(xf(x在I上的一个原函数f(x)dxF(xCb定积af(x)dxbNL公式:bf(x)dxF(x)xbF(b xkdx

1dx1 xxk1C,kxk

1dx xx1dxln|x|C,axdx1axC,a0,axexdxex

lnsinxdxecosxC,cosxdxsinxtanxdxln|cosx|C,cotxdxln|sinx|secxdxln|secxtanx|C,cscxdxln|cscxcotx|sec2xdxtanxC,csc2xdxcotxsecxtanxdxsecxC,csc1cotxdxcscxdxarcsinx dx

1x dx

1ln

a

| a2

a dxln(x a2x2)

dx a2

xdxln(x x2a2)

dx

ln

|x2 x2 ax2xa2a2arctanxa2a2x2dx2 1】(2x)1(2x2)1(2x2)1cos2xsin)3】cosx(1cosxesinx)【分析】对于F(x)dx，F(x)越复杂我们就越高34（xlnx)2(lnxx2三角换元--当被积函数含有a2x2,a2x2x2a2令xasintta2 a2令xatantta2x2令xax2

x0,0t2 x0,t ax2bxax2bxk222(xk2,2(xk22倒代换--xt

复杂部分代换—令复杂部分axcxnaxb aebxcaxcxax,ext（指数代换lnxt（对数代换arcsinxarctanxt（反三角函数代换）x2dx,x2 2a2x2udvuvvdu（前面的积分 ex【例1】ex

sin2 cos定义：形如

Pn(xdx,(nmQm将Qm(x)Q将Qm

ax

(x分解出axbk产生k(ax(ax，k1,(ax分解出px2qxrk产生kA1xBpx2qx

A2xB AkxAkx，k1,24x26x1】计算(x1)(2x1)2x【例2】计算 xxxxbaf(x)dxF(b)b -1 对于af(x)dx=1(a) (t)dt（令 (t)且要求(t)连续x(t不超过区间ax【例1】 x1

2sinnxdxn13】1

1x2yy1(xyy2(xxaxb,(abbSa|y2(x)y1(x)b

(a,b

1x(1ln2

， yy(x)与xaxb,(abxxVby2ayy(x)与xaxb,(abxybVya2b【例】设平面图形yx22xy0,x1,x3围成，求y轴旋转一周所得的by(x在[abyb 1

在区间[0,]2o0,0,当P(x,y) U(P0,)时，恒o|f(x,y)A|y

f(x,y)xy1xy1y

f(xyf(x0y0f(xy在(x0y0处连续【注】若偏导数（必考）zf(xlimf(x0limf(x0x,y0)f(x0,y0(x0,y0

limf(xlimf(x0,y0x)f(x0,y0(x0,y0

x2【例】设f(x,y) ，求fx'(0,0),fyx2zf(uvw),uuy),vv(xywzz|vz| v w高阶偏zf(uv 2zf(exsin

),f

无条件的zf(x

zf(xy在点(x0y0处

，则fx'(x0y00fy'(x0y00 f''(x, 记f''(xyB，则B

''(x0,y0)

0该法失效，别谋他法（概念题 f(xyx2y2xlnx

(x,y,z)提法：求目标函数uf(xyz在约束条件(xyz)0下的极值 Fx0Fy0F