立体几何基本步骤

立体几何几何体的三视K10年几何体的三视K10年28考』1、根据儿何体的三视图判断儿何体的结构特征：三视图为三个三角形，一般对应三棱锥.三视图为两个三角形，一个四边形，一般对应四棱锥.三视图为两个三角形，一个圆，一般对应圆锥.三视图为一个三角形，两个四边形，一般对应三棱柱.三视图为两个四边形，一个圆，一般对应圆柱.2、正方体按照不同的方式展开，所得到的展开图共有以下11种.日111rjjI】n口In〔「g111rjji玮%珥甜四3、与球有关的组合体的常用结论长方体的外接球：球心：体对角线的交点；半径：+b,c•为长方体的长、宽、高).正方体的外接球、内切球外接球：球心是正方体中心，半径尸=平为正方体的棱长)；内切球：球心是正方体中心，半径尸=三(“为正方体的棱长).棱长为a的正四面体内切球半径外接球半径A=%.JL乙T二用向量解答角度K5年12考』1、直线与平面所成的角：设直线/的方向向量为。，平面。的法向量为，，直线/与平面。所成的角为。，贝'Jsin〃=|cos〈q,弟l=3|・|：|.如：【2020年新高考I理数卷-20(2)】2、向量法求二面角：设二面角a・I"的平面角为珏,M分别为平面。，乡的法向量，向量勾,止的夹角为3,则有〃+c=jt(如图1)或〃=/(如图2),其中cos3=

3、点到平面的距离：如图所示，己知刀8为平面。的一条斜线段，〃为平面。的法向量,f\AR•n则方到平面】的距离为|切|=——-n三易错陷阱K5年21考』1、混淆空间角与向量所夹的角：异面直线所成的角范围是：（0,-］o线面角的范围是：［0,-］o二面角22的范围是：［0,刀］。两个向量的夹角范围是：［0,勿］。向量勾,2、易忽视向量的夹角与所求角之间的关系：⑴求线面角时，得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦，而不是线面角的余弦。⑵求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析。（3）直线和平面所成角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，注意函数名称变化。3、易略定理的必备条件致误：①使用定理证明或判断线线和线面平行时，一定要注意定理成立的条件，缺一不可。②应用直线与平面垂直的判定定理时，要熟记定理的应用条件是：不能忽略“两条相交直线”这一关键点。一高考客观题

题型1角的度数K5年10考』［2020-新高考I理数卷-4］4.日唇是中国古代用来测定时间的仪器,利用与唇面垂直的理针投射到辱面的影子来测定时间.把地球看成一个球（球心记为。），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点刀处的水平面是指过点力且与以垂直的平面.在点力处放置一个日辱，若辱面与赤道所在平面平行，点力处的纬度为北纬40°，则唇针与点刀处的水平面所成角为（审题思路A.20°B.40°C.50°D.90°审题思路分类关键信息信息挖掘数学思想数形结合思想根据题意，添加图形中的辅助线。题眼①看到“球心记为0”想到用“球的几何性质”。②看到“地球上一点A”o想到用“过A点引切线与过A点的半径相垂”③看到“曷面与赤道所在平面平行”想到用“线面垂直的定义可得④看到“点A处的纬度为北纬40°”想到用“平等线的性质定理”。易错点①不理解北纬40°；②不会加辅助线。①理解含义；②加辅助线应用“平等线性质定理”类似高考2019-全国II理数卷•16、详解答案1、第1步骤：画出过球心和辱针所确定的平面截地球和辱面的截面图。2、第2步骤：添加过A点平等于半径CD的平行线AG。3、第3步马聚：画出截面图如下图所示，其中8是赤道所在平面的截线；/是点A处的水平面的截线，依题意可知OA11;

4、第4步骤：旭是辱针所在直线.〃，是唇面的截线，依题意依题意，唇面和赤道平面平行，辱针与辱面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知m//CD、根据线面垂直的定义可得ABVm.5、第5步骤：由于ZAOC=40\m//CD,所以ZOAG=ZAOC=40°,由于ZOAG+ZGAE=ZBAE+Z.GAE=90°,所以ZBAE=ZOAG=40°f也即唇针与点A处的水平面所成角为以AE=40。。所以选择：B。解题步骤1、第1步9聚：根据题意，画出兀何图形。2、第2步骤：根据题意，添加有必要的辅助线。3、第3步9聚：利用所学的儿何公理、定理一步步证明。题型2题型2立方体的面积K5年1。考』[2020•全国I理数卷-10】10.己知A,B,C为球。球面上的三个点，。。】为△A5C的外接圆，若的面积为4兀，AB面积为4兀，AB=BC=AC=OOlf则球。的表面积为（A.64kB.4871C.36兀D.32兀审题思路分类关键信息信息挖掘数学思想函数思想通过分析变量关系，建立方程或函数，使问题解决题眼①看到“为-ABC的外接圆”。可得到“等边△A5C的外接圆半径”°②看到“③°】的面积为4兀”o想到用“圆的面积公式”得“圆的半径”o③看到“AB二BC二AC二00「'o想到用“正弦定理”。易错点思维单一，不会使用“正弦定理”面积的计算需要建立函数表达式的方法加以解决。类似高考2020•新高考I理数卷•15、2020•全国【II理数卷•8、2020•天津卷•5、2019-全国I理数【1卷-15、详解答案1、第1步骤：设圆Q半径为「，球的半径为R,依题意，得”=5,.•.尸=2,2、第2步骤：由正弦定理可得A^=2rsm60o=2V3,:.OO,=AB=2^3f根据圆截面性质°Q~L平面ABC,3、第3步马聚：00】_LQ4R=OA=J"+QA'=+尸=4,•.•球。的表面积S=4几人'=64/r.选：A解题步骤123/r;^步9聚：123/r;^步9聚：求出球半径，必要时可通过解方程求得。步9聚：代入球的表面积或体积公式，计算出表面积或体积。二高考解答题题型1线面所成的角值K5年10考』[2020•新局考I理数卷-20]20.如图，四棱锥4ABCD的底面为正方形，R?_L底面旭⑦.设平面W与平面政的交线为1.

证明：1_L平面日X；己知PSAX,。为［上的点，求勿与平面初所成角的正弦值的最大值.审题思路分类关键信息信息挖掘数学思想①法向量法思想用直角坐标系表示“各种条件”，化为向量问题。题眼①看到“PD_L底面ABCD"o想到建立“空间直角坐标系”。②看到“四棱锥P-ABCD底面正方形”想到用O③看到“PAAD^l,Q为［上的点"o想到建立各点“坐标点”。易错点因空间想象力不足，导致不会做。利用平面的法向量可以解决所有的立体几何的计算类似高考2020•新高考IIIIII理数卷•8TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"详解答案J1、第1步9聚：根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，K2、第2步骤：设出点之后求得平面OCD的法向量以及向量前的坐才/X3、第3步骤：求得cos＜^PB＞的最大值，即为直线朋与平面。CD所成角的正、.月一(2)如图建立空间直角坐标系。-,因为PD=AD=1,则有。(0,0,0),C(0,1,0),A(l,0,0),P(0,0,1),3(1,1,0),设Q(m,0,1),则有PC=(0,l,0),Dg=(m,0,1),应=(1,1,一1),设平面QCD的法向量为/i=(x,y,z),DC亓=0DQn=0令X=l,则Z=-〃7,所以平面。CD的一个法向量为云=(1,0,-〃7)cos<n,PB>=cos<n,PB>=〃・PBnPB1+0+〃？

>/J・J"+1根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于|海＜商＞|=」1；〃"如、阡E=g后乐*.J1+判萍.很71=约当且仅当＞/3-yjnr+13\nr+13、nr+13\nr+133二1时取等号，所以直线所与平面。CD所成角的正弦值的最大值为亟.3解题步骤1、第1步9聚：建立恰当的空间直角坐标系，求出相关点的坐标。2、第2步马聚：写出相关向量的坐标。3、第3步9聚：求平面的法向量。4、第4步骤：求线面角的正弦值，转化为儿何结论。题型2二面角任5年10考』［2020•全国I理数卷・18】题型2二面角任5年10考』［2020•全国I理数卷・18】18.如图，。为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，AE为底面//6(2)求二面角B-PC-E的余弦值.审题思路分类关键信息信息挖掘数学思想①转化化归思想将几何问题转化为化为“向量”问题。题眼①看到“。是圆锥底面的圆心”。想到建立“空间直角坐标系”。②看到“AE底面直径，AE=AD”o想到用设立各点“坐标点”。③看到“P为D0上一点”想到用“向量计算二面角的方法”。易错点因对图形和儿何理论不熟，导致不会建系，进而不会求二面角的余弦值。熟知常见的空间直角坐标系的建法，结合己知的图形中的垂直关系建系。类似高考2020•全国1【理数卷,12详解答案1、第1步骤：以。为坐标原点，OA%x轴，QV为y轴建立如图所示的空间直角坐标系2、第2步骤：分别算出平面PCS的法向量为"平面FC厅的法向量为话,3、第3步骤：利用公式cos</^/i>=4-^计算即可得到答案.I〃III(2)过。作ON//BC交朋于点」V,因为PO1平面ABC,以。为坐标原点，OA^x轴，ON%y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则E(-1,0,0),P(0,0,g),则E(-1,0,0),P(0,0,g),8(，平,0),C(—?,-,0),244444司1y/3y/2—Iy/3y/2—1逝、PC=(T"T,"T),「8=("'丁'一了)'"=(一成，°，一不)，设平面PCB的一个法向量为n=0,氐4),”,竺=°,得J0PB=OI所以£=(>/1,0,-1),设平面PCE的一个法向量为m=(易况,勺)ifi-PC=0—,得(而・PE=Q所以商=(1,斗,一2)2^2_2>/5I叶H厅*加5，V3xvr设二面角B-PC-E的大小为们则cosQ=HE5;急意:，令2得0,-X2一一=0^3-2―任=0，令易=1，得&=亲以=亏，cos<m.n>=故n・m解题方法1、第1方〉去：找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐钝二面角。2、第2方〉去：找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小题型3平行与垂直K5年10考』[2020-全国I理数卷・20】20.如图，己知三棱柱ABC-AEG的底面是正三角形，侧面硒服是矩形，弘N分别为如民G的中点，F为AM上一点，过8G和P的平面交加于色交AC于F.“(1)证明：AAJ/MN,且平面A、AM叭EgF：分类关键信息信息挖掘数学思想转化化归思想把所求的两条线段平行，转化为这两条线段同时与一条线段平行。分类关键信息信息挖掘数学思想转化化归思想把所求的两条线段平行，转化为这两条线段同时与一条线段平行。题眼①看到“侧面跳GC为矩形”。想到推出“BC_LBiB"o②看到“M,N分别为庞*,3G的中点”想到推出“MN〃BiC「o③看到“M,N分别为％,中点"想到推出“BC到AM”o易错点因空间想象力不足，导致不会作辅助线，进而导致)无法证明。当条件出现两边的中点，连接两点，先证明这两条线段平行，然后根据定理再证明所求两条线段平行。类似高考2020•全国III理数卷•8详解答案1、第1步骤：由归0分别为BC,的中点，MN/iCC、根据条件可得可证"//",2、第2步骤：要证平面EB^F1平面AA",只需证明砰上平面即可；(1)分别为BC,的中点，MN//BB】又明MN/(AAl在中，M为BC中点，则BCLAM乂•.•侧面明qc为矩形，BC1BB]MN//BB、MN1BC由MN=M,MN,AMu平面\AMNBC_L平面A[AMN又B\CJ/BC,且BCq平面ABC,BCu平面ABC,.•.¥】〃平面枷乂BGu平面EB&F,且平面EBGFc平面ABC=EF:.如q//ef:.EF//BC乂・.・BC_L平面A\AMN

EF_L平面•.・EFu平面EB&F平面EBJF1平面A】AMN解题步骤1、第1步9聚：建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用载体中的垂直关系。2、第2步马聚：建立图形与向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素。3、第3步马聚：通过空间向量的运算研究平行、垂直关系。4、第4步马聚：根据运算结果解释相关问题。晚练A组模拟1、如图是正方体或四面体，P,Q,R,S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是()ABCDABCD【答案］:d【解析】:根据异面直线的判定定理，选项D中P5与QR是异面直线，则四点P,Q,R,5不共面。2、正四棱锥P-ABCD的侧棱和底面边长都等于2也，则它的外接球的表面积是()A.16nB.12兀C.8兀D.4n【答案】：A【解析】：设正四棱锥的外接球半径为r,顶点户在底面上的射影为0(图略)，因为婚X*泌+如2吏'+2吏'+2也』2,所以PO=yjMF=\[2也2—呼=2.乂0A=0B=0C=0D=2,由此可知R=2,于是S球=4兀斥=16兀.3、己知两平面的法向量分别为〃=(0,1,0),〃=(0,1,1),则两平面所成的二面角为()兀3n|S3兀口3A•才b-4H仁彳或1只D.―^-it【答案】：C【解析】：•3=(0,1,0),【答案】：C【解析】：•3=(0,1,0),n=(0,1,1),.••0・〃=1,\a\=l9|〃|=也，・.・两平面所成的二面角为;或jn，故选C.

4、己知棱长为a的正四面体，则此正四面体的表面积&与其内切球的表面积S2的比值为.【答案】:哗［解析】：正四面体的表面积为，=4X乎X°2=®,其内切球半径「为正四面体高的打即\［qna2Six［3o26=12。，因此内切球表面积为S2=4只尸=—g—,则&=兀=兀.5、如图，在正方体/4BCD-41B1C1D1中，0为正方形48CD的中心，H为直线&D与平面*Di的交点.求证:Di,H,0二点共线.I解析】:如图，连接力，皿则BDCAC=0,因为砥^必，所以四边形砥〃〃为平行四边形,又HEBJ),民穴平面BBDD,则平面BBDD,因为平面ACD-.H平面BBDD=OD、,所以HWODi.即久H,。三点共线.6、如图，在四棱锥P-ABCD中，AD//BC,他=8C=)D,E,F,〃分别为线段AD,PC,CD的中点，AC与BE交于0点,G是线段OF上一点.求证：必〃平面班F；求证：圈〃平面用【答案】：［证明］⑴连接EC,因为AD〃BC,BC=^AD,乙所以B丛AE,所以四边形以必是平行四边形，所以。为*的中点.乂因为尸是/T的中点，所以F0〃AP,因为祚平面班RA氏平面所以刀户〃平面奶：(2)连接明，0H,因为F,H分别是FC,切的中点，附以FH〃PD,因为腴平而W,祚平面所以刖〃平面又因为。是庞'的中点，&是⑦的中点，所以0H〃AD,因为g平面W,,说平面W.所以妍平面用〃又FHC0H=H,所以平面勿F〃平面PAD.乂因为GK平面OHF,所以密〃平面PAD.7、如图，在四棱锥P-ABCD中，用_L平面物②，底面物②是菱形，刀g=2,ZBAD=60

求证：及?_L平面用G⑵若PA=AB,求所与AC所成角的余弦值.【答案】：(1)证明：因为四边形刀时是菱形，所以ACVBD.因为0_L平面刀砌，所以PALBD.乂因为血所以助_L平面用C设ACQBD=0.因为/BAD=60°,PA=AB=2,所以80=LAO=CO=t如图，以。为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz,所以PB=(1,-2),AC=(0,2^3，0).设朋与刀C所成角为〃，则cos°=PB-AC\PB\\AC\—业2y/2X2y/34'所以PB=(1,-2),AC=(0,2^3，0).设朋与刀C所成角为〃，则cos°=PB-AC\PB\\AC\—业2y/2X2y/34'即您与M所成角的余弦值为平.8、如图所示，在长方体ABCD-A.B.C.D,中，钮=欢=1,E为CD中点.求证：瓦ELADj在棱如|上是否存在一点R使得班〃平面8刀屏若存在，求妒的长；若不存在以刀为原点，AB,AD.如1的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.设AB=a.【答案】:(1)证明：＞1(0,0,0),力【答案】:(1)证明：＞1(0,0,0),力(0,1,0),2(0,1,1),4分，1,。),8(a,0,1),故成A=(0,1,1),RE=1,-1因为方£•AD,=-|xo+ix1+(-1)X1=0,乙因此所以B-.ELAD,.(2)存在满足要求的点R假设在棱仙】上存在一点户(0,0,劣),使得班〃平面3如*,此时班=(0,-1,%),再设平面8如'的一个法向量为刀=(x，y，z).M=(a,0,1),座=(W，1，0.

{ax+z=O,ax.驭才=1,贝驭才=1,贝ijy=—5,z=—a,乙则平面缶45的一个法向量々=（1，要使班〃平面343只要nLDP,\a~2fQ]有—52b=0,解得Zo=~乙乙所以存在点R满足班〃平面3如此时AP=}:.乙B组模拟1、己知棱长为a的正四面体，则此正四面体的表面积&与其内切球的表面积S2的比值为-【答案】：瓯JI【解析】：正四面体的表面积为£=4X平XA修，其内切球半径广为正四面体高的:，即qt~r□=尊,因此内切球表面积为S=4n封=命攵，则*=平£=哗.izoa>jia2、如图所示，在正方体ABCI>AMD、中，己知M分别是欢和必的中点，则尻"与刃V所成角的余弦值为（）R画

15D返R画

15D返15L-30【答案】：A【解析】：以〃为原点建立空间宜角坐标系D-xyz,如图,设所=2,则Ml,0,0),^(0,0,2),Ml,1,0),民(2,2,2),—1,—1,—2),Q」V=(l,0,—2),—>—*班v=—1+4=3,\8"=十,|刃V|=g，二二3J30.•.cos〈BM屁冷=-?==%>0,

.•.8.M与所成角的余弦值为.故选A.3、己知P是/XABC所在平面外的一点，M,A/分别是入8、PC的中点，若MN=BC=4,PA=4®则异面直线E4与M/V所成角的大小是（）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】：A【解析】：取M的中点0,连接弥ON,则OM^BC,QV耕!风・•・ZONM就是异面直线PA与"V所成的角.在ZXQ好中，助V=4,OM=2,ON=2$,・QV+必「一前12+16-4a/3..cos匕0NM=~=7==Q,20N・粉2X2^/3X42・.・NQW=30°即异面直线0与助V所成角的大小为30°,故选A.cG4、如图，己知圆柱的轴截面ABBiAi是正方形，C是圆柱下底面弧A8的由占.c皇局柱上底面孤A1&的中点，那么异面直线AG与BC所成角的正切值为cG答案］：【解析1:取圆柱下底面弧所的另一中点〃，连接GQ，航因为。是圆柱下底面弧砧的中点，所以AD//BC所以直线4G与彩所成角等于异面直线4G与网所成角，因为G是圆柱上底面弧,占的中点，所以G久L圆柱下底面，所以CKAD.因为圆柱的轴截面曲遥4是正方形，所以Cg吏肋,所以直线刀G与刀力所成角的正切值为也，所以异面直线4G与％所成角的正切值为彖.5、如图，己知四棱柱ABCD-AiB^Dr的底面前CD为菱形.（1）证明：平面您C〃平面以C;（2）在直线GG上是否存在点R使胪〃平面DA’G?若存在，确定点卢的位置；若不存在，请说明理由.【答案】：（1）证明：由棱柱ABCD-A^aD,的性质知，报〃庞;（图略），瘀平面以C,力Gu平面以C,・・・恋〃平面同理可证3C〃平面以C,乂A"RC=R,・.・平面柩C〃平面DA\C\.⑵存在这样的点R使既〃平面DA.Q.,:A、B也A丛DC,.・・四边形AECD为平行四边形.:.A.D//B.C.在GC的延长线上取点R使C、C=CP,连接既（图略），,:B’.见C、C,:・B\世二CP,四边形跳a为平行四边形，

则BP〃BG：.BP//A,D,:.BP//平面DA,a.6、如图所示，在四棱锥P-ABCD中，卢以平面物％,PC=2,在四边形物②中，Z5=Zr=90°,AB=4,CD=\,点〃在彤上，PB=4PM,彤与平面刀囹％成30°角，求证：6¥〃平面31〃；平面0&L平面PAD.【答案】：(1)证明：由题意知，CB,CD,。两两垂直，以。为坐标原点，佰所在直线为x轴，度?所在直线为y轴，必所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系C・xyz.3-2(1)设力3-2(1)设力=(x,J7,Z)为平面0刀的一个法【可量,9：PCI.平面物②，・.・/PBC为所与平面力时所成的角，：・2PBC=3甘.9：PC=2,:・BC=2毒,PB=4,・.・力(0,1,0),8(2/,0,0),刀(2/,4,0),户(0,0,2),」拷，0,|:.DP=(0,一CM=DP・刀=0,DP・刀=0,—y+2z=0,2寸§x+3y=0,^：n^CM=_yfixVDA•刀=0,令y=2,得〃=(—瑚，2,1).,3xo+ix-=o,乙:.nVCM.乂G肉平面PAD,CM//平面PAD.—>—*(2)法一：由⑴知BA=(0,4,0),PB=(2柬,0,一2),设平面W的一个法向量为m=3,乃，％),｛彻・0=0,[4贝=0,-即PB・0=0,令罚=1,得20=(1,0,

乂.・•平面用力的一个法向量〃=（一寸5,2,1）,・・.0・〃=1X（一艘+0X2+/5xi=0,「・平面W_L平面PAD.法二：取刀卢的中点其连接班则万（寸，2,1）,既=（一寸，2,1）..:PB=AB,:・BELPM.乂..•厅•以=（一/,2,1）•（2/,3,0）=0,:.BELDA.:.BELIA.乂:.BEL平面PAD.又•：BEu平面PAB,..•平面W_L平面名校联考题型1立方体的三视[2021年1月23日八省联考卷・11】11.右图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（）题型2立方体的体积A-AE//CDB.CH//BEC.DGVBHD.BGLDE【答案】：BCD[2021年1月23日省联考卷-13]13、圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4