立体几何-点线面关系

立体几何第二节空间点、直线、平面之间的位置关系本节主要包括2个知识点：平面的基本性质；2.空间两直线的位置关系突破点（一）平面的基本性质基础联通抓主干知识的“源”与“流”1.公理1〜3\表示公理、文字语言图形语言符号语言公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内脂1':二Be利l>ra公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面,A,B,C三点不共线与有/匚籍/且只有一个平面a,使AEa,Bea,Cea公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线广京/PEa，且PeB习acB—yyt，且pei公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面;推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”一考点|点、线、面的位置关系证明点共线问题的常用方法公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在交线上；同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上.证明线共点问题的方法先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点.证明点、直线共面问题的常用方法纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面a，再证明其余元素确定平面B，最后证明平面a，B重合.［典例］已知：空间四边形ABCD(如图所示)，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且CG=；BC，CH=；DC.求证：.E，F，G，H四点共面；..，-三直线FH，EG，AC共点.［方法技巧］平面的基本性质的应用公理1是判断一条直线是否在某个平面内的依据，公理2及其推论是判断或证明点、线|共面的依据，公理3是证明三线共点或三点共线的依据.

能力练通抓应用体验的“得”与“失”能力练通抓应用体验的“得”与“失”如图是正方体或四面体，P,Q,R,S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是（）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）至多等于3B.至多等于4C.等于5D.大于5以下四个命题中，正确命题的个数是（）不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面;若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；依次首尾相接的四条线段必共面.0B.14.如图所示，四边形ABEF和四边形ABCD都是梯形，BC^；AD，C.2D.3BE^；FA，4.如图所示，四边形ABEF和四边形ABCD都是梯形，BC^；AD，（1）证明：四边形BCHG是平行四边形;（2）C，D，F，E四点是否共面？为什么？

突破点(二)空间两直线的位置关系基础联通抓主干知识的“源”与“流”空间中两直线的位置关系(1)空间中两直线的位置关系共面直线平行共面直线平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)公理4和等角定理公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a，〃a，b'〃b，把a，与b‘所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(n范围：［0,刁.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”考点一空间两直线位置关系的判定［例1］(1)下列结论正确的是()在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；平行于同一条直线的两条直线平行；一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；空间四条直线a，b，c，d，如果a〃b，c〃d，且a〃d，那么b〃c.①②③B.②④C.③④D.②③(2)在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有•(填上所有正确答案的序号)①②伺I④

①②伺I④［方法技巧］判断空间两直线的位置关系一般可借助正方体模型，以正方体为主线直观感知并准ITOC\o"1-5"\h\z确判断.j异面直线的判定方法i反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面.|考点二异面直线所成的角定理法:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线」考点二异面直线所成的角［例2］空间四边形ABCD中，AB=CD且AB与CD所成的角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小.人、［方法技巧］用平移法求异面直线所成的角的步骤|(1)一作：即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；!(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；!(3)三求：解三角形，求出作出的角.如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角;1如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.能力练通抓应用体验的“得”与“失”:考点一］下列说法正确的是()若aua，buB，则a与b是异面直线若a与b异面，b与c异面，则a与c异面若a，b不同在平面a内，则a与b异面若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面

A.1±1,1±1习1〃1

122313A.1±1,1±1习1〃1

122313C.1〃1〃1习1,1,1共面12312311±12，12〃13习11±13D.1,1,1共点与1,1,1共面

123123:考点二］如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为.:考点一、二］如图所示，三棱锥PABC中，PA±平面ABC，ZBAC=60°，PA=AB=AC=2，E是PC的中点.（1）求证AE与PB是异面直线；（2）求异面直线AE与PB所成角的余弦值.「全国卷5年真题集中演练一一明规律］（2016-全国乙卷）平面a过正方体ABCDA^Cp的顶点A，a〃平面CBR，ac平面ABCD=m，ac平面ABB^^n，则m，n所成角的正弦值为（）乎B.乎C.乎D.3（2013•新课标全国卷II）已知m，n为异面直线，m±平面a，n±平面B.直线1满足1±m，1±n，10a，1我，则（）a〃B且1〃aa±B且1±Ba与B相交，且交线垂直于1a与B相交，且交线平行于1（2016•全国甲卷）a，B是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：如果m±n，m±a，n〃B，那么a±B.如果m±a，n〃a，那么m±n.如果a〃B，mua，那么m〃B.如果m〃n，a〃B，那么m与a所成的角和n与B所成的角相等.其中正确的命题有.（填写所有正确命题的编号）

「课时达标检测］重点保分课时一一一练小题夯双基，二练题点过高考［练基础小题一一强化运算能力］四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面有（）A.4个B.3个C.2个D.1个已知A，B,C,D是空间四点，命题甲：A,B,C,D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的（）A.充分不必要条件必要不充分条件充要条件若直线a±b,且直线A.充分不必要条件必要不充分条件充要条件若直线a±b,且直线a〃平面abuab〃abua或b〃ab与a相交或bua或b〃a既不充分也不必要条件则直线b与平面a的位置关系是（）4.如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中既与AB共面又与Cq共面的棱有条.「练常考题点一一检验高考能力］一、选择题若直线上有两个点在平面外，则（）A.直线上至少有一个点在平面内B.直线上有无穷多个点在平面内直线上所有点都在平面外D.直线上至多有一个点在平面内空间四边形两对角线的长分别为6和8,所成的角为45°，连接各边中点所得四边形的面积是（）A.6\&B.12C.1^.'2D.24*捐若空间中四条两两不同的直线l,l,l,l,满足l^l,l±l,l±l，则下列1234122334结论一定正确的是（）A.l1±l4B.L〃l4C.七与l4既不垂直也不平行D.七与七的位置关系不确定已知直线a和平面a,B,acB=l，aqa,aGB,且a在a,B内的射影分别为直线b和c,则直线b和c的位置关系是（）A.相交或平行C.平行或异面相交或异面D.相交、平行或异面

5.如图，ABCDA1B1C1D1下列结论正确的是（）A.A,M,O三点共线C.A,M,A.相交或平行C.平行或异面5.如图，ABCDA1B1C1D1下列结论正确的是（）A.A,M,O三点共线C.A,M,C,O不共面B.A,M,O,A1不共面B,B1,O,M共面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A作直线l,使l与棱AB,AD,AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作（）A.1条B.2条C.3条D.4条二、填空题如图所示，在空间四边形ABCD中，点E,H分别是边AB,AD的中点，点F,G分别是边BC,CD上的点，＜CF=CG=|，则下列说法正CBCD3确的是.（填写所有正确说法的序号）①EF与GH平行②EF与GH异面EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上EF与GH的交点M一定在直线AC上如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB,CD,EF,GH在原正方体中互为异面直线的有对.已知a,b,c为三条不同的直线，且au平面a,bu平面B,acB=c.若a与b是异面直线，则c至少与a,b中的一条相交；若a不垂直于c,则a与b一定不垂直；若a〃b,则必有a〃c；若a±b,a±c,则必有a±B.其中正确的命题有.（填写所有正确命题的序号）如图，在三棱锥ABCD中，AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N分别为AD,BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是A三、解答题如图所示，A是ABCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点.(1)求证：直线EF与BD是异面直线；⑵若AC±BD，AC=BD，求EF与BD所成的角.n―如图，在三棱锥PABC中，PAX底面ABC,D是PC的中点.已知匕BAC=5，AB=2,乙AC=2\j'3,PA=2.求：三棱锥PABC的体积；异面直线BC与AD所成角的余弦值.立体几何第二节空间点、直线、平面之间的位置关系本节主要包括2个知识点：平面的基本性质；2.空间两直线的位置关系突破点（一）平面的基本性质基础联通抓主干知识的“源”与“流”1.公理1〜3\表示公理、文字语言图形语言符号语言公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内脂1':二Be利l>ra公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面,A,B,C三点不共线与有/匚籍/且只有一个平面a,使AEa,Bea,Cea公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线广京/PEa，且PeB习acB—yyt，且pei公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面;推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”一考点I点、线、面的位置关系证明点共线问题的常用方法公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在交线上；同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上.证明线共点问题的方法先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点.证明点、直线共面问题的常用方法纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面a，再证明其余元素确定平面B，最后证明平面a，B重合.［典例］已知：空间四边形ABCD(如图所示)，E，F分别是AB，ADTOC\o"1-5"\h\z的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且CG=；BC，CH=；DC.求证：.E，F，G，H四点共面；..，-三直线FH，EG，AC共点.［证明］(1)连接EF，GH，•.•E，F分别是AB，AD的中点，”•.・EF〃BD.'11.又VCG=-BC，CH飞DC，.-,33■■■...GH〃BD，..・EF〃GH，•.・E，F，G，H四点共面.(2)易知FH与直线AC不平行，但共面，...设FHnAC=M，Me平面EFHG，Me平面ABC.又..•平面EFHGn平面ABC=EG，MeEG，FH，EG，AC共点.［方法技巧］--—-一-一—-一-一---一-一--平面的基本商的应用一一-一一-一-—-一-一-—-］公理1是判断一条直线是否在某个平面内的依据，公理2及其推论是判断或证明点、线!共面的依据，公理3是证明三线共点或三点共线的依据.i能力练通抓应用体验的“得”与“失”能力练通抓应用体验的“得”与“失”如图是正方体或四面体，P,Q,R,S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是（）解析：选DA、B、C图中四点一定共面，D中四点不共面.若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）B.至多等于4A.B.至多等于4等于5D.大于5解析：选Bn=2时，可以；n=3时，为正三角形，可以；n=4时，为正四面体，可以；n=5时，为四棱锥，侧面为正三角形，底面为菱形且对角线长与边长相等，这种情况不可能出现，所以正整数n的取值至多等于4.以下四个命题中，正确命题的个数是（）不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；依次首尾相接的四条线段必共面.A.0B.1C.2D.3a解析：选B①显然是正确的，可用反证法证明；②中若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面；③构造长方体或正方体，如图显然b，c异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面.故只有①正确.a如图所示，四边形ABEF和四边形ABCD都是梯形，BC^；AD，BE^^FA，G，H分别为FA，FD的中点.（1）证明：四边形BCHG是平行四边形；（2）C，D，F，E四点是否共面？为什么？解：（1）证明：由已知FG=GA，FH=HD，可得GH^^AD.又•.•BC^^AD’.LGH^BC，」.22四边形BCHG为平行四边形.（2）C，D，F，E四点共面，证明如下:

由BE坤F,G为FA的中点知BE—FG,.・・四边形BEFG为平行四边形，.・.EF〃BG.由(1)乙知BG〃CH,・.・EF〃CH...・EF与CH共面.又DeFH,.・.C,D,F,E四点共面.突破点(二)空间两直线的位置关系基础联通抓主干知识的“源”与“流”空间中两直线的位置关系(1)空间中两直线的位置关系共面直线平行共面直线平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)公理4和等角定理公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.异面直线所成的角定义：设a,b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a，〃a,b'〃b，把a，与b‘所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(n范围：［0,刁.考点贯通抓高考命题通“形”与“神”考点一空间两直线位置关系的判定［例1］(1)下列结论正确的是()在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；平行于同一条直线的两条直线平行；一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；空间四条直线a,b,c,d,如果a〃b,c〃d，且a〃d,那么b〃c.①②③B.②④C.③④D.②③(2)在图中，G,N，M,H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH,MN是异面直线的图形有.(填上所有正确答案的序号)

［解析］(1)①错，两条直线不相交，则它们可能平行，也可能异面；②由公理4可知正确；③错，若一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条直线可能相交，也可能异面；④由平行直线的传递性可知正确.故选B.(2)图①中，直线GH〃MN；图②中，G，H，N三点共面，但帽平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM〃HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但田平面GMN，因此GH与MN异面.所以在图②④中，GH与MN异面.［答案］(1)B(2)②④［方法技巧］判断空间两直线位置关系的思路方法判断空间两直线的位置关系一般可借助正方体模型，以正方体为主线直观感知并准jTOC\o"1-5"\h\z确判断.I异面直线的判定方法|反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面.|定理法:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线..I考点二异面直线所成的角考点二异面直线所成的角［例2］空间四边形ABCD中，AB=CD且AB与CD所成的角为30°，E，F分别为BC，TOC\o"1-5"\h\zAD的中点，求EF与AB所成角的大小.卜.、、［解］取AC的中点G，连接EG，FG，则EG凭AB，FG^CD，三沪由AB=CD知EG=FG，'AZGEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，匕EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角.•.•AB与CD所成的角为30°，.・WEGF=30。或150°.''由EG=FG知^EFG为等腰三角形，J罕#上当ZEGF=30。时，匕GEF=75°；'£X当ZEGF=150°时，ZGEF=15°.故EF与AB所成的角为15。或75°.'［方法技巧］……一一—一一-一用平移法求算面直线所成的角的就(1)一作：即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；（2）二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；i（3）三求：解三角形，求出作出的角.如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角」如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.!能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.［考点一］下列说法正确的是（）若aua，buB,则a与b是异面直线若a与b异面，b与c异面，则a与c异面若a，b不同在平面a内，则a与b异面若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面解析：选D由异面直线的定义可知D正确.2.:考点一］1「l2,13是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A.1±1，1±1习1〃1

122313C.1〃1〃1习1，1，1共面123123B.11±12，12〃13习11±13D.1，1，1共点与1，1，1共面

123123解析：选B若1±1，1±1，则1，1有三种位置关系，可能平行、相交或异面，A122313不正确；当丫/七〃1'或】1，1，1共点时，1，1，1可能共面，也可能不共面，C，D不正23123确；当1±1，1〃1时，则有1±1，故选B.1223133.［考点二］如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为.解析：如图，将原图补成正方体ABCDQGHP，连接GPAG，则GP〃BD，所以/APG为异Q面直线AP与BD所成的角，在△AGP中AG=GP=AP，n答案：耳4.［考点一、二］如图所示，三棱锥PABC中，BAC=60°，PA=AB=AC=2，E是PC的中点.⑴求证AE与PB是异面直线;⑵求异面直线AE与PB所成角的余弦值.解：（1）证明：假设AE与PB共面，设平面为a，Ega，・.・平面a即为平面ABE，.・・Pe平面ABE，这与P平面ABE矛盾，所以AE与PB是异面直线.⑵取BC的中点F，连接EF，AF，则EF〃PB，所以/AEF（或其补角）就PA±平面ABC，/VAga，BGa，一n所以ZAPG=-.3是异面直线AE与PB所成的角.*.*ZBAC=60°,PA=AB=AC=2,PA±平面ABC,「.AF=\；'3,AE=\/2,EF=-«2,cosTOC\o"1-5"\h\zAE2+EF2—AF22+2—311^AEF=2・AE・EF=2X戒X・@=7故异面直线AE与PB所成角的余弦值为4・「全国卷5年真题集中演练一一明规律］（2016-全国乙卷）平面a过正方体ABCDABCD的顶点A,a〃平面CBD,ac平面111111ABCD=m,ac平面ABBA=n,则m,n所成角的正弦值为（）A.乎B.*C«D.3解析：选A如图，在正方体ABCDA1B1C1D1的上方接一个同等大小的正方体ABCDABCD，则过A与平面CBD平行的是平面ABD，即平22221122面a就是平面ABD，平面ABDC平面ABBA=AB，即直线n就是直线2222112AB2，由面面平行的性质定理知直线m平行于直线B2D2，故m，n所成的角就等于AB与BD所成的角，在等边三角形ABD中，/ABD=60°,2222222故其正弦值时.故选A.乙nL平面B.直线l满（2013•新课标全国卷II）已知m，n为异面直线，m^平面a，足l±m,l±n,lqa,nL平面B.直线l满a〃B且l〃aa^B且l^Ba与B相交，且交线垂直于la与B相交，且交线平行于l解析：选D由于m，n为异面直线，m上平面a,n上平面B,则平面a与平面B必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足lLm，l±n,则交线平行于l,故选D.（2016•全国甲卷）a,B是两个平面，m,n是两条直线，有下列四个命题：如果m±n,m±a,n〃B，那么a±B.如果m±a,n〃a，那么m±n.如果a〃B,mua,那么m〃B.如果m〃n,a〃B，那么m与a所成的角和n与B所成的角相等.其中正确的命题有.（填写所有正确命题的编号）解析：对于①，a,B可能平行，也可能相交但不垂直，故错误.对于②，由线面平行的性质定理知存在直线lua,n〃l，又mLa，所以m±l,所以m±n,故正确.对于③，因为a〃B，所以a,B没有公共点.又mua,所以m,B没有公共点，由线面平行的定义可知m〃B，故正确.对于④，因为m〃n，所以m与a所成的角和n与a所成的角相等.因为a〃B，所以n与a所成的角和n与B所成的角相等，所以m与a所成的角和n与B所成的角相等，故正确.答案：②③④

［练常考题点一一检验高考能力］、选择题若直线上有两个点在平面外，则（）A.直线上至少有一个点在平面内B.直线上有无穷多个点在平面内C.直线上所有点都在平面外D.直线上至多有一个点在平面内解析：选D根据题意，两点确定一条直线，那么由于直线上有两个点在平面外，则直线在平面外，只能是直线与平面相交，或者直线与平面平行，那么可知直线上至多有一个点在平面内.空间四边形两对角线的长分别为6和8,所成的角为45°，连接各边中点所得四边形的面积是（）A.尊B.12C.12'&D.24\/2解析：选A如图，已知空间四边形ABCD,对角线AC=6,BD=8，ATOC\o"1-5"\h\z易证四边形EFGH为平行四边形WEFG或匕FGH为AC与BD所成的角，"-大小为45°，故S四边形EF=3X4Xsin45。=6、花，故选A.一…二一一若空间中四条两两不同的直线1，1，1，1，满足l^l，l；"1234122±13,13±14，则下列结论一定正确的是（）A.11±14B.1/LC.七与14既不垂直也不平行D.七与七的位置关系不确定解析：选D构造如图所示的正方体ABCDABCD，取1为AD,1:-111112为AA，1为AB，当取1为BC时，1〃1，当取1为BB时，1^1，九/徭以1311411144114故排除A、B、C，选D.&已知直线a和平面a，B，acB=1，aqa，aGB，且a在a，*B内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是（）A.相交或平行B.相交或异面C.平行或异面D.相交、平行或异面解析：选D依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面.如图，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是BR的中点，直线即交平面ABR于点M，则下列结论正确的是（）

A.A,M,O三点共线B.A,M,O,A1不共面C.A,M,C,O不共面D.B,B1,O,M共面解析：选A连接AC,AC,则AC〃AC,所以A,C,C,A四点111111共面，所以A1C平面ACC1A1，因为MEAg,所以Me平面ACC^，又ME平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面ABR的交线上，同理O在平面ACC1A卢平面AB1D1的交线上，所以A，M,O三点共线.过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A作直线1,使l与棱AB,AD,A%所成的角都相等，这样的直线1可以作（）TOC\o"1-5"\h\zA.1条B.2条C.3条D.4条解析：选D如图，连接体对角线AC1，显然AR与棱AB，AD,A%4-一所成的角都相等，所成角的正切值都为-把.联想正方体的其他体对角线，*一如连接BD,则BD与棱BC,BA,BB所成的角都相等，・「BB〃AA,BC.•「―一*；11111.1〃AD，.・・体对角线BD1与棱AB,AD,人^所成的角都相等，同理，体对角°线AC,DB也与棱AB,AD,AA所成的角都相等，过A点分别作BD,AC,DB的平行线都满1，J，，J，1，1，]I7足题意，故这样的直线1可以作4条.、填空题如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB,AD的中点，点F，G分别是边BC,CD上的点，且拾=祟=2,则下列说法正CBCD3确的是.（填写所有正确说法的序号）EF与GH平行②EF与GH异面EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上EF与GH的交点M一定在直线AC上解析：连接EH,FG（图略），依题意，可得EH〃BD，FG〃BD，故EH〃FG，所以E，F,G,1__一2—一一一一…一…._..H共面.因为EH=bBD，FG=BD,故EH^FG，所以EFGH是梯形，EF与GH必相交，23设交点为M.因为点M在EF上，故点M在平面ACB上.同理，点M在平面ACD上,.•.点M是平面ACB与平面ACD的交点，又AC是这两个平面的交线，所以点M一定在直线AC上.答案：④如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB,CD,EF,GH在原正方体中互为异面直线的有对.€解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB,CD,EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行.故互为异面直线的有3对.答案：3已知a，b，c为三条不同的直线，且au平面a，bu平面B，acB=c.若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；若a〃b，则必有a〃c；若a±b，a±c，则必有a±B.其中正确的命题有.（填写所有正确命题的序号）解析：①中若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交，故①正确；②中平面a上平面B时，若b宜，贝Jb±平面a，此时不论a，c是否垂直，均有a±b，故②错误；③中当a〃b时，则a〃平面B，由线面平行的性质定理可得a〃c，故③正确；④中若b〃c，则a±b，a±c时，a与平面B不一定垂直，此时平面a与平面B也不一定垂直，故④错误.答案：①③ATOC\o"1-5"\h\z如图，在三棱锥ABCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，.点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值r•；」：一：.•川C是.」解析：如图所示，连接DN，取线段DN的中点K，连接MK，CK.VM为AD的中点，.・・MK〃AN，「WKMa或其补角）为异面直线AN，CM所成的，…孚角.・.・AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,N为BC的中点，由勾股定理易*求得AN=DN=CM=^'2,AMK=；2.在RtACKN中，CK=寸•切2+12="