【数学】2-4-2《抛物线的几何性质》教学课件(新人教A版选修2-1)

抛物线的几何性质2022/11/302022/11/30抛物线的几何性质2022/11/302022/11/30结合抛物线y2=2px(p>0)的标准方程和图形,探索其的几何性质:(1)范围(2)对称性(3)顶点类比探索x≥0,y∈R关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴.抛物线和它的轴的交点.2022/11/302022/11/30结合抛物线y2=2px(p>0)的标准方程和图形,探索其的几(4)离心率(5)焦半径(6)通径始终为常数1通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度：2P思考：通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗？2022/11/302022/11/30(4)离心率始终为常数1通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线特点1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的,为1;5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.P越大,开口越开阔2022/11/302022/11/30特点1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它lFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p>0）y2=-2px（p>0）x2=2py（p>0）x2=-2py（p>0）x≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤

0x∈R(0,0)x轴y轴12022/11/302022/11/30lFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2pxy2例题例1.顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点M(2,)的抛物线有几条,求它的标准方程,例2.斜率为1的直线L经过抛物线的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m≠0)(x2=2my(m≠0)),可避免讨论y2=4x焦点弦的长度2022/11/302022/11/30例题例1.顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点例2.斜练习:1.过抛物线的焦点,作倾斜角为的直线,则被抛物线截得的弦长为y2=8x2.过抛物线的焦点做倾斜角为的直线L,设L交抛物线于A,B两点,(1)求|AB|;(2)求|AB|的最小值.2022/11/302022/11/30练习:1.过抛物线的焦点,作倾斜角为yy2=2px（p＞0）y2=-2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=-2py（p＞0）lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈RlFyxO关于x轴对称

关于x轴对称

关于y轴对称

关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）2022/11/302022/11/30y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=例3.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.xOyFABD练习:P68T32022/11/302022/11/30例3.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,通过点A和抛yOxBA2022/11/302022/11/30yOxBA2022/11/302022/11/302022/11/302022/11/302022/11/302022/11/302022/11/302022/11/302022/11/302022/11/30等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(P>0),O为抛物线的顶点,OA⊥OB,则ΔAOB的面积为A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p22022/11/302022/11/30等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(P>0),O为1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是

.2、一个正三角形的三个顶点，都在抛物线上，其中一个顶点为坐标原点，则这个三角形的面积为

。2022/11/302022/11/301、已知抛物线的顶点在原点，对称2022/11/3例2、已知直线l：x=2p与抛物线=2px(p>0)交于A、B两点，求证：OA⊥OB.证明：由题意得，A(2p,2p),B(2p,-2p)所以=1，=-1因此OA⊥OB推广1若直线l过定点(2p,0)且与抛物线=2px(p>0)交于A、B两点，求证：OA⊥OB.xyOy2=2pxABL:x=2pC(2p,0)xyOy2=2pxABlC(2p,0)证明：设l的方程为y=k(x-2p)或x=2p

所以OA⊥OB.代入y2=2px得，可知又2022/11/302022/11/30例2、已知直线l：x=2p与抛物线=2px(p>0)直线l过定点(2p,0)推广2：

若直线l与抛物线=2px(p>0)交于A、B两点，且OA⊥OB，则__________

xyOy2=2pxABlC(2p,0)验证：由得所以直线l的方程为即而因为OA⊥OB，可知推出，代入得到直线l

的方程为所以直线过定点（2p,0).高考链接：过定点Q（2p,0)的直线与y2=2px（p＞0）交于相异两点A、B，以线段AB为直径作圆H(H为圆心），试证明抛物线顶点在圆H上。2022/11/302022/11/30直线l过定点(2p,0)推广2：若直线l与抛物线=2小结:1.掌握抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、离心率、通径;2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、焦点坐标及解决其它问题;2022/11/302022/11/30小结:1.掌握抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、离心率、抛物线的几何性质2022/11/302022/11/30抛物线的几何性质2022/11/302022/11/30结合抛物线y2=2px(p>0)的标准方程和图形,探索其的几何性质:(1)范围(2)对称性(3)顶点类比探索x≥0,y∈R关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴.抛物线和它的轴的交点.2022/11/302022/11/30结合抛物线y2=2px(p>0)的标准方程和图形,探索其的几(4)离心率(5)焦半径(6)通径始终为常数1通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度：2P思考：通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗？2022/11/302022/11/30(4)离心率始终为常数1通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线特点1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的,为1;5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.P越大,开口越开阔2022/11/302022/11/30特点1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它lFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p>0）y2=-2px（p>0）x2=2py（p>0）x2=-2py（p>0）x≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤

0x∈R(0,0)x轴y轴12022/11/302022/11/30lFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2pxy2例题例1.顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点M(2,)的抛物线有几条,求它的标准方程,例2.斜率为1的直线L经过抛物线的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m≠0)(x2=2my(m≠0)),可避免讨论y2=4x焦点弦的长度2022/11/302022/11/30例题例1.顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点例2.斜练习:1.过抛物线的焦点,作倾斜角为的直线,则被抛物线截得的弦长为y2=8x2.过抛物线的焦点做倾斜角为的直线L,设L交抛物线于A,B两点,(1)求|AB|;(2)求|AB|的最小值.2022/11/302022/11/30练习:1.过抛物线的焦点,作倾斜角为yy2=2px（p＞0）y2=-2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=-2py（p＞0）lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈RlFyxO关于x轴对称

关于x轴对称

关于y轴对称

关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）2022/11/302022/11/30y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=例3.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.xOyFABD练习:P68T32022/11/302022/11/30例3.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,通过点A和抛yOxBA2022/11/302022/11/30yOxBA2022/11/302022/11/302022/11/302022/11/302022/11/302022/11/302022/11/302022/11/302022/11/302022/11/30等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(P>0),O为抛物线的顶点,OA⊥OB,则ΔAOB的面积为A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p22022/11/302022/11/30等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(P>0),O为1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是

.2、一个正三角形的三个顶点，都在抛物线上，其中一个顶点为坐标原点，则这个三角形的面积为

。2022/11/302022/11/301、已知抛物线的顶点在原点，对称2022/11/3例2、已知直线l：x=2p与抛物线=2px(p>0)交于A、B两点，求证：OA⊥OB.证明：由题意得，A(2p,2p),B(2p,-2p)所以=1，=-1因此OA⊥OB推广1若直线l过定点(2p,0)且与抛物线=2px(p>0)交于A、B两点，求证：OA⊥OB.xyOy2=2pxABL:x=2pC(2p,0)xyOy2=2pxABlC(2p,0)证明：设l的方程为y=k(x-2p)或x=2p

所以