2022-2023学年上海初二下学期同步讲义第10讲 平行四边形判定及综合(含详解)

第10讲平行四边形判定及综合本节主要根据平行四边形的判定定理进行证明四边形是平行四边形，以及利用平行四边形的性质得出边和角之间的关系，以证明题为主，让同学们更好的运用判定定理.模块一：平行四边形判定知识精讲平行四边形判定定理①如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形.简述为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.②如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形.简述为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.③如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形.简述为：对角线互相平分的四边形是平行四边形.④如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形.简述为：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.例题解析例1.判断题：TOC\o"1-5"\h\z（1）夹在两平行线间的平行线段长度相等 （ ）（2）对角线互相平分的四边形的对边一定相等 （ ）一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形（ ）一组对角相等，另一组对角互补的四边形是平行四边形（ ）例2.（2020•山东济宁市•八年级期末）下列给出的条件中，不能判断四边形力即是平行四边形的是（ ）AB//CD,AD=BC B.NA=NC,4B=4DC.AB//CD,AD//BC D.AB=CD,AD=BC例3.（2020•广东佛山市•八年级期末）小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条/G励的中点重叠并用钉子固定，则四边形4腼就是平行四边形，这种方法的依据是（ ）A.对角线互相平分的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形D.两组对边分别平行的四边形是平行四边形例4.（2018•河北石家庄市•石家庄二中八年级期中）如图，四边形ABCD的对角线相交于点0,A0=C0,请添加一个条件（只添一个即可），使四边形ABCD是平行四边形.例5.（2020•山东德州市•八年级期中）若AD=8,AB=4,那么当BC=_,CD=_时，四边形ABCD是平行四边形例6.（2020•农安县小城子乡第三中学八年级月考）如图，在B\BCD中，EC平分NBCD,交AD边于点E,AE=3,BC=5,则AB的长等于.例7.（2019•河南洛阳市•八年级期末）如图，已知AB//CD,BE工AD,垂足为点E,CF±AD,垂足为点尸，并且4户班.求证：四边形是8£€户平行四边形.

例8.（2020•安阳市第十中学八年级期中）如图，在MBCD中,E、尸分别是/从必的中点，求证：四边形£8/”是平行四边形.例9.如图，在平行四边形46（力中，即是对角线切的三等分点.求证：四边形4&F是平行四边形（请用两种方法证明）.例10.如图，口回。中,A2CE,MF//NE.求证：砥和网，互相平分.例11.已知四边形现有条件：@AB//DC；②AB=DC；③AD〃BO,®AD=BC；⑤N/=ZC；⑥ZB=ND.从中取两个条件加以组合，能推出四边形的是平行四边形的有哪几种情形?请具体写出这些组合.例12.已知：47是口赧力的一条对角线，BMLAC,DNLAC,垂足分别是欣N.求证：四边形方物V是平行四边形.

例13.己知：如图，四边形45G9中，AD//BC,AD--BC,点6是阳的中点，求证：AB//DE,2例14.如图，在.aABCD中,NZM比60°,点、E、尸分别在勿、46的延长线上，且4斤49,Cf^CB.（1）求证：四边形力几石是平行四边形；（2）若去掉已知条件的/分庐60°,上述的结论还成立吗喏成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.例15.已知在中，E,尸是对角线劭上的两点，B舁DF,点G、〃分别在协和比1的延长线上，且AG-CH,联结GE,EH,HF,FG,求证：四边形曲即是平行四边形.若G、H分别在线段用I,DC上,其余条件不变，则（1）结论否成立？（说明理由）.例16.如图所示，平行四边形4初中，AELBC.CF1.AD,DN^BM.求证：砥与WV互相平分.

例17.如图，过。｛腼的顶点｛的直线/（形外），分别过8C、〃作直线/的垂线，E、F、C为垂足.求证：C户BE+DG.例18.如图，的对角线4G即交于点0,E、尸分别在6C、4〃上，且BC,DF--AD,AE,CF分别交物于点肌N,求证：四边形力/CT是平行四边形.3例19.如图所示，平行四边形4及力中，对角线勿交于点。，AELBD于E,8FLAC于F,CG1BD千G,DHLAC于H.求证：四边形跖阳是平行四边形.例20.如图，以回的三边分别作等边△的C、AABE,ABCF,求证：四边形42叨是平行四边形.例21.已知：RtAABC中,/月叱90°,CD工AB于D,AE平分NCAB交.CD于F,过尸作好AB,交.BC干H.求证：CE=BH.模块二：综合题例题解析例1.在cz46(力中，对角线1C、6〃相交于点0,过0点任意作两条直线交口46(力的46、CD边于氏F,交BC、的边于G、//,那么四边形阻力是什么图形?证明你的结论.例2.如图，nABCD中,DE1AB于E,BC=2AB,M是BC的中点、.试求/£必与/应V的数量关系.例3.平面直角坐标系中有三点4(2,1),B(3,1),C(4,3),求平面内第四点〃使得以4B、C、〃为顶点的四边形是平行四边形.例4.已知平面内有两点4（T，0）、B（3,0）,尸点在y轴上，“点在直线y=x-l上,若以尔B、只"为顶点的四边形是平行四边形，求M点的坐标.例5.在欣△力园中，Z^90°,4e6,叱66，动点。从点｛开始沿边4c向点C以每秒1个单位长度的速度运动，顶点0从点。开始沿边力向点6以每秒2个单位长度的速度运动，过点。作外〃6G交46于点〃，联结图，点尸、。分别从点4、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止移动，设运动的时间是f秒（t2 0）.（1）直接用含t的代数式分别表示：B牛,PA;（2）是否存在t的值，使四边形切力0是平行四边形港存在，求出t的值，若不存在，试说明理由.Q例6.如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是平行四边形，点A的坐标为(-3,4),点C在x轴的正半轴上，且。｝=笫直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H.(1)求直线4c的解析式；(2)联结8M,动点尸从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设的面积为S(ShO),点P的运动时间为r秒，求S与r之间的函数关系式(要求写出自变量r的取值范围).例7.已知：反比例函数y=幺和一次函数y=2x-l,其中一次函数的图形经过点2x(a,6)和(a+1,b+k).(1)求反比例函数的解析式：(2)已知反比例函数和一次函数的图像交于第一象限的点4尸(2,0),平面内存在一点Q,使得四边形/勿过是平行四边形，求。点的坐标.例8.已知：如图，四边形A8CD是平行四边形，AB=BC,AB=6,N5=NM4N=60。.绕顶点A逆时针旋转NA14N,边AM与射线3c相交于点E(点E与点B不重合)，边AN与射线CD相交于点(1)当点E在线段8C上时，求证：BE=CF;(2)设BE=x,△ADF的面积为y.当点E在线段BC上时，求y与x之间的函数关系式，写出函数的定义域；(3)联结班＞,如果以A、B、F、。为顶点的四边形是平行四边形，求线段BE的长.例9.如图1,P为放△4%'所在平面内任意一点(不在直线4C上)，NA®90°,M为AS边中点.操作：以必、先为邻边作平行四边形必加,连接并延长到点反使侬用/,联结DE.(1)请你利用图2,选择灯△/阿内的任意一点/按上述方法操作：(2)经历(1)之后，观察两图形，猜想线段庞和线段之间有怎样的位置关系％青选择其中的一个图形证明你的猜想；(3)观察两图，你还可得出和应.相关的什么结论?请直接写出.随堂检测.若｛〃是△被7的中线，延长［〃至IJ£使DE-AD,联结BE、CE,那么四边形ABEC是四边形..如图，直线/与双曲线交于尔。两点，将直线/绕点。顺时针旋转a°（0°<aW45°）,与双曲线交于〃两点，则四边形ABCD的形状一定是,理由是.四边形的四条边长分别是a,b,c,d,其中a,c为对边，且满足a2+1/+C1+d2=2ab+2cd,则这个四边形一定是（ ）A.两组角分别相等的四边形 B.平行四边形C.对角线互相垂直的四边形 D.对角线相等的四边形.已知四边形4氏力的对角线相交于0,给出下列5个条件①45〃⑺，②ADHBC、③胫CD,④N从庐NZO,从这四个条件中任选2个一组，能推出四边形/颇为平行四边形的有（）46组 6.5组 C.4组 3组.如图，在口ABCD中,E、尸分别是四、必上点，AaCF,M、“分别是"'、灯'的中点，求证：四边形以冏/是平行四边形..已知：如图，在△49C中，劭平分N/15C,ED//BC,EF//AC,求证：E作FC.

A.如图，四边形加皿是平行四边形4及力的内接平行四边形，即顶点公F、G、〃分别在平行四边形力比。的四边上.求证：这两个平行四边形的对角线交于同一点..如图，在口ABCD中,E、尸是对角线初上的两点，AELBC,CFLAD.求证：四边形血F是平行四边形..已知平行四边形ABCD和平行四边形£)CEF,求证：ZADE=ZBCF..如图，在平行四边形ABC。中，BC>AB,NA、的平分线交于点E,"、NC的平分线交于点E联结M求证：EF=BC-AB.B

.如图，在四边ABC£>中，形A£>〃BC且A£>>BC,BC=6cm,点、P、Q分别从A、C同时出发，点P以kvn/s的速度由A向。运动，点Q以2cm/s的速度由C向8运动，几秒时，四边形A8QP是平行四边形？.如图，在平面直角坐标系中，点｛的坐标为/(3,0),点6的坐标为1(0,4).(1)求直线的解析式；(2)点C是线段16上一点，点。为坐标原点，点〃在第二象限，且四边形及物为平行四边形，且BC=BD,求点〃坐标；(3)在(2)的条件下，点£在x轴上，点P在直线18上，且以B、D、E、尸为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有满足条件的点尸的坐标..如图所示，在平行四边形力以力中，BO2AB,DELAB,M是BC边的中点、,NBE后50°,则N6的大小是多少？第10讲平行四边形判定及综合本节主要根据平行四边形的判定定理进行证明四边形是平行四边形，以及利用平行四边形的性质得出边和角之间的关系，以证明题为主，让同学们更好的运用判定定理.模块一：平行四边形判定知识精讲平行四边形判定定理①如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形.简述为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.②如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形.简述为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.③如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形.简述为：对角线互相平分的四边形是平行四边形.④如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形.简述为：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.例题解析例1.判断题：TOC\o"1-5"\h\z（1）夹在两平行线间的平行线段长度相等 （ ）（2）对角线互相平分的四边形的对边一定相等 （ ）一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形（ ）一组对角相等，另一组对角互补的四边形是平行四边形 （ ）【难度】★【答案】（1）正确；（2）正确；（3）错误；（4）错误.【解析】（1）夹在两平行线间的平行线段组成平行四边形，故长度相等，正确；（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形，对边一定相等，正确；一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形不一定是平行四边形，错误;一组对角相等，另一组对角互补的四边形不一定是平行四边形，错误.【总结】本题考查平行四边形的判定方法的运用.例2.（2020•山东济宁市•八年级期末）下列给出的条件中，不能判断四边形4颇是平行四边形的是（ ）AB//CD,AD=BC B.NA=NC,4B=4DC.AB//CD,AD//BC D.AB=CD,AD=BC【答案】A【分析】直接根据平行四边形的判定定理判断即可.【详解】平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.，C能判断；平行四边形判定定理1,两组对角分别相等的四边形是平行四边形；；.B能判断；平行四边形判定定理2,两组对边分别相等的四边形是平行四边形：...D能判定；平行四边形判定定理3,对角线互相平分的四边形是平行四边形；平行四边形判定定理4,一组对边平行相等的四边形是平行四边形；故选A.【点睛】此题是平行四边形的判定，解本题的关键是掌握和灵活运用平行四边形的5个判断方法.例3.（2020•广东佛山市•八年级期末）小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条4G劭的中点重叠并用钉子固定，则四边形4就是平行四边形，这种方法的依据是（ ）A.对角线互相平分的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形D.两组对边分别平行的四边形是平行四边形【答案】A【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得出结论.【详解】解：是AC、BD的中点，.,.0A=0C,0B=0D,四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）；故选：A.【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理：熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键.例4.（2018•河北石家庄市•石家庄二中八年级期中）如图，四边形ABCD的对角线相交于点0,A0=C0,请添加一个条件 （只添一个即可），使四边形ABCD是平行四边形.【答案】B0=D0.【详解】解：•.•A0=C0,B0=D0,.•.四边形ABCD是平行四边形.故答案为B0=D0.例5.（2020•山东德州市•八年级期中）若AD=8,AB=4,那么当BC=_,CD=_时，四边形ABCD是平行四边形【答案】8 4【分析】根据平行四边形的判定中两组对边分别相等的四边形是平行四边形解答即可.【详解】解：如图，在四边形ABCD中，AB和CD是对边，BC和DA是对边，VAD=8,AB=4,...当BC=8,CD=4时，四边形ABCD是平行四边形，【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理,难度不大，属于基础题.例6.（2020•农安县小城子乡第三中学八年级月考）如图，在nABCD中，EC平分NBCD,交AD边于点E,AE=3,BC=5,则AB的长等于.【答案】2【分析】由平行四边形的性质可得AD〃BC,且AD=BC=5,求出DE=2,结合角平分线的性质可求得DE=CD=2,则可得AB的长.【详解】解：•••四边形ABCD为平行四边形，；.AD〃BC,AD=BC=5,AB=CD,.,.DE=AD-AE=5-3=2,ZDEC=ZBCE,；CE平分NBCD,.,.ZDCE=ZBCE,.*.ZDEC=ZDCE,.*.DE=CD=2,；.AB=2；故答案为：2.【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定，利用平行线的性质及角平分线的性质求得DE=CD是解题的关键.例7.(2019•河南洛阳市•八年级期末)如图，已知AB//CD,BELAD,垂足为点E,CF±AD,垂足为点凡并且力4应1.C匕 求证：四边形是8瓦下平行四边形.【分析】通过全等三角形(VAEB/V0FC)的时应边相等证得BE-CF,由“在同一平面内，同垂直于同一条直线的两条直线相互平行”证得BE〃CF.则四边形BEC厂是平行四边形.【详解】证明：vB£±A£>.CF1AD,ZAEB=ZDFC=90°,QAB//CD.：.ZA=ZD,.AF=DE,即A£+EF=Ob+E。:.AE=DF在AAEB与4DFC中，[NAEB=NDFC\ae=df[nA=ND.-.^aeb^dfc（asA）,:.BE=CF.:BELAD，CF1AD,：.BEHCF,••・四边形BEC尸是平行四边形.【点睛】本题考查了平行四边形的判定、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，全等三角形的判定与性质掌，握以上知识是解题的关键.例8.（2020•安阳市第十中学八年级期中）如图，在MBCD中,E、尸分别是46、切的中点，求证：四边形£8/”是平行四边形.A EB【分析】由平行四边形的性质得出49=切，BE//DF,i正出BE=DF,即可得出四边形用/力是平行四边形.【详解】证明：♦.•四边形/腼是平行四边形，：.AB//CD,AB=CD,,:E、尸分别是/反的中点，：.EB//DF,EB=DF,.•.四边形上力加是平行四边形.【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键.例9.如图，在平行四边形｛比9中，防是对角线和的三等分点.求证：四边形4灰尸是平行四边形（请用两种方法证明）.

【难度】★[解析】（方法一）.•四边形ABCD是平行四边形，.-.AD^BC,AD//BC,AADI^AEBC•;E、F三等，分BD,:.B4E2FD二易证△//力与△跳T全等，2ABE与ACDF全等:.A库CF,A声CE,四边形/以才是平行四边形;（方法二）连接4C,与做交于点0,•.•平行四边形被皿:.AO=OC,BO=DO•.•£、产三等分如，:.B&E2FDOB-BE-O[>-DF,OE-OF,•：BO=DO, 四边形4瓦尸是平行四边形.【总结】本题考查平行四边形的判定定理与性质定理的综合运用.例10.如图，nABCD中,AF-CE,MF//NE.求证："和题，互相平分.【难度】★【解析】设"与勿相交于点0,连接EM、NF•四边形4腼是平行四边形， /.OA=OC.'：A尺CE,：.OE=OF.'：MF//NE,：.ZMFE=ZNEF.'：ZNOE=ZMOF,/.4NOE=(JAOF, ；.NE=MF.'：MF//NE,.,.四边形物州f是平行四边形，•和如互相平分.【总结】本题考查平行四边形判定定理和性质定理的综合运用.例11.已知四边形4?6力，现有条件：@AB//DC^②AB=DC；③49〃6a⑥AD=BC；⑤N1=NC；⑥ZB=ND.从中取两个条件加以组合，能推出四边形1及力是平行四边形的有哪几种情形?请具体写出这些组合.【难度】★★【答案】(D®;®®;①⑤；①⑥；②④；③④；③⑤；®@;【总结】本题考查平行四边形的判定方法的运用.例12.已知：/C是°加力的一条对角线，BMLAC,DNLAC,垂足分别是以N.求证：四边形肱W是平行四边形.【难度】★★【解析】•.•平行四边形四徽.,•49〃。?，AB=CD,:•/BAC=/DCA.•■■BMYAC,DNLAC,:•XAB旭XCND,，///八，川〃/〃V,二四边形豳州是平行四边形.【总结】本题考查平行四边形的判定方法与三角形全等的判定的运用.例13.已知：如图，四边形力收力中，AD//BC,AD--BC,点6是阳的中点，求证：AB//DE,2zez.AEB.【难度】★★【解析】••,点、E是BC中点"BH-CE•：B(=2AD,•••A^BE=EC,又,：ADl/BC,

四边形力跳。与四边形均为平行四边形AAB//DE,AE//CD,：.4ONAEB【总结】本题考查平行四边形判定方法与性质的综合运用.例14.如图，在nABCD中,NZM住60°,点从厂分别在卬、48的延长线上，且AR40,。足3.（1）求证：四边形411方是平行四边形：（2）若去掉已知条件的/加庐60°,上述的结论还成立吗笔成立，请写出证明过程：若不成立，请说明理由.EDC【难度】★★【解析】（1）•••平行四边形•••AB//CD,AB=CD,AD=BC,/ADa/ABCA片AD-BOCF,•••XADE2△CBF:•吩BREQAF,，四边形以此'是平行四边形；（2）成立，证明同上.【总结】本题考查平行四边形的判定方法的运用.例15.已知在口4庭中，E,尸是对角线放上的两点，BE-DF,点G、〃分别在协和比'的延长线上，且4俏联结阳EH,HF,FG,求证：四边形渤:'是平行四边形.若G、〃分别在线段胡，况上，其余条件不变，则（1）结论否成立？（说明理由）.【难度】★★【解析】⑴・•・平行四边形ABCD,•••AB-CD,AB//CD,NABF/BDC,•AG-CH,B芹DF,BG-DH,:•4BG—2DFHGE=FH,ZBEG^ZDFH,:•/GE//HFE,二困/掰，四边形谢'是平行四边形;(2)成立，证明同(1)【总结】本题考查平行四边形性质与判定方法的运用.例16.如图所示，平行四边形4时中，AE1.BC、CFLAD,DN=BM.求证：砥与批互相平分.【难度】★★【解析】联结ME,EN,FN,MF:平行四边形40,••AB-CD,AD^BC,N代N〃，•：AELBC、CFLAD,:•△ABE^XCDF,BE^FDD冷BM, •••ABEgAFDN,■■ME=FN同理可证伊一/\ 四边形物小尸是平行四边形，；.EF与恻互相平分.【总结】本题考查三角形全等的判定方法与平行四边形性质与判定定理的综合运用.例17.如图，过Q/I腼的顶点4的直线/（形外），分别过6、C、〃作直线/的垂线，E、尸、G为垂足.求证：CF^BE+DG.【难度】★★【解析】过点〃作DHLCF千点、//.•.•四边形1以力是平行四边形，：.AB=CD.'：BEA.I,DHLCF,：.ZAEB=ZDHC=90.VBE±l,CFll, NEBC+NBC尸=180,

,:ZABC+NBCD=180. :.ZABE=ZDCH,:.^ABE=^DCH，:.BE=CH.VDGA.I,CFVI,DHA.CF.ADG=FH.VCF=FH+CH.:.C用BE+DG.【总结】本题考查平行四边形性质的运用.例18.如图，口ABC。的对角线公、即交于点0,E、尸分别在比'、4〃上，&BE^LBC,游3-AD,AE、CF分别交切于点肌N,求证：四边形力/KV是平行四边形.3【难度】★★【解析】•••平行四边形/国力，BOAD,OA=OC,OB=OD,ZABC=ZADC,：■BE^DF,：AABE^4CDF,：■ABAEVADCF,:,△AB34DN3：.B后DN,〃/ON,.・.四边形AMCN是平行四边形.【总结】本题考查平行四边形性质与判定方法的运用.例19.如图所示，平行四边形力风力中，对角线/C、加交于点0,AELBD于E,mL/C于F,CG1BD千G,DHLAC于H.求证：四边形的7/是平行四边形.4 B【难度】★★【解析】•••平行四边形力以力AB=CD,OA^OC,OH=OD,Z.DAOZ.BCADHLAC,BFLAC,△ADg△CBFAH=CF,04OF,同理可证。后如二四边形周£尸是平行四边形【总结】本题考查平行四边形性质与判定方法的综合运用.例20.如图，以△4a'的三边分别作等边△ZMC、XABE,△比汽，求证：四边形4?叫是平行四边形.【难度】★★【解析】•.•等边△%C,4ABE,&BCF,：•/EB六/ABC,BE^AB,BF=BC,二△班&△48GEF^AC=AD,Bf^DF=AE,二四边形EFDA是平行四边形.【总结】本题考查平行四边形判定方法与等边三角形性质的综合运用.例21.已知：RtAABC中,ZACB=90°,CD1AB千D,AE平分NG4B交CD于F,过尸作用〃AB,交BC于H.求证：C拄BH.【难度】★★★【解析】做FG//BH,可得平行四边形FHBG, ：.B//-K.VZ^6S=90°,CDLAB,：-4件乙AC"乙FGA,:口平分/CAB,■■■△/涯△/跖， 陷CF.册90°,/EA阶NAFS,:•/AF2/CEF=/CFE,C芹CF, CE^FG, ■■C片BH.【总结】本题考查角平分线性质与平行四边形性质的综合运用.模块二：综合题例题解析例1.在或中，对角线1C、6〃相交于点0,过O点任意作两条直线交口4岐的46、CD边于E、F,交BC、为边于G、H,那么四边形仇我/是什么图形?证明你的结论.【难度】★★【解析】••,平行四边形力仍9, OA=OC,OB=OD.:ZQ的△OCG,XBEgADOF,OH=OG,OE=OF,二四边形况罚/是平行四边形.【总结】本题考查平行四边形判定方法，对角线互相平分的四边形是平行四边形.例2.如图，口ABCD中,DE1.AB于E,除249,〃是鸵的中点.试求/胡C与硼的数量关系.【难度】★★【答案】/EMG3/BEM.【解析】延长£＞与ZT的延长线交于点M连接〃帆则易得△跖4陷AAOA所以E宙MN.又ABIICD,DEVAB,则/加=90°,/BE宙ZA",:.M&辅中DM:./EMD=2NN=2NBEM由M(=CD,得NMDC=NC昨/N,：./EMO3NBEM.【总结】本题主要考查平行四边形性质、直角三角形性质的综合运用.例3.平面直角坐标系中有三点R(2,1),5(3,1),C(4,3),求平面内第四点〃使得以4B、a。为顶点的四边形是平行四边形.【难度】★★【答案】(1,-1)或(3,3)或(5,3).【解析】当U为对角线时，由心切,BC=AD,得：D(1,-1)；当XC为对角线时，D(3,3)；当初为对角线时，D(5,3).【总结】本题考查平行四边形性质，注意分类讨论，利用平移的性质去求坐标.例4.已知平面内有两点4(—1,0),B(3,0),夕点在尸轴上，材点在直线y=x-l上，若以/、B、AM为顶点的四边形是平行四边形，求M点的坐标.【难度】★★【答案】⑵1）或（-4,-5）或（4,3）.【解析】当为对角线时，材（2,1）：当为对角线时，"（-4,-5）；当4"为对角线时，"（4,3）.【总结】本题考查平行四边形性质，注意分类讨论，利用平移的性质去求坐标.例5.在RtAABC中,/俏90°,4小6,除，动点夕从点A开始沿边4C向点C以每秒1个单位长度的速度运动，顶点。从点C开始沿边⑦向点夕以每秒2个单位长度的速度运动，过点一作外〃6G交用于点〃联结图，点只。分别从点/、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止移动，设运动的时间是t秒（t20）.（1）直接用含t的代数式分别表示：BQ=,PD=；（2）是否存在t的值，使四边形加。是平行四边形笔存在，求出t的值，若不存在，试说明理由.【难度】★★【答案】（1）BQ=6$2t,PA®； （2）Q126-18.【解析】（1）由题意，可得：4>6,犯=66，4斤12,/户30°8=23所以除6后一2f,AP=t,PA®；（2）I•平行四边形如绚，C.BQ-PD,即66-2/=①，解得：z=12>/3-18.t<3>/2.二当，=12石-18时，四边形/W是平行四边形.【总结】本题考查平行四边形性质与直角三角形性质的综合运用，注意分析动点的运动轨迹.例6.如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形A8CO是平行四边形，点A的坐标为（-3,4）,点C在x轴的正半轴上，且味第直线AC交y轴于点M,AB边交y轴于点H.（1）求直线AC的解析式；（2）联结动点尸从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速

运动，设△nwe的面积为s(5*o),点尸的运动时间为/秒，求s与♦之间的函数关系式(要求写出自变量/的取值范围).153 r(0<r<2.5)(2)S(2)S-f-—(2.5<f<5),2 4【解析】(1)-：A(3,-4), 0A=^0C,C(5,0)设直线4C的解析式为：尸kx+b,代入月、C两点的坐标，得解析式为：y=-；x+g；(2)平行四边形曲中，脏将5,二6(2,4),BO^OC.易知点"坐标为(0,2.5).当点P在上，即0WtV2.5时，月产2t,则8P=5-2f,:/m1-。生1.5,1 13y、、153二e一X^X/ZI^-x-x(5-2O=---?；2 22 42当尸在宛上，即2.5<tW5时，上2L5,■平行四边形4%力中，AB-BC,二四边形/比1。是菱形,:.ZBCM=NOCM, :.aBCM*OCM,BM=OM=3,NMBC=NMOC=90，**•S=-XBPXB林1—x—x(2f—5)——t ,2 22 2 4[3-r(0<r<2.5)综上S霏25-t——(2.5<r<5)12 4【总结】本题主要考查两点之间距离的确定以及平行四边形的性质的运用，由动点引起的三角形的面积，需要分类讨论.例7.已知：反比例函数y=&和一次函数y=2x-l,其中一次函数的图形经过点2x(a,6)和(a+1,b+k).(1)求反比例函数的解析式；(2)已知反比例函数和一次函数的图像交于第一象限的点儿〃(2,0),平面内存在一点Q,使得四边形1。铝是平行四边形，求0点的坐标.【难度】★★★【答案】(1)y=L(2)(3,1).X【解析】把(打，6),(a+1>b^k)代入尸2尸1,得2(Kl)T二加h则2m*2T=2a-l+〃，解得：A=2,故此反比例函数的解析式是：y=—；■x(2)两函数的交点为《)一1 ，解得：4(1.1),y=2x-l.•平行四边形图，：.AQ//OP,A/OP,故0(3,1).【总结】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，以及平行四边形的性质，本题中四边形4。内是有顺序的，因此满足条件的。点只有1个，解题时注意认真审题.例&已知：如图，四边形438是平行四边形，AB=BC,AB=6,N8=N/Z4N=60。.绕顶点A逆时针旋转NM4N,边AM与射线8C相交于点E(点E与点3不重合)，边4V与射线CD相交于点(1)当点E在线段8c上时，求证：BE=CF；(2)设8E=x,ZW卯的面积为y.当点E在线段BC上时，求y与x之间的函数关系式，写出函数的定义域；(3)联结班)，如果以A、B、F、。为顶点的四边形是平行四边形，求线段BE的长.AAAA【难度】★★★【答案】(1)略；(2)y=-竽x+9>/5(0<x<6)； (3)路12.【解析】(1)联结易证阱BC,N物俏/加信60°,N/1叱.•.△4%是等边三角形，AB-AC乂•.•/胡介/秘仁60°, "'60',:./BAE=NCV；■■4AB瞄XACF, ：.BE^CFx(2)过点4作4〃1微垂足为〃，在欣△/〃〃中，/%沪30°,；•〃修3,｛庐36，Cf^BE^x,Dm6-xS^f=~DF•AH,.,*/=-x(6-x)x3G,即y=_地X+9&(0<x<6)；- 2(3)当尸点在6®的延长线时，连BD,易得/力。住30°.当四边形⑸力N是平行四边形时，AF//BD,••Z/7iP=Z/fZ^30o,••ZZM^30°,/胡田90°,在.RtAABE中,N田60°,Z5£4=30°,/斤6,易得除12,当点尸与点「重合时，此时点/与点6重合，不合题意，舍.【总结】本题主要考查平行四边形的性质及全等三角形判定与性质的综合运用.例9.如图1,夕为以△45C所在平面内任意一点（不在直线上），N408=90°,材为四边中点.操作：以为、用为邻边作平行四边形为密连接掰并延长到点E,使小月％联结DE.（1）请你利用图2,选择次△力优内的任意一点0按上述方法操作；（2）经历（1）之后，观察两图形，猜想线段如和线段/C之间有怎样的位置关系九青选择其中的一个图形证明你的猜想；（3）观察两图，你还可得出和"■相关的什么结论?请直接写出.【难度】★★★【答案】（1）略；（2）DELAC；（3）DE//BC,DE=BC.【解析】（1）根据要求画图即可.（2）联结BE,••PM=ME,A,M=MB,/PMA=NEMB,:.APMAqAEMB••PA^BE,NMPA-NMEB,■■PA//BE.:四边形/必是平行四边形，•••必〃笈，PA=DC,••BE//CD,BE=DC,二四边形〃/汨C是平行四边形，，座7734DH=BCZJC0=9O°,--BC^AC,即应'UCDE//BC,D序BC.【总结】本题考察平行四边形的性质的运用，解题关键是利用平行四边形的性质结合三角形全等来解决有关的证明随堂检测.若力〃是△46C的中线，延长4〃至IJ£1使DE=AD,联结BE、CE,那么四边形ABEC寇 四边形.【难度】★【答案】平行四边形【解析】力£1与常互相平分，所以四边形力比'C是平行四边形【总结】本题考查平行四边形的判定方法，对角线互相平分的四边形是平行四边形..如图，直线/与双曲线交于尔。两点，将直线/绕点。顺时针旋转a°（0°<aW45°）,与双曲线交于〃两点，则四边形ABCD的形状一定是,理由是【难度】★【答案】平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形.【解析】•.•反比例函数图像关于原点对称，.•.3=*,OB-OD,.•.四边形/腼是平行四边形.【总结】本题考查了反比例函数的性质及平行四边形的判定方法。了解和熟练掌握反比例函数的性质是解答此类题目的关键所在，注意反比例函数图像关于原点对称..四边形的四条边长分别是a,b,c,d,其中a,c为对边，且满足a2+b2+c2+d2=2ab+2cd,则这个四边形一定是（ ）A.两组角分别相等的四边形 B.平行四边形C.对角线互相垂直的四边形 D.对角线相等的四边形【难度】★★【答案】C【解析】由。2+。2+/+/=2必+24可得（Z步.（ud）=0,即炉6且c=d,所以四边形的两条对角线互相垂直.【总结】本题考查了因式分解的应用，解题时首先利用因式分解把等式变形，然后利用非负数的性质即可解决问题..已知四边形力比》的对角线相交于0,给出下列5个条件①46〃①，②AD"BC,③胫CD,④/次户N2O,从这四个条件中任选2个一组，能推出四边形力颇为平行四边形的有（ ）46组 6.5组 C4组 3组【难度】★★【答案】C【解析】根据平行四边形判定方法，能推出四边形为平行四边形的有四组，分别是①②，①③，①④，②④.【总结】本题考查平行四边形判定方法的运用..如图，在nABCD中,E、尸分别是4队切上点，AE-CF,M,"分别是原班的中点，求证：四边形的V是平行四边形.【难度】★★【解析】•.•平行四边形1以力，:.AB^\CD,AB-CD.•：AE^CF,BE^DF,四边形瓦沪。是平行四边形，.•.般势；DE//BF,又•.•〃、川分别是M的中点，:.MB-FN,四边形物:W是平行四边形.【总结】本题考查平行四边形性质及判定方法的综合运用..已知：如图，在△』笈中，BD平■分NABC,ED//BC,EF//AC,求证：EB-FC.AA【难度】★★【解析】,；BD平分ZABC, NABANCBD,5L-.-ED//BC,2ABA/DBO/EDB,EB=ED.又,：DE/IBC,㈤/⑺，.•.四边形次切是平行四边形，CAE2BE.【总结】本题考查平行四边形性质及判定方法的综合运用..如图，四边形夕期是平行四边形力时的内接平行四边形，即顶点反F、G、〃分别在平行四边形/四的四边上.求证：这两个平行四边形的对角线交于同一点.

【难度】★★【解析】连接4C，削交于点0B•••平行四边形4时与平行四边形EFGH：.△/历9△CGF,：.A4CF.'：侬△CFO,；.M是AC与郎的中点、同理勿，比也过点弘所以这两个平行四边形的对角线交于同一点.【总结】本题考查平行四边形的性质的运用，注意认真审题..如图，在C7力阅9中，E、尸是对角线如上的两点，AELBC,CFVAD.求证：四边形45t尸是平行四边形.【难度】★