计算流体力学推选优秀ppt

计算(jìsuàn)流体力学第一页，共111页。4离散化的基本(jīběn)方法第二页，共111页。4.1引言(yǐnyán)第三页，共111页。引言(yǐnyán)理论上，根据偏微分方程的解能得到(dédào)流场中任意点上流场变量的值。离散(lísàn)网格点第四页，共111页。引言(yǐnyán)实际上，我们采用代数差分(chàfēn)的方式将偏微分方程组转化为代数方程组。离散(lísàn)网格点第五页，共111页。引言(yǐnyán)通过求解代数方程组获得流场中离散网格(wǎnɡɡé)节点上的变量值。离散(lísàn)网格点第六页，共111页。引言(yǐnyán)从而(cóngér)，使得原来的偏微分方程组被“离散化”了。离散(lísàn)网格点第七页，共111页。引言(yǐnyán)第八页，共111页。4.2有限(yǒuxiàn)差分基础第九页，共111页。有限(yǒuxiàn)差分基础离散(lísàn)网格点泰勒(tàilè)级数展开：第十页，共111页。有限差分(chàfēn)基础泰勒(tàilè)级数展开：差分(chàfēn)表达式截断误差第十一页，共111页。有限(yǒuxiàn)差分基础一阶向前(xiànɡqián)差分：上述差分表达式用到了(i,j)点及其右边(i+1,j)点的信息，没有左边(zuǒbian)(i-1,j)点的信息，且精度为一阶第十二页，共111页。有限差分(chàfēn)基础离散(lísàn)网格点泰勒级数(jíshù)展开：第十三页，共111页。有限差分(chàfēn)基础泰勒(tàilè)级数展开：第十四页，共111页。有限(yǒuxiàn)差分基础一阶向后差分(chàfēn)：上述(shàngshù)差分表达式用到了(i,j)点及其左边(i-1,j)点的信息，没有右边(i+1,j)点的信息，且精度为一阶第十五页，共111页。有限差分(chàfēn)基础两式相减得：第十六页，共111页。有限(yǒuxiàn)差分基础得：第十七页，共111页。有限(yǒuxiàn)差分基础二阶中心(zhōngxīn)差分：上述差分表达式用到了左边(i-1,j)点及右边(i+1,j)点的信息(xìnxī)，(i,j)点位于它们中间，且精度为二阶第十八页，共111页。有限差分(chàfēn)基础Y方向(fāngxiàng)的差分表达式：第十九页，共111页。有限(yǒuxiàn)差分基础两式相加得：第二十页，共111页。有限(yǒuxiàn)差分基础得：二阶中心差分(chàfēn)（关于二阶导数）第二十一页，共111页。有限(yǒuxiàn)差分基础对Y方向(fāngxiàng)的二阶导数有：二阶中心差分(chàfēn)（关于Y方向二阶导数）第二十二页，共111页。有限差分(chàfēn)基础下面求二阶混合(hùnhé)偏导数上式对y求导得：第二十三页，共111页。有限差分(chàfēn)基础下面(xiàmian)求二阶混合偏导数上式对y求导得：第二十四页，共111页。有限差分(chàfēn)基础下面求二阶混合(hùnhé)偏导数两式相减得：6第二十五页，共111页。有限(yǒuxiàn)差分基础下面求二阶混合(hùnhé)偏导数6第二十六页，共111页。有限差分(chàfēn)基础二阶混合偏导数的二阶精度(jīnɡdù)中心差分第二十七页，共111页。有限差分(chàfēn)基础第二十八页，共111页。有限差分(chàfēn)基础第二十九页，共111页。有限差分(chàfēn)基础第三十页，共111页。有限差分(chàfēn)基础第三十一页，共111页。有限差分(chàfēn)基础第三十二页，共111页。有限差分(chàfēn)基础第三十三页，共111页。有限(yǒuxiàn)差分基础第三十四页，共111页。有限差分(chàfēn)基础第三十五页，共111页。有限差分(chàfēn)基础第三十六页，共111页。有限(yǒuxiàn)差分基础二阶偏导数(dǎoshù)，四阶精度中心差分高阶精度的差分需要更多的网格点，所以(suǒyǐ)计算中的每一个时间步或空间步都需要更多的计算机时间。第三十七页，共111页。有限差分(chàfēn)基础在边界上怎样构造差分(chàfēn)近似？边界(biānjiè)网格点第三十八页，共111页。有限差分(chàfēn)基础向前(xiànɡqián)差分，只有一阶精度。边界(biānjiè)网格点第三十九页，共111页。有限差分(chàfēn)基础在边界上如何得到二阶精度(jīnɡdù)的有限差分呢？边界(biānjiè)网格点第四十页，共111页。有限差分(chàfēn)基础不同于前面(qiánmian)的泰勒级数分析，下面采用多项式来分析。边界(biānjiè)网格点第四十一页，共111页。有限差分(chàfēn)基础设边界(biānjiè)网格点在网格(wǎnɡɡé)点1，在网格点2，在网格点3，第四十二页，共111页。有限差分(chàfēn)基础边界(biānjiè)网格点得第四十三页，共111页。有限(yǒuxiàn)差分基础边界(biānjiè)网格点对y求导得：在边界点1，第四十四页，共111页。有限差分(chàfēn)基础边界(biānjiè)网格点得：第四十五页，共111页。有限差分(chàfēn)基础边界(biānjiè)网格点根据(gēnjù)知为三阶精度第四十六页，共111页。有限差分(chàfēn)基础边界(biānjiè)网格点故为两阶(liǎnɡjiē)精度为三阶精度第四十七页，共111页。有限(yǒuxiàn)差分基础边界(biānjiè)网格点为单侧差分(chàfēn)第四十八页，共111页。4.3差分(chàfēn)方程第四十九页，共111页。差分(chàfēn)方程对一个给定的偏微分方程，如果将其中所有(suǒyǒu)的偏导数都用有限差分来代替，所得到的代数方程叫做差分方程，它是偏微分方程的代数表示。第五十页，共111页。差分(chàfēn)方程考虑(kǎolǜ)非定常一维热传导方程：第五十一页，共111页。差分(chàfēn)方程第五十二页，共111页。差分(chàfēn)方程第五十三页，共111页。差分(chàfēn)方程第五十四页，共111页。差分(chàfēn)方程偏微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)：差分(chàfēn)方程：截断误差：第五十五页，共111页。差分(chàfēn)方程差分方程是一个代数方程，如果在右图所示区域内所有(suǒyǒu)网格点上都列出差分方程，就得到一个联立的代数方程组。第五十六页，共111页。差分(chàfēn)方程当网格点的数量趋于无穷(wúqióng)多，也就是时，差分方程(fāngchéng)能否还原为原来的微分方程(fāngchéng)呢？第五十七页，共111页。差分(chàfēn)方程截断误差：截断误差趋于零，从而差分方程(fāngchéng)确实趋近于原微分方程(fāngchéng)。第五十八页，共111页。差分(chàfēn)方程从而差分方程(fāngchéng)确实趋近于原微分方程(fāngchéng)，如果(rúguǒ)，截断误差趋于零，此时我们说偏微分方程的这个有限差分表示是相容的。第五十九页，共111页。差分(chàfēn)方程原微分方程与相应(xiāngyīng)的差分方程之间的区别截断误差：第六十页，共111页。差分(chàfēn)方程原微分方程的解析(jiěxī)解与差分方程的解之间的区别离散(lísàn)误差：第六十一页，共111页。4.4显式方法(fāngfǎ)与隐式方法(fāngfǎ)第六十二页，共111页。4.4.1显式方法(fāngfǎ)第六十三页，共111页。显式方法(fāngfǎ)第六十四页，共111页。显式方法(fāngfǎ)上述方程是抛物型方程，可以推进求解，推进变量(biànliàng)是时间t第六十五页，共111页。显式方法(fāngfǎ)边界条件已知第六十六页，共111页。显式方法(fāngfǎ)边界条件已知第六十七页，共111页。显式方法(fāngfǎ)显式方法中每一个差分方程(fāngchéng)只包含一个未知数，从而这个未知数可以用直接计算的方法显式地求解。显式方法是最简单的方法。第六十八页，共111页。4.4.2隐式方法(fāngfǎ)第六十九页，共111页。隐式方法(fāngfǎ)克兰克－尼科尔森格式(géshi)第七十页，共111页。隐式方法(fāngfǎ)对于排列在同一时间层所有网格点上的未知量，必须将它们联立起来同时求解，才能(cáinéng)求出这些未知量，这种方法就定义为隐式方法。第七十一页，共111页。隐式方法(fāngfǎ)由于(yóuyú)需要求解联立的代数方程组，隐式方法通常涉及大型矩阵的运算。隐式方法比显式方法需要更多、更复杂的计算。第七十二页，共111页。第十七页，共111页。边界(biānjiè)网格点通过求解代数方程组获得流场中离散网格(wǎnɡɡé)节点上的变量值。第七十一页，共111页。为单侧差分(chàfēn)误差(wùchā)与稳定性分析对于显式方法，一旦x取定，那么t的取值必须受到稳定性条件(tiáojiàn)的限制，其取值必须小于等于某个值。第六十九页，共111页。有限差分(chàfēn)基础下面(xiàmian)来看CFL条件的物理意义。第九十五页，共111页。应用于三对角方程组，通常采用托马斯算法(suànfǎ)（国内称为追赶法）求解。第六十八页，共111页。在这种情况下，若采用隐式方法，即使对于很密的空间网格，也能采用较大的时间步长，就会减少程序运行时间。离散(lísàn)网格点有限(yǒuxiàn)差分基础隐式方法(fāngfǎ)第七十三页，共111页。对Y方向(fāngxiàng)的二阶导数有：上述方程是抛物型方程，可以推进求解，推进变量(biànliàng)是时间t3显式方法(fāngfǎ)与隐式方法(fāngfǎ)的比较有限差分(chàfēn)基础稳定性要求(yāoqiú)误差(wùchā)与稳定性分析在网格(wǎnɡɡé)点2：下面求二阶混合(hùnhé)偏导数第七十七页，共111页。二阶中心差分(chàfēn)（关于二阶导数）根据vonNeumann（冯诺伊曼）稳定性分析方法，设误差随空间(kōngjiān)和时间符合如下Fourier级数分布：隐式方法(fāngfǎ)A，B，Ki均为已知量第七十四页，共111页。隐式方法(fāngfǎ)A，B，Ki均为已知量第七十五页，共111页。隐式方法(fāngfǎ)在网格(wǎnɡɡé)点2：A，B，Ki均为已知量T1为边界条件，已知量第七十六页，共111页。隐式方法(fāngfǎ)在网格(wǎnɡɡé)点3：A，B，Ki均为已知量在网格(wǎnɡɡé)点4：在网格点5：第七十七页，共111页。隐式方法(fāngfǎ)A，B，Ki均为已知量在网格(wǎnɡɡé)点6：T7为边界条件，已知量第七十八页，共111页。隐式方法(fāngfǎ)于是(yúshì)有关于T2，T3，T4，T5，T6这五个未知数的五个方程A，B，Ki均为已知量第七十九页，共111页。隐式方法(fāngfǎ)写成矩阵(jǔzhèn)形式：第八十页，共111页。隐式方法(fāngfǎ)系数矩阵是一个三对角矩阵，仅在三条(sāntiáo)对角线上有非零元素。求解线性代数方程组的标准方法是高斯消去法。应用于三对角方程组，通常采用托马斯算法(suànfǎ)（国内称为追赶法）求解。第八十一页，共111页。4.4.3显式方法(fāngfǎ)与隐式方法(fāngfǎ)的比较第八十二页，共111页。显式方法(fāngfǎ)与隐式方法(fāngfǎ)的比较对于显式方法，一旦x取定，那么t的取值必须受到稳定性条件(tiáojiàn)的限制，其取值必须小于等于某个值。否则，计算不稳定。因此，t必须取得很小，才能保持计算稳定，要算到某个给定的时间值，程序要运行很长时间。第八十三页，共111页。显式方法(fāngfǎ)与隐式方法(fāngfǎ)的比较隐式方法没有稳定性限制(xiànzhì)，可以取比显式方法大得多的t，仍能保持计算稳定。要计算某个给定的时间值，隐式方法所用的时间步数比显式方法少很多。第八十四页，共111页。显式方法(fāngfǎ)与隐式方法(fāngfǎ)的比较对某些应用来说，虽然隐式方法一个时间步的计算会比显式方法花的时间长，但由于(yóuyú)时间步数少，总的运行时间可能比显式方法少。第八十五页，共111页。显式方法(fāngfǎ)与隐式方法(fāngfǎ)的比较另外(lìnɡwài)，当t取得较大时，截断误差就大，隐式方法在跟踪严格的瞬态变化（未知函数随时间的变化）时，可能不如显式方法精确。不过，对于以定常态为最终目标的时间相关(xiāngguān)算法，时间上够不够精确并不重要。第八十六页，共111页。显式方法(fāngfǎ)与隐式方法(fāngfǎ)的比较当流场中某些局部区域(qūyù)的网格点分布很密，采用显式方法，小的时间步长会导致计算时间特别长。例如，高雷诺数粘性流，物面附近的流场会产生急剧的变化，因此(yīncǐ)，物面附近需要更密的空间网格。在这种情况下，若采用隐式方法，即使对于很密的空间网格，也能采用较大的时间步长，就会减少程序运行时间。第八十七页，共111页。4.5误差(wùchā)与稳定性分析第八十八页，共111页。误差(wùchā)与稳定性分析在从一个推进步进行到下一步时，如果某个特定的数值(shùzí)误差被放大了，那么计算就变成不稳定。如果误差不增长，甚至在从一个推进步进行到下一步时，误差还在衰减，那么计算通常就是稳定的。第八十九页，共111页。误差(wùchā)与稳定性分析A=偏微分方程的精确(jīngquè)解（解析解）D=差分方程(fāngchéng)的精确解离散误差=A-D第九十页，共111页。误差(wùchā)与稳定性分析D=差分(chàfēn)方程的精确解舍入误差(wùchā)==N-DN=在某个有限精度的计算机上实际计算出来的解（数值解）N=D+第九十一页，共111页。误差(wùchā)与稳定性分析数值解N=精确(jīngquè)解D+误差数值解N满足(mǎnzú)差分方程，于是有第九十二页，共111页。误差(wùchā)与稳定性分析数值解N=精确(jīngquè)解D+误差精确解D也必然满足差分(chàfēn)方程，于是有第九十三页，共111页。误差(wùchā)与稳定性分析数值解N=精确(jīngquè)解D+误差两式相减得，误差也满足(mǎnzú)差分方程：第九十四页，共111页。误差(wùchā)与稳定性分析当求解过程从第n步推进(tuījìn)到第n+1步时，如果i衰减，至少是不增大，那么求解就是稳定的；反之，如果i增大，求解就是不稳定的。也就是说，求解要是稳定的，应该有：第九十五页，共111页。误差(wùchā)与稳定性分析根据vonNeumann（冯诺伊曼）稳定性分析方法，设误差随空间(kōngjiān)和时间符合如下Fourier级数分布：则第九十六页，共111页。误差(wùchā)与稳定性分析稳定性要求(yāoqiú)故放大(fàngdà)因子第九十七页，共111页。误差(wùchā)与稳定性分析下面采用vonNeumann（冯诺伊曼）稳定性分析方法分析如下(rúxià)差分方程的稳定性：由于误差也满足(mǎnzú)差分方程，故有第九十八页，共111页。误差(wùchā)与稳定性分析由于(yóuyú)误差也满足差分方程，故有而则第九十九页，共111页。误差(wùchā)与稳定性分析解得放大(fàngdà)因子第一百页，共111页。误差(wùchā)与稳定性分析要使放大(fàngdà)因子必须(bìxū)满足第一百零一页，共111页。误差(wùchā)与稳定性分析上式就是差分(chàfēn)方程