机械优化设计备课笔记2A

精选优质文档-----倾情为你奉上精选优质文档-----倾情为你奉上专心---专注---专业专心---专注---专业精选优质文档-----倾情为你奉上专心---专注---专业用数值法对于维目标函数求解的过程是：①确定初始搜索区间[a,b]，使该区间内仅包含有目标函数的一个极小点x*；②在初始区间内，才用分割比较将包含有目标函数极小点的区间逐渐缩短，直到该区间缩短到足够小的程度后，求出极小点x*（并不需要求出最优步长）。因此，首先来讨论初始区间的确定。§3—1初始搜索区间的确定对于所有一维优化方法，首先遇到的一个共同问题是如何确定一个初始搜索区间[a,b]，使该区间内必包含有一个、且唯一的函数极小点x*。这个搜索区间就是所要确定的初始搜索区间。然后再通过一维优化方法，即区间分割法（例如格点法、黄金分割法、二次插值法），将包含有极小点在内的区间逐渐分割缩小，直至将区间缩至足够小，即可求得最优点的近似解x*。本节我们将介绍用进退法确定初始搜索区间。由一元函数的性质可知，在极小点x*左侧函数值呈单调下降，而在极小点的右侧，则函数值呈单调上升。利用这一性质，在确定一元函数的初始搜索区间时，首先任取一个初始点x0，并选取一个适当的初始进退距h0，然后进行试探运算，并根据试探运算的结果，选择作前进或后退运算。一、试探运算，以确定作向前运算还是作后退运算。先置ｈ←ｈ0，ｘ1←ｘ0，计算初始点ｘ1和前进点ｘ2的目标函数值ｙ1、ｙ2，即：ｙ1←ｆ(ｘ1)；ｘ2←ｘ1+ｈ，ｙ2←ｆ(ｘ2)根据图3.3(a)所示的情况，比较ｙ1、ｙ2的大小，以确定作向前运算还是作后退运算。做后退运算做前进运算①当ｙ2＜ｙ1时，如图3.3(a)中实线的情况，则极小点x*必在ｘ1的右侧，应再作前进搜索运算。②当ｙ2≥ｙ1时，如图3.3(a)中虚线的情况，则极小点x*必在ｘ2的左侧，应作后退搜索运算。二、前进搜索运算（ｙ2＜ｙ1时）将进退距ｈ加倍，即：ｈ←2ｈ，在x1的左侧取第三个点ｘ3，即ｘ3←ｘ2+ｈ，并计算ｘ3的函数值：ｙ3＝ｆ(ｘ3)比较函数值ｙ2和ｙ3的大小，分为如下两种情况：第一种情况，若ｙ2＜ｙ3，如图3.3(b)中的虚线所示，则相邻的三个点ｘ1、ｘ2、ｘ3处的目标函数值ｙ1、ｙ2、ｙ3呈大、小、大的变化。根据函数的连续性可知，在区间内[ｘ1,ｘ3]必定包含有目标函数ｆ(x)的极小点x*，即令：ａ←ｘ1，ｂ←ｘ3，这就搜索得到了初始搜索区间[ａ,ｂ]。第二种情况，若ｙ2≥ｙ3，如图3.3(b)中的实线所示，则极小点x*有可能位于ｘ2的右侧，需继续作前进运算。为了使下一次作前进运算时能采用与本次前进运算相同的迭代格式，重复前进搜索运算，对各点作如下置换：ｘ1←ｘ2，ｙ1←ｙ2；ｘ2←ｘ3，ｙ2←ｙ3并再次将进退距加倍，ｈ←2ｈ，计算新的点ｘ3及其对应的函数值ｙ3：ｘ3←ｘ2+ｈ，ｙ3←ｆ(ｘ3)。重复上述比较ｙ2、ｙ3的过程，直到最后出现ｙ2＜ｙ3，即相邻三个点ｘ1、ｘ2、ｘ3的函数值ｙ1、ｙ2、ｙ3呈两端大，中间小的情况时，取左、右两端点为初始点搜索区间。做后退运算做前进运算三、后退搜索运算（ｙ2≥ｙ1时）如图3.3(a)中虚线所示，若ｙ2≥ｙ1时，取向ｘ1点的左侧搜索，即作后退运算。取进退距ｈ置为负的初始进退距，即：ｈ←—ｈ0，置换点号，使他们自右向左反向排列，如图3.3(c)所示，以便采用前进搜索运算的迭代格式进行计算，作置换：ｘ3←ｘ1，ｙ3←ｙ1；（变量ｘ3、ｙ3仅作为置换数据的暂用单元）ｘ1←ｘ2，ｙ1←ｙ2；ｘ2←ｘ3，ｙ2←ｙ3；经过上述置换后，ｘ1、ｘ2从右向左排列，采用前进运算的迭代格式进行后退运算。将进退距加倍，即ｈ←2ｈ，计算出第三个后退点ｘ3及其函数值ｙ3：ｘ3←ｘ2+ｈ，ｙ3←ｆ(ｘ3)比较函数值ｙ2、ｙ3的大小。①若ｙ2＜ｙ3时，如图3.3(c)中虚线Ⅱ所示，则初始区间已确定；ａ←ｘ3，ｂ←ｘ1；②若ｙ2≥ｙ3时，如图3.3(c)中实线Ⅰ所示，则应继续作后退运算，对各点作如下置换：ｘ1←ｘ2，ｙ1←ｙ2；ｘ2←ｘ3，ｙ2←ｙ3并将进退距加倍，即ｈ←2ｈ，计算新的点ｘ3及其函数值ｙ3：ｘ3←ｘ2+ｈ，ｙ3←ｆ(ｘ3)重复比较函数值ｙ2、ｙ3的大小，直到最后出现ｙ2＜ｙ3，即出现相邻三个点ｘ1、ｘ2、ｘ3的函数值呈两端大、中间小的情况为止，取其ａ←ｘ3，ｂ←ｘ1；可到初始搜索区间［ａ,ｂ］。当已经确定了初始搜索区间［ａ,ｂ］之后，接着的问题就是要在这个已确定的区间中，如何迅速找到目标函数的最优点ｘ*。通常采用区间分割法，将包含有目标函数极小点的区间逐步分割缩小，直到区间缩小到足够小为止。取缩小到足够小的区间中点作为目标函数极小点的近似解。缩小后的区间大小可由计算者根据实际问题的需要，预先规定一个足够小的正数，称为收敛精度或迭代精度，但经过ｋ次区间搜缩后，如果满足：│ｂ(k)—ａ(k)│≤ε则终止计算，取ｘ*＝（ａ(k)＋ｂ(k)）/2。常用的区间分割法有：格点法、黄金分割法、二次插值法等。§3—3黄金分割法黄金分割法也称为0.618法。这种方法是通过对搜索区间内插入黄金分割点，并计算分割点的函数值和比较它们的大小，将包含有最优点的区间逐次缩短，当区间缩短到小于预先给定的足够小的数值时，即可获得目标函数的极小点的近似解。一、区间缩短的基本方法如图３.８所示，设有一元函数ｆ(x)，在给定的初始搜索区间内［ａ,ｂ］仅存在一个极小点ｘ*，试在该区间内寻求目标函数的极小点，即最优点ｘ*。为了缩短区间，在初始区间［ａ,ｂ］内按一定的规则对称地插入两分割点ｘ1、ｘ2，且ｘ1＜ｘ2，ax1＝x2b，使区间［ａ,ｂ］分为三段。分别计算两插入分割点的函数值；ｙ1←ｆ(ｘ1)；ｙ2←ｆ(ｘ2)比较ｙ1、ｙ2的大小，有下列两种情况；1、若ｙ1＜ｙ2，如图3.8(a)所示，极小点x*一定在x2的左侧，即必定在区间[ａ,ｘ2]内。因此，舍去右段x2b，将区间[ａ,ｘ2]作为缩短后的新搜索区间，即令：ｂ←ｘ2，获得新的区间［ａ,ｂ］。2、若ｙ1≥ｙ2，如图3.8(b)所示，极小点x*一定在x1的右侧，即必定在区间[ｘ1,ｂ]内。因此，舍去左段ax1，将区间[ｘ1,ｂ]作为缩短后的新搜索区间，即令：ａ←ｘ1，获得新的区间［ａ,ｂ］。这样就完成了一次区间缩短（收缩）。在每次区间缩短过程中，把缩短后的新区间长度与原区间长度之比称为该次区间缩短率，用λ来表示，即：在缩短后的新区间内，我们还需要去续按照一定的规则，对称地插入新的分割点，来继续缩短新区间。经过函数值ｙ1、ｙ2的一次比较后，区间即可缩短一次。在缩短后的新区间内，因有一个保留点x1或x2，故下一次缩短时，只需要按一定的规则，对称地补插一个分割点，并计算该点的函数值，重复函数值ｙ1、ｙ2的比较，如此反复计算，区间即可逐次地加以缩短，直到满足迭代计算终止准则后，方可停止分割收缩计算。问题的关键是在每一次迭代中，补插的分割点应按什么规律确定，才能使迭代计算在次数相同的条件下，区间缩短得最快呢？二、黄金分割法的取点原则为了加快区间缩短的速率，黄金分割法的分割点选取的原则是：每次区间缩短都具有相等的区间缩短率，即在每一次区间缩短时，新区间的长度与原区间的长度之比值为λ＝0.618。先推到如下：如图3.8(a)所示，设初始搜索区间的长度为L1，若经过第一次区间缩短后，新区间的长度为ax2，设第一次区间缩短率为λ1，则∵λ1＝ax2／ab，∴ax2＝λ1·ab＝λ1Ｌ1。由于两分割点ｘ1、ｘ2在区间［ａ,ｂ］内是对称插入的，即：ax1＝x2b＝ab—ax2＝（1—λ1）·Ｌ1；在第二次区间缩短时，新区间[ａ,ｘ2]内保留有x1点，因而，在新区间[ａ,ｘ2]内，需补插一个与x1对称的新分割x3点，并计算其函数值y3，记作ｙ3←ｆ(ｘ3)。通过比较ｙ1、ｙ3的数值大小，由于ｙ3＜ｙ1，于是第二次区间缩短时新区间为[ａ,ｘ1]，设第二次区间缩短率为λ2，即：根据黄金分割法取点原则：在每次区间缩短时，都具有相等的区间缩短率，因此：λ1＝λ2＝λ，即：，计算出：于是，。黄金分割法的分割取点原则为：ｘ1＝ａ＋(１－λ)Ｌ＝ａ＋0.382(b－a)ｘ2＝ａ＋λＬ＝ａ＋0.618(b－a)三、迭代终止条件当区间缩短到满足迭代终止条件时，即：ｂ(k)—ａ(k)＜ε可终止迭代计算，其中迭代精度ε是设计者根据计算精度要求而预先给定的足够小的正数值。迭代终止条件也可写成：ｂ(１)—ａ(１)＝λ1(b－a)，ｂ(2)—ａ(2)＝λ1(b(1)－a(1))＝λ2(b－a)，ｂ(k)—ａ(k)＝λk(b－a)即ｂ(k)—ａ(k)＝λk(b－a)≤ε或，其中λ取为0.618当最终区间长度[ｂ(k)—ａ(k)]小于迭代精度ε或区间缩短次数ｋ满足：时，即可终止迭代计算，取最终区间的中点以及相应的函数值作为目标函数的最优解输出：ｘ*＝[ａ(k)＋ｂ(k)]／2，Ｆ*＝Ｆ(ｘ*)四、计算步骤及程序流程图１、在初始搜索区间［ａ,ｂ］内，按黄金分割法的取点原则，插入分割点：ｘ1＝ａ＋(１－λ)Ｌ＝ａ＋0.382(b－a)ｘ2＝ａ＋λＬ＝ａ＋0.618(b－a)并计算区间内插入分割点ｘ1、ｘ2处的函数值ｙ1、ｙ2，即：ｙ1←ｆ(ｘ1)，ｙ2←ｆ(ｘ2)２、比较插入分割点处函数值ｙ1、ｙ2的大小：若ｙ1＜ｙ2，如图3.8(a)所示，则舍去b点，取新区间为[ａ,ｘ2]，并将作如下置换：ｂ←ｘ2,ｘ2←ｘ1，ｙ2←ｙ1在新区间［ａ,ｂ］内补插x1点，并计算其函数值y1，即：ｘ1←ａ＋(１－λ)Ｌ＝ａ＋0.382(b－a)ｙ1←ｆ(ｘ1)，转第三步；若ｙ1≥ｙ2，如图3.