理科数学函数奇偶性与周期性

第3偶性与周期 考纲

意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那关于y轴关于原点奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函在关于原点对称的区间上的单调性相反在公共定义域

(填“相同”、“①两个奇函数的和函数 奇函 ，两个奇函数的积函是偶函数

奇函数若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x) 如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则 x已知f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋1x 已知y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上是减函数，若f(a)≥f(2)，则实数a的取值范围是[－2,2]．函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为 若y＝f(x)既是周期函数，又是奇函数，则其导函数y＝两个防范一是判断函数的奇偶性之前务必先考查函数的定二是若函数f(x)是奇函数，则f(0)不一定存在；若函数f(x)三个结论一是若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关二是若对任意x∈D都有f(x＋a)＝－f(x)f(x)是以2a为周期函数；若对任意x∈D都有f(x＋a)＝±

(f(x)≠0)，则f(x)也是2a为周期的函数，如

f′(－x)＝－f′(x)f′(－x)＝－f′(x)【例1】(1)判断下列函数的奇偶性①f(x)＝x2－1＋(2)已知函数 1＋9x2－3x)＋1， 1 2①由21－x

f(x)＝±f(－x)．

xx

1的定义域为

＝－f(x)

解析设 则 2)＋f(－lg ＝g(lg2)＋1＋g(－lg2)＋1＝g(lg2)－g(lg答 规律方法定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝【训练1】(1)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足g(x＝axax2(a>0且a≠1)g(2)＝af(2) 4 444

(2)设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋ ()． 解 ＝4(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数所以答 【例2】(1)下列函数中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数

D．f(x)＝－tan(2)f(x)是定义R上的偶函数在区间[0，＋∞)上为增函 ＝0，则不等)＞0的 ，B ， 8

解析

＝x在定义域上是奇函数，但不单调f(x)＝－x为非奇非偶函数；f(x)＝－tanx在定义域上是奇函数，(2)由已知f(x)在R上为偶函数，且 ∴f(log1x)＞0等价于 又f(x)在[0＋∞)上为增函数 ∴|log1x|＞3，即log1x＞3或log1x＜－3，解得0＜x＜2或x＞2， 答 规律方法【训练2】已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0(解析因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0.又f(x)＝ex＋a(0，＋∞)上是增函数，所以f(x)在R上是增函数，则＋a≥0，解得a≥－1，所以a的最小值是－1，故选答案【例3】(经典题)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－ ()．令审题路线f(x－4)＝－f(x)――――→f(x－8)＝f(x)奇偶性周期性把－25,11,80化到区间[－2,2]上→利用[－2,2]解 ∴f(x－8)＝f(x)，∴函数f(x)是以8为周期的周期函数，则由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(x)在R上是奇函数答 规律方法【训练3】定义在R上的偶函数f(x)满足：f(x＋1)＝－f(x)其中判断正确的序号 解析f(x＋1)＝－f(x)⇒f(x＋2)＝f(x)，故f(x)是周期函数．又＝f(－x)，所以f(x＋2)＝f(－x)，故f(x)的图象关于直线x＝1对称．同理，f(x＋4)＝f(x)＝f(－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2答案正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充价形式：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)±f(x)＝0⇔fx＝±1奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反【典例】若函数

为奇函数，则 2244

33[一般解法]f(－x)＝－f(x) 2－x＋ 2x＋

1 [优美解法](特值法由已知f(x)为奇函数得 即所以a＋1＝3(1－a)，解得

感悟]已知函数的奇偶性求参数值一般思路是：利用函若函数f(x)＝ax2＋(2