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文档简介
★§6.4重积§6.4一、三重积分定义fxyz)是空间有界闭区域的有界函数,将闭区域任意分成n个小闭区v1,v2,,vn,其中vi表示第i个小闭区域也表示它的体积,在每个vi上任取一点(i,i,i)作乘积f(i,i,ivi(i1,2,n并作和i
f(i,i,i)
直径中的最大值趋近于零时,这和式的极nlimf(i,i,ivi
if(
yz)在闭区域上的三重积分
f(
y,z)dv§6.4
f(
y,z)dv
lim
f(i,i,i)vin n
i其中dv叫做体积元素注①在直角坐标系中,如果用平行于坐标注的平面来划分三重积分记
则
xjykzln
f(
y,z)dxdydz
lim
f(i,i,i)vi
i其中dxdydz叫做直角坐标系§6.4②当被积函
f(x,
时
其中V的体积.因此可利用三重积分来表示对三重积分有如下的积分存定理若三元
f(
y,
在有界闭区域上连续
f(
y,
在上可积,即三重
f(
y,
存在§6.4二、直角坐标系下三重积分的计如图
zz2(x,面上的投影为闭区域
z2S1
z
(
S2
zz2(
z(z过点
y)
作直线 a bDb
穿入z2穿x
yy1(
(x,
yy2(§6.4x,y看作定值,将函数,则1z2(x,y1
fx,yz)只看zF(x,y)
z(x,y
f(
y,F
y)
上的二重积z2(x,yF(
(x,y
f(
y,z)dz]d D
y1(x)y
y2(
a
§6.4f(x,y,bdxy2(x)dyz2(x,y
f(x,y, z1(x,y上式称为先对变量z,再对y,最后对x的三次积分并称此方法为“先一后二”法注这是平行注
轴且穿过闭区域内部的直线与闭区域的边界曲于两点情形
相交不§6.4“先二后一”夹在平
z
之间,以任意平z
c
c2
,得平面区域 ,c2c c2
f(
y,z)dxdydzzOΩy记作c2dz f(x,y,z)d1Z D 1Z§6.4小结三重积分的计算方法方法1“先一后二”dxdy
z2(x,y
f(
y,z)dz方法2“先二后
z1(x,ybZadzDZ方法3“三次积分”(略
f(
y,z)dxdybdxy2(x)dyz2(x,y)
f(
y,z)dz z1(x,y§6.41计算三重积分
zdxdydz,其中为三个标面及平面xy
1所围成的闭区1
zdz Dz{(x,y)1
dxdy11
(12
z)(1z)1x原式
0z
2
2dz1§6.4z1z1o11
zdxdydz
1y
1
yy x1z1(1z)2dz1 §6.4例 计算三重积分
z2dxdydz,其中x2由椭球面a2
y2b2
z2c2
1所成的空间闭区解
{(
y,z)|c
zc, DzDx2y2a2 b2
1
z2c2 cx原式z2dzcxc§6.4Dz
x2y)|a2
y2b2
1
z2c2}a2(1z2c2)b2a2(1z2c2)b2(1z2c2) c
zc2z2z22
4 原式
c2)z
abc§6.4例 计算三重积
xdxdydz,
其中为三个坐z112yz112y
x2yz
所围成的闭区域0
1
x2
0y
1(1x)20x2
1x2
x2y)d1140(11
2x2
x3)dx
1§6.4三、柱面坐标系下三重积分的计Mxyz为空间内一点,并设点M
面上的投
P的极坐标为r,,则这样的r,
就叫
的柱面坐标z规定
0
M(x,y,z)0 z
P(r,x§6.4zM(x,y,zM(x,y,zorP(r,yxr为常为常z为常
关系xrcos关系xrcosyrsinzz.§6.4zroyxzroyxdv
f(
y,
f(r
,r
,§6.4例4计算三重
其中为x2
2x
及平
z0,
a
y0所2成半圆柱2
0 在柱面坐标系下
0 0zdddz2
zoxyxa0a
222
24a2
dvdvdddz
a9§6.4四、球面坐标系下三重积分的计Mx,yz)为空间内一点,则点M可用三个有次序的数
来确定,其中r为原点O
间的距离
为有向线段OM与轴正向所夹的角
为从
轴来看自x轴按逆时针方向转到有向
OP的角,这PM
面上的投影,这样的个数
就叫做
的球面坐标.§6.4规定0
,
0
0
如图,三坐标面分别r为常为常数为常
半平面§6.4如图z
面上的投影为
M(x,y,z)P
x轴上的投影为 则OAx,APy,PM
球面坐标与直角坐标的关系xrsincosyrsinsinrcos§6.4zzrrroyx球面坐标系中的体积元素dvr2sindrddf(x,y,z)dxdydzf(rsincos,rsinsin,rcos)r2sindrdd§6.45
I(x2
y2)dxdydz,其中x2
y2
z2,与平面z
a
0)z4y解法1采z4y z
r
cosx2
y2
a4a
0
cos
04
0
§6.4I(x22
y2ad4dcosr4 a524sin30
5cos5
a5§6.4解法 采用柱面坐x2
y2
z2
zr,
D x2
y2
a2 r
z
0
0
I(x2
y2
2dardrar2ar3(a
452[a a45
a5.§6.46求曲面x2
y2z2
2a2与zx2x2y2z由x2y2z2 2a2 r x2x2y24z 4
0r
04
0
§6.4由三重积分的性质
V2V2
d4
r2
4
4sin 2 2
1)a§6.4三重积分内内容小三重积分的坐标体积元适用情直角坐标围成;被积函数形式简洁,变量可分离
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