高数课件-第六章6.4三重积分一、概念

★§6.4重积§6.4一、三重积分定义fxyz)是空间有界闭区域的有界函数，将闭区域任意分成n个小闭区v1，v2,,vn，其中vi表示第i个小闭区域也表示它的体积,在每个vi上任取一点(i,i,i)作乘积f(i,i,ivi(i1,2,n并作和i

f(i,i,i)

直径中的最大值趋近于零时，这和式的极nlimf(i,i,ivi

if(

yz)在闭区域上的三重积分

f(

y,z)dv§6.4

f(

y,z)dv

lim

f(i,i,i)vin n

i其中dv叫做体积元素注①在直角坐标系中，如果用平行于坐标注的平面来划分三重积分记

则

xjykzln

f(

y,z)dxdydz

lim

f(i,i,i)vi

i其中dxdydz叫做直角坐标系§6.4②当被积函

f(x,

时

其中V的体积.因此可利用三重积分来表示对三重积分有如下的积分存定理若三元

f(

y,

在有界闭区域上连续

f(

y,

在上可积，即三重

f(

y,

存在§6.4二、直角坐标系下三重积分的计如图

zz2(x,面上的投影为闭区域

z2S1

z

(

S2

zz2(

z(z过点

y)

作直线 a bDb

穿入z2穿x

yy1(

(x,

yy2(§6.4x,y看作定值，将函数，则1z2(x,y1

fx,yz)只看zF(x,y)

z(x,y

f(

y,F

y)

上的二重积z2(x,yF(

(x,y

f(

y,z)dz]d D

y1(x)y

y2(

a

§6.4f(x,y,bdxy2(x)dyz2(x,y

f(x,y, z1(x,y上式称为先对变量z,再对y,最后对x的三次积分并称此方法为“先一后二”法注这是平行注

轴且穿过闭区域内部的直线与闭区域的边界曲于两点情形

相交不§6.4“先二后一”夹在平

z

之间，以任意平z

c

c2

，得平面区域 ，c2c c2

f(

y,z)dxdydzzOΩy记作c2dz f(x,y,z)d1Z D 1Z§6.4小结三重积分的计算方法方法1“先一后二”dxdy

z2(x,y

f(

y,z)dz方法2“先二后

z1(x,ybZadzDZ方法3“三次积分”(略

f(

y,z)dxdybdxy2(x)dyz2(x,y)

f(

y,z)dz z1(x,y§6.41计算三重积分

zdxdydz，其中为三个标面及平面xy

1所围成的闭区1

zdz Dz{(x,y)1

dxdy11

(12

z)(1z)1x原式

0z

2

2dz1§6.4z1z1o11

zdxdydz

1y

1

yy x1z1(1z)2dz1 §6.4例 计算三重积分

z2dxdydz，其中x2由椭球面a2

y2b2

z2c2

1所成的空间闭区解

{(

y,z)|c

zc, DzDx2y2a2 b2

1

z2c2 cx原式z2dzcxc§6.4Dz

x2y)|a2

y2b2

1

z2c2}a2(1z2c2)b2a2(1z2c2)b2(1z2c2) c

zc2z2z22

4 原式

c2)z

abc§6.4例 计算三重积

xdxdydz,

其中为三个坐z112yz112y

x2yz

所围成的闭区域0

1

x2

0y

1(1x)20x2

1x2

x2y)d1140(11

2x2

x3)dx

1§6.4三、柱面坐标系下三重积分的计Mxyz为空间内一点，并设点M

面上的投

P的极坐标为r,，则这样的r,

就叫

的柱面坐标z规定

0

M(x,y,z)0 z

P(r,x§6.4zM(x,y,zM(x,y,zorP(r,yxr为常为常z为常

关系xrcos关系xrcosyrsinzz.§6.4zroyxzroyxdv

f(

y,

f(r

,r

,§6.4例4计算三重

其中为x2

2x

及平

z0,

a

y0所2成半圆柱2

0 在柱面坐标系下

0 0zdddz2

zoxyxa0a

222

24a2

dvdvdddz

a9§6.4四、球面坐标系下三重积分的计Mx,yz)为空间内一点，则点M可用三个有次序的数

来确定，其中r为原点O

间的距离

为有向线段OM与轴正向所夹的角

为从

轴来看自x轴按逆时针方向转到有向

OP的角，这PM

面上的投影，这样的个数

就叫做

的球面坐标．§6.4规定0

,

0

0

如图，三坐标面分别r为常为常数为常

半平面§6.4如图z

面上的投影为

M(x,y,z)P

x轴上的投影为 则OAx,APy,PM

球面坐标与直角坐标的关系xrsincosyrsinsinrcos§6.4zzrrroyx球面坐标系中的体积元素dvr2sindrddf(x,y,z)dxdydzf(rsincos,rsinsin,rcos)r2sindrdd§6.45

I(x2

y2)dxdydz，其中x2

y2

z2，与平面z

a

0)z4y解法1采z4y z

r

cosx2

y2

a4a

0

cos

04

0

§6.4I(x22

y2ad4dcosr4 a524sin30

5cos5

a5§6.4解法 采用柱面坐x2

y2

z2

zr,

D x2

y2

a2 r

z

0

0

I(x2

y2

2dardrar2ar3(a

452[a a45

a5.§6.46求曲面x2

y2z2

2a2与zx2x2y2z由x2y2z2 2a2 r x2x2y24z 4

0r

04

0

§6.4由三重积分的性质

V2V2

d4

r2

4

4sin 2 2

1)a§6.4三重积分内内容小三重积分的坐标体积元适用情直角坐标围成;被积函数形式简洁,变量可分离