新高考数学专题35 运用错位相减法求和（教师版）

专题35运用错位相减法求和用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn一、题型选讲例1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和．【解析】（1）设的公比为，由题设得即.所以解得（舍去），.故的公比为.（2）设为的前n项和.由（1）及题设可得，.所以，.可得所以.例2、【2020年高考全国III卷理数】设数列{an}满足a1=3，．（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．【解析】（1）猜想由已知可得，，…….因为，所以（2）由（1）得，所以.①从而.②得，所以例3、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知数列的前项和满足，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【解析】（1）因为,,所以,,两式相减得,整理得,即,,所以为常数列,所以,所以（2）由（1）,,所以两式相减得：，，化简得例4、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知等比数列满足成等差数列，且；等差数列的前n项和.求：（1）；（2）数列的前项和.【解析】（1）设的公比为q.因为成等差数列，所以，即.因为，所以.因为，所以.因此.由题意，.所以，，从而.所以的公差.所以.（2）令，则.因此.又两式相减得.所以.例5、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）设数列的前项和为，且，在正项等比数列中，．（1）求和的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【解析】（1）当时，，当时，==，所以．所以，于是，解得或（舍）所以=．（2）由以上结论可得，所以其前n项和==-得，==所以=．例6、【2018年高考浙江卷】已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1=1，数列{（bn+1−bn）an}的前n项和为2n2+n．（1）求q的值；（2）求数列{bn}的通项公式．【解析】（1）由是的等差中项得，所以，解得.由得，因为，所以.（2）设，数列前n项和为.由解得.由（1）可知，所以，故，.设，所以，因此，又，所以.例7、【江苏省如皋市2019-2020学年度高三年级第一学期教学质量调研（三)】在公差不为零的等差数列中，，，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设等差数列的公差为，由，，，成等比数列得：，解得或（舍去），所以数列的通项公式.（2）由（1）得，所以，所以，①，②①-②得：，所以.二、达标训练1、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）设等差数列的前项和为，且，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和.【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，解得.所以.（Ⅱ）因此.所以，，相减得.故：.2、【2020届山西省太原市第五中学高三下学期4月模拟】已知数列an是等比数列，a2=4，a3+2是（1）求数列an（2）设bn=2log2an−1【答案】（1）an=2n；（【解析】（1）设数列an的公比为q因为a2=4，所以a3因为a3+2是a2和a即24q+2=4+4q因为公比q≠0，所以q=2.所以an（2）因为an=2n，所以则Tn2T①−②得，−T所以Tn3、【云南师范大学附属中学2019-2020学年高三适应性月考（八）】已知数列an的前n项和为Sn，且2Sn=3an−3（n⩾1，（1）求数列的通项公式an（2）令cn=bn3n，证明：数列cn【解析】解：（1）当n=1时，有2a1=3当n≥2时，由2Sn=3所以2an=3anan−1故an（2）由（1）得bn+1∴bn+13n+1又c1∴数列{cn}是以1故cn=1所以c∴T∴3∴−2∴T4、、（江苏省徐州市2021届高三第一学期期中考试）设为数列的前n项和，满足且，，成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．【解析】（1）当时，，即，………………3分由，，成等差数列可知，，即，解得，所以，则是以为首项，为公比的等比数列，所以的通项公式为．……………6分（2）由（1）知，，则，，两式相减得，，……………10分所以．………12分5、（湖北师大附中2021届高三上学期名校联考）数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=(n1)•2n+1+2(n≥l),（1）求数列{an}的通项公式；（2）设为数列{bn}的前n项和，求Sn.【解析】：(1)由题意，由，①得，②①—②