工程结构抗震与防灾T166

工程结构抗震与防灾22结构抗震计算2.1计算原则2.2地震作用2.3设计反应谱2.4振型分解反应谱法2.5底部剪力法2.6结构竖向地震作用2.7结构抗震验算教学要求：

（1）结构抗震计算的基本原理、基本概念和基本方法；（2）单质点弹性体系和多质点弹性体系的动力方程并求解；（3）分析水平地震作用和竖向地震作用特点和计算方法；（4）抗震规范设计反应谱及其应用。（5）建立截面抗震计算和抗震变形验算的方法和计算公式。2.1结构抗震计算22结构抗震计算2.1计算原则2.2地震作用2.3设计反应谱2.4振型分解反应谱法2.5底部剪力法2.6结构竖向地震作用2.7结构抗震验算结构抗震计算的基本步骤确定结构方案地震作用计算计算结构和构件的地震作用效应（内力和变形）地震作用效应与其他荷载效应的组合验算结构和构件的承载力和变形计算原则2.1结构抗震计算的基本步骤三水准目标：“小震不坏，中震可修，大震不倒”第一阶段设计采用多遇地震（小震）的地震影响系数（或地震加速度峰值）以弹性反应谱理论为基础、时程分析法为补充进行结构弹性地震反应分析根据荷载组合效应采用静力设计规范的方法进行截面抗震验算（强度验算）多遇地震作用下结构的弹性变形验算计算原则2.1结构抗震计算的基本步骤三水准目标：“小震不坏，中震可修，大震不倒”第二阶段设计采用罕遇地震（大震）的地震影响系数（或地震加速度峰值）以时程分析法为基础，静力弹塑性方法为补充进行结构弹塑性地震反应分析罕遇地震作用下结构薄弱层（部位）的弹塑性变形验算计算原则2.1各类建筑结构的地震作用一般情况下，应至少在建筑结构的两个主轴方向分别计算水平地震作用并进行抗震验算，各方向的水平地震作用应由该方向抗侧力构件承担；有斜交抗侧力构件的结构，当相交角度大于15度时，应分别计算各抗侧力构件方向的水平地震作用——最不利方向的抗震计算；质量和刚度分布明显不对称的结构，应计入双向水平地震作用下的扭转影响；其他情况，应允许采用调整地震作用效应的方法计入扭转影响。

8度和9度时的大跨度结构、长悬臂结构，9度时的高层建筑，应计算竖向地震作用。计算原则2.1各类建筑结构的抗震计算高度不超过40m的，以剪切变形为主且质量和刚度沿高度分布比较均匀的结构，以及近似于单质点体系的结构，宜采用底部剪力法等简化方法；除上款外的建筑结构，宜采用振型分解反应谱法；特别不规则的建筑、甲类建筑和超过规范规定高度的高层建筑，应采用时程分析法进行多遇地震作用下的补充计算。计算原则2.1各类建筑结构的抗震计算建筑结构平面的扭转不规则示例计算原则2.1各类建筑结结构的抗震震计算建筑结构平平面的凹角角或凸角不不规则示例例计算原则2.1各类建筑结结构的抗震震计算建筑筑结结构构平平面面的的局局部部不不连连续续性性示示例例计算算原原则则2.1各类类建建筑筑结结构构的的抗抗震震计计算算沿竖竖向向的的侧侧向向刚刚度度不不规规则则（（有有柔柔弱弱层层））计算算原原则则2.1各类类建建筑筑结结构构的的抗抗震震计计算算竖向向抗抗侧侧力力构构件件不不连连续续示示例例楼层层承承载载力力突突变变（（有有薄薄弱弱层层））计算算原原则则2.1地基基与与结结构构相相互互作作用用的的影影响响由于于地地基基与与结结构构动动力力相相互互作作用用的的影影响响，，按按刚刚性性地地基基分分析析的的建建筑筑结结构构水水平平地地震震作作用用在在一一定定范范围围内内有有明明显显的的折折减减。。适用用范范围围：：8度和和9度时时建建造造于于Ⅲ、Ⅳ类场场地地，，采采用用箱箱基基、、刚刚性性较较好好的的筏筏基基和和桩桩箱箱联联合合基基础础的的钢钢筋筋混混凝凝土土高高层层建建筑筑，，当当结结构构基基本本自自振振周周期期处处于于特特征征周周期期的的1.2倍至至5倍范范围围时时，，对对刚刚性性地地基基假假定定计计算算的的水水平平地地震震剪剪力力可可按按规规定定折折减减，，其其层层间间变变形形可可按按折折减减后后的的楼楼层层剪剪力力计计算算。。折减减后后各各楼楼层层的的水水平平地地震震剪剪力力应应满满足足楼层层水水平平地地震震剪剪力力最最小小值值的要要求求。。计算算原原则则2.1结构构楼楼层层水水平平地地震震剪剪力力的的分分配配现浇浇和和装装配配整整体体式式钢钢筋筋砼砼楼楼、、屋屋盖盖等等刚刚性性楼楼盖盖建建筑筑，，按按抗抗侧侧力力构构件件等等效效刚刚度度的的比比例例分分配配；；木楼楼盖盖、、木木屋屋盖盖等等柔柔性性楼楼盖盖建建筑筑，，宜宜按按抗抗侧侧力力构构件件从从属属面面积积上上重重力力荷荷载载代代表表值值的的比比例例分分配配；；普通的预制装装配式钢筋混混凝土半刚性性楼、屋盖的的建筑，可取取上述两种分分配法结果的的平均值；考虑空间作用用、楼盖变形形、墙体弹塑塑性变形和扭扭转的影响时时，适当调整整。计算原则2.1结构抗震验算算的基本原则则6度时的建筑（（建造于IV类场地上较高高的高层建筑筑除外），以以及生土房屋屋和木结构房房屋等，应允许不进行行截面抗震验验算，但应符合有有关的抗震措措施要求；6度时建造于IV类场地上较高高的高层建筑筑，7度和7度以上的建筑筑结构，应进行多遇地地震作用下的的截面抗震验验算；对于钢筋混凝凝土框架、框框架-抗震墙、板柱柱-抗震墙、框架架-核心筒、抗震震墙、筒中筒筒、框支层结结构和多、高高层钢结构，，除应进行多遇地地震作用下的的截面抗震验验算外，尚应进行罕遇地地震作用下的的变形验算。计算原则2.1结构抗震验算算的基本原则则《抗震规范》规定，以下结结构应进行罕罕遇地震下的的弹塑性变形形验算：8度III、IV类场地和9度时，高大的的单层钢筋混混凝土柱厂房房的横向排架架7～9度时楼层屈服服强度系数小小于0.5的钢筋混凝土土框架结构高度大于150m的钢结构甲类建筑和9度时乙类建筑筑中钢筋混凝凝土结构和钢钢结构采用隔震和消消能减震设计计的结构应进行弹塑性变变形验算的结结构计算原则2.1结构抗震验算算的基本原则则《抗震规范》规定，以下结结构宜进行罕罕遇地震下的的弹塑性变形形验算：规范规定的高高度范围且属属于规范规定定的竖向不规规则类型的高高层建筑结构构7度III、IV类场地和8度时乙类建筑筑中钢筋混凝凝土结构和钢钢结构板柱-抗震墙结构和和底部框架砖砖房高度不大于150m的钢结构宜进行弹塑性变变形验算的结结构计算原则2.1结构抗震验算算的基本原则则《抗震规范》规定，罕遇地地震下的弹塑塑性变形验算算可采用下列列方法：不超过12层且层刚度无无突变的钢筋筋混凝土框架架结构、单层层钢筋混凝土土柱厂房可采采用简化计算方法法；除上款以外的的建筑结构，，可采用静力弹塑性方方法或弹塑性性时程分析法法等；规则结构可采采用弯剪层模型或或平面杆系模模型，属于规范规规定的不规则则结构应采用用空间结构模型型。弹塑性变形验验算的计算方方法计算原则2.122结构抗震计算算2.1计算原则2.2地震作用2.3设计反应谱2.4振型分解反应应谱法2.5底部剪力法2.6结构竖向地震震作用2.7结构抗震验算算单自由度弹性性体系在地震震作用下的运运动方程单自由度弹性性体系的定义义：单质点弹性体体系单向振动体系系地震作用2.2单自由度弹性性体系的定义义：单质点弹性体体系：将结构构参与振动的的全部质量集集中于一一点，，用无质量的的弹性直杆支支承于地面上上的体系；单向振动体系系单自由度弹性性体系在地震震作用下的运运动方程地震作用2.2单自由度弹性性体系在地震震作用下的运运动方程单自由度弹性性体系的定义义：单质点弹性体体系：将结构构参与振动的的全部质量集集中于一一点，，用无质量的的弹性直杆支支承于地面上上的体系；单向振动体系系：当一个单单质点体系只只作单向振动动时，形成一一个单自由度度体系。地震作用2.2单自由度弹性性体系在地震震作用下的运运动方程地震作用2.2多自由度弹性性体系ii+1m1m2mimn多层房屋多自由度体系系单自由度弹性性体系在地震震作用下的运运动方程结构动力学回回顾：单自由由度弹性体系系的运动方程程荷载激励地震作用2.2单自由度弹性性体系在地震震作用下的运运动方程结构动力学回回顾：单自由由度弹性体系系的运动方程程弹性恢复力：：阻尼力：惯性力:干扰力:运动方程（达达朗贝尔原理理）：地震作用2.2单自由度弹性性体系在地震震作用下的运运动方程地面运动地震作用2.2单自由度弹性性体系在地震震作用下的运运动方程弹性恢复力：：阻尼力：惯性力:运动方程（达达朗贝尔原理理）：地震作用2.2单自由度弹性性体系在地震震作用下的运运动方程运动方程的简简化：引入圆频率ω（自振周期T）和阻尼比ξ牢记结构动力力特性（自振振周期和阻尼尼比）是结构构的固有属性性；牢记圆频率ω、自振周期T和自振频率f的换算公式。。地震作用2.2结构地震反应应：地震作用引引起的结构动动力响应，包包括结构质点的位移、、速度与加速速度以及结构内力力、变形、位位移等。单自由度弹性性体系的运动动方程：一部分是与方方程相对应的的齐次方程的的通解，另一一部分是方程程的特解。前者代表体系系的自由振动动，后者代表表体系在地震震作用下的强强迫振动。单自由度弹性性体系的地震震反应分析地震作用2.2齐次方程的通通解——自由振动t=0时，体系的初初始位移t=0时，体系的初初始速度为有阻尼单自自由度弹性体体系的圆频率率。阻尼比ξ=0.05，。。当ξ=1,则体系不产生生振动，此时时ξ称为临界阻尼尼比。单自由度弹性性体系的地震震反应分析地震作用2.2无阻尼自由振振动时的振幅幅不变，而有有阻尼体系自自由振动的振振幅随时间的的增加而减小小，且体系的的阻尼越大，，其振幅的衰衰减就越快。。钢结构阻尼比比为0.02，钢筋混凝土土结构阻尼比比为0.05。单自由度弹性性体系的地震震反应分析地震作用2.2单自由度弹性性体系的地震震反应分析齐次方程的特特解——地震作用下的的强迫振动原理：将地面面运动分解为为无穷多个连连续作用的脉脉冲运动，计计算任意时刻刻的地面运动动引起的体系系脉冲反应，，则体系在任任意t时刻的地震反反应可由0~t时段所有地面面运动脉冲反反应的叠加求求得，称为杜哈曼（Duhamel）积分。地震作用2.2单自由度弹性性体系的地震震反应分析地震作用2.2单自由度弹性性体系的地震震反应分析结构位移地震震反应＝自由由振动＋强迫迫振动地震发生前体体系处于静止止状态，初位位移和初速度度均为0。单自由度弹性性体系的位移移地震反应：：地震作用2.2单自由度弹性性体系的地震震反应分析最大相对位移移反应：最大相对速度度反应：最大绝绝对加加速度度反应应：最大反反应之之间的的关系系：意义：：在地地面运运动确确定后后，最最大地地震反反应仅仅由结结构自自振周周期T（圆频频率ω）和阻阻尼比比ξ决定。。地震作作用2.2单自由由度弹弹性体体系的的水平平地震震作用用地震作作用与与一般般荷载载不同同，并并无直直接的的地震震荷载载施加加在结结构上上。通通常将将地面面运动动引起起的惯惯性力力称为为地震震作用用，，并且且地震震作用用与结结构质质量（（大小小和分分布））密切切相关关。地震作作用：：√×地震荷荷载：：地震作作用2.2单自由由度弹弹性体体系的的水平平地震震作用用水平地地震作作用：：注意到到物体体振动动的一一般规规律为为：加加速度度最大大时，，速度度最小小（））意义：：①地地震时时结构构所受受到的的最大大水平平基底底剪力力近似似等于于水平平地震震作用用；②求求得水水平地地震作作用后后，可可以按按静力力分析析方法法近似似计算算结构构的最最大位位移反反应。。地震作作用2.2重力荷荷载代代表值值的确确定结构抗抗震设设计时时所考考虑的的重力力荷载载，称称为重重力荷荷载代代表值值。重重力荷荷载分分为恒恒载（（自重重）和和活载载（可可变荷荷载））两种种。地地震发发生时时的活活载水水平一一般小小于标标准值值，采采用组合值值系数数考虑活活载的的折减减。《抗震规规范》规定：：回顾：：荷载载的标标准值值是指指其在在结构构的使使用期期间内内可能能出现现的最最大荷荷载值值。地震作作用2.2重力荷荷载代代表值值的确确定地震作作用2.2可变荷载种类组合值系数雪荷载0.5屋面积灰荷载0.5屋面活荷载不计入按实际情况计算的楼面活荷载1.0按等效均布荷载计算的楼面活荷载藏书库、档案馆0.8其它民用建筑0.5吊车悬吊物重力硬钩吊车0.3软钩吊车不计入地震反反应谱谱的计计算反应谱谱的定定义：：单自自由度度弹性性体系系在给给定地地面运运动、、给定定结构构阻尼尼比的的情况况下某某个最最大反反应量量(相对位位移、、相对对速度度和绝绝对加加速度度）与与体系系自振振周期期的关关系曲曲线。。在地面面运动动确确定定后，，最大大地震震反应应仅由由结构构自振振周期期T（圆频频率ω）和阻阻尼比比ξ决定定。。设计计反反应应谱谱2.3反应应谱谱的的计计算算：：首首先先确确定定地地面面运运动动和和阻阻尼尼比比，，然然后后计计算算不不同同自自振振周周期期T时的的结结构构最最大大地地震震反反应应，，并并绘绘制制曲曲线线。。因因此此，，影影响响地地震震反反应应谱谱的的因因素素有有两两个个：：体体系系阻阻尼尼比比和和地地震震动动。。Elcentro1940（N-S）地震震记记录录地震震反反应应谱谱的的计计算算设计计反反应应谱谱2.3地震震反反应应谱谱的的计计算算设计计反反应应谱谱2.3相对对位位移移反反应应谱谱地震震反反应应谱谱的的计计算算设计计反反应应谱谱2.3相对对速速度度反反应应谱谱地震震反反应应谱谱的的计计算算设计计反反应应谱谱2.3绝对对加加速速度度反反应应谱谱地震震反反应应谱谱的的计计算算设计计反反应应谱谱2.3地震震反反应应谱谱的的计计算算（a）卓越周期T0=0.5s（b）卓越周期T0=1.5s地面面运运动动加加速速度度峰峰值值A为0.70m/s2、卓卓越越周周期期T0分别别为为0.5s和1.5s、结结构构阻阻尼尼比比为0.05时的的加加速速度度反反应应谱谱Sa(T)设计计反反应应谱谱2.3地震震反反应应谱谱的的特特点点一般般体体系系阻阻尼尼比比越越小小，，体体系系的的地地震震反反应应越越大大，，相相应应的的反反应应谱谱值值越越大大。。不不太太大大的的阻阻尼尼比比即即可可将将反反应应谱谱的的峰峰值值减减小小很很多多。。对于于加加速速度度反反应应谱谱，，当当结结构构周周期期小小于于某某个个值值时时，，幅幅值值随随周周期期急急剧剧增增大大，，大大于于某某个个值值时时，，幅幅值值快快速速下下降降，，当当周周期期较较长长时时，，谱谱值值下下降降缓缓慢慢。。设计计反反应应谱谱2.3地震震反反应应谱谱的的特特点点对于于速速度度反反应应谱谱，，当当结结构构周周期期小小于于某某个个值值时时幅幅值值随随周周期期增增大大，，随随后后则则趋趋于于常常值值。。对于于位位移移反反应应谱谱，，幅幅值值随随周周期期增增大大。。设计计反反应应谱谱2.3地震震反反应应谱谱的的特特点点结构构的的最最大大地地震震反反应应：：对对于于高高频频结结构构（（低低周周期期结结构构））主主要要取取决决于于地地面面运运动动最最大大加加速速度度；；对对于于中中频频结结构构主主要要取取决决于于地地面面运运动动最最大大速速度度；；对对于于低低频频结结构构（（长长周周期期结结构构））主主要要取取决决于于地地面面运运动动最最大大位位移移。。意义义：：目目前前结结构构地地震震反反应应计计算算是是基基于于加加速速度度反反应应谱谱进进行行的的。。由由于于加加速速度度反反应应谱谱在在长长周周期期段段下下降降较较快快，，对对于于基基本本周周期期较较大大的的结结构构，，由由此此计计算算所所得得的的地地震震作作用用效效应应可可能能太太小小。。而而对对于于长长周周期期结结构构，，地地面面运运动动速速度度和和位位移移可可能能对对结结构构的的破破坏坏具具有有更更大大的的影影响响。。因因此此，，需需要要对对长长周周期期结结构构的的抗抗震震计计算算与与设设计计进进行行必必要要的的调调整整。。设计计反反应应谱谱2.3设计计反反应应谱谱抗震震设设计计时时单单自自由由度度体体系系的的水水平平地地震震作作用用：：地震反应应谱除受受体系阻阻尼比的的影响外外，受到到地震动动的振幅幅和频谱谱特性等等影响。。不同的的地震动动记录，，地震反反应谱也也不同。。因此，，需要可可供结构构抗震设设计的加加速度反反应谱。。称为设设计反应应谱。设计反应应谱2.3设计反应应谱地震系数数k：。通过地地震系数数将地震震动振幅幅对地震震反应谱谱的影响响分离出出来。一一般，地地面运动动加速度度峰值越越大，地地震烈度度越大，，即地震震系数与与基本烈烈度之间间有一定定的对应应关系，，而与结结构自身身特性无无关。设计反应应谱2.3基本烈度6789地震系数k0.050.100.200.40设计反应应谱动力系数数β(T)：，即体系系最大加加速度反反应与地地面最大大加速度度之比。。β(T)实质为规规则化的的地震反反应谱，，反映了了地震动动频谱的的影响。。为此，，将不同同地震动动按照场场地、震震中距进进行分类类，计算算每一类类地震动动动力系系数的平平均值，，并且进进行了统统计处理理，从而而形成可可供抗震震设计用用的动力力系数谱谱曲线。。设计反应应谱2.3设计反应应谱动力系数数谱β(T)曲线动力系数数谱曲线线实质上上是地震震反应谱谱曲线。。βmax=2.25；β0=1。设计反应应谱2.3设计反应应谱水平地震震影响系系数应根根据设防防烈度、、场地类类别、设设计地震震分组和和结构自自振周期期以及阻阻尼比确确定。α(T)=kβ(T)：水平地地震影响响系数。。设计反应应谱2.3设计反应应谱《抗震规范范》规定的地地震影响响系数曲曲线直线上升升段；水水平段；；曲线下下降段；；直线下下降段。。αmax—水平地震震影响系系数最大大值；Tg—特征周期期；T—结构自振振周期。。设计反应应谱2.3设计反应应谱设计反应应谱2.3设计地震分组场地类别I0I1IIIIIIV第一组0.200.250.350.450.65第二组0.250.300.400.550.75第三组0.300.350.450.650.90特征周期期不仅与与场地类类别有关关，而且且还与设设计地震震分组有有关，可可更好地地反映震震级大小小、震中中距和场场地条件件的影响响。注意意：为了了适当提提高结构构的抗震震安全度度，罕遇地震震作用时时，设计计特征周周期延长长0.05s。设计反应应谱水平地震震影响系系数最大大值建筑抗震震采用两两阶段设设计，第第一阶段段采用多多遇地震震烈度，，其k值相当于于基本烈烈度对应应k值（教材材P.33表2-8）的1/3。第二阶阶段采用用罕遇地地震烈度度，其k值相当于于基本烈烈度对应应k值的1.5~2倍（烈度度越高，，k值越小））。见教材P.33表2-10。设计反应应谱2.3设计反应应谱设计反应应谱2.3设计反应应谱——例题例题：单单层单跨跨框架。。屋盖刚刚度为无无穷大，，质量集集中于屋屋盖处。。已知设设防烈度度为8度(0.20g)，设计地地震分组组为二组组，Ⅰ1类场地；；屋盖处处的重力力荷载代代表值G=700kN，框架柱柱线刚度度ic=2.6×104kN·m，阻尼比比为0.05。试求该该结构多多遇地震震和罕遇遇地震时时的水平平地震作作用。（1）求结构构体系的的自振周周期（2）计算多多遇地震震作用（3）计算罕罕遇地震震作用设计反应应谱2.3设计反应应谱——例题解：（1）求结构构体系的的自振周周期侧移刚度度为：质量为：：自振周期期为：（2）计算多多遇水平平地震作作用查表得：：；；阻尼比为为0.05：；；；；设计反应谱谱2.3设计反应谱谱——例题（2）计算多遇遇水平地震震作用计算多遇地地震下的水水平地震影影响系数：：计算多遇水水平地震作作用：（3）计算罕遇遇水平地震震作用罕遇地震作作用下：；；阻尼比为0.05：；；；；设计反应谱谱2.3设计反应谱谱——例题（3）计算罕遇遇地震作用用计算罕遇地地震下的水水平地震影影响系数：：计算罕遇水水平地震作作用：设计反应谱谱2.3工程结构抗抗震与防灾灾东南大学土土木学院·国家精品课课程22结构抗震计计算2.1计算原则2.2地震作用2.3设计反应谱谱2.4振型分解反反应谱法2.5底部剪力法法2.6结构竖向地地震作用2.7结构抗震验验算大多数结构构物都应简简化为多质质点体系分分析。而振型分解解反应谱法法是线弹性体系系地震反应的的基本方法。基本概念与与步骤：假定建筑结结构是线弹弹性多自由由度体系；；利用振型分分解，变为为求解n个独立的等等效单自由由度弹性体体系的最大大地震反应应，从而求得得每一振型型的作用效应应；按SRSS或CQC法则进行作作用效应组组合。振型分解法法只需考虑虑前几阶振振型减减小小计算量2.4振型分解反反应谱法一、不考虑虑扭转影响响时结构的的地震作用用和和作用用效应对大多数质质量和刚度度分布比较较均匀和对对称的结构不不需要考虑虑水平地震震作用下的扭转影响响，可在建建筑物的两两个主轴方方向分别考虑水水平地震作作用进行验验算。2.4振型分解反反应谱法1.多自由度弹弹性体系的的运动方程程图2-12多自由度弹弹性体系位位移2.4振型分解反反应谱法在n个质点即n个自由度的的弹性体系系：[M]—质量矩阵，，一般采用用集中质量量阵形式：：[K]—刚度矩阵，，n×n阶矩阵，如如果只考虑虑层间剪切变形的的层间剪切切结构，[K]为三对角矩矩阵；（2-42）（2-43）振型分解反反应谱法2.4[C]—阻尼矩阵；；[C]=α[M]+β[K]—瑞利阻尼形形式（2-46）其中α、β由ω1、ω2、、确定；[I]—单位列向量量。2．多自由度度弹性体系系的自由振振动将式（2-42）略去阻尼尼项和右端端项，振动动方程：（2-49）2.4振型分解反反应谱法设（2-49）式的解为为：—振动幅值向向量即振型型，不随时时间而变；；其中：—初相角。（2-50）（2-51）2.4振型分解反反应谱法为了体系振振动，必必须是是非零解，，则：该方程的n个根、即是体系的的n个自振频率率，一般有有：则n个自振周期期：将所求的依依次代代回式（2-52），可得到到与之相对对应的，，即为为振型。(2-52)(2-53)2.4振型分解反反应谱法一个两自由由度体系，，体系的自自由振动方方程为(即式(2-52))：频率方程(即式(2-53))(2-57)(2-58)可解出、、，，将之带回回(2-52)式2.4振型分解反反应谱法式（2-57）是齐次方方程组，两两个方程线线性相关当当，，代代入只只能得到各各向量之间间的比值：：第一振型：：第二振型：：每一振型的的幅值之比比都是常数数，不随时时间而变。。(2-59)(2-60)2.4振型分解反反应谱法3．振型的正正交性(1)振型关于质质量矩阵的的正交性矩阵表达式式：(2-61)式(2-61)是根据功的互等定定理推导而来，，式中、、分分别为体体系第、、振振型型的振幅向向量。物理意义：：某一振型在在振动过程程中所引起起的惯性力力不在其它振型上上作功，说说明某一个个振型的动动能不会转移到其它它振型上去去，也就是是体系按某某一振型作自由振动动时不会激激起该体系系其它振型型的振动。。2.4振型分解反反应谱法(2)振型关于刚刚度矩阵的的正交性矩阵表达式式：(2-68)再根据式(2-61)即可推得。。物理意义：：该体系按k振型振动引引起得弹性性恢复力在在j振型位移所作作的功之和和等于零，，也即体系系按某一振型型振动动时，，它的的势能能不会会转移移到其其它振型上上去。。其中2.4振型分分解反反应谱谱法(3)振型关关于阻阻尼矩矩阵的的正交交性令：[C]=α[M]+β[K]则有：：当j=k时，j振型的的广义义阻尼尼为：：（2-72）（2-73）2.4振型分分解反反应谱谱法例题2-3已知某某两个个质点点的弹弹性体体系（（如图图2-13），其结构构参数数为：：验算质量矩矩阵和和刚度度矩阵阵的正正交性性。图2-13两质点点弹性性体系系的振振型（a）两质质点弹弹性体体系；；(b)第一振振型；；(c)第二振振型(a)(c)(b)2.4振型分分解反反应谱谱法质量矩矩阵和和刚度度矩阵阵分别为为：第一振振型和和第二二振型型分别为为：2.4振型分分解反反应谱谱法解：（（1）验算振振型关关于质质量矩矩阵的的正交交性由式（（2-61）得：（2）验算振振型关关于刚刚度矩矩阵的的正交交性由式（（2-68）得：：2.4振型分分解反反应谱谱法4.振型分分解n个自由由度的的弹性性体系系具有有n个独立立振型型。例如：：3个自由由度体体系。。Xji:j振型i自由度度的相相对位位移。。2.4振型分分解反反应谱谱法按照振振型叠叠加原原理，，弹性性结构构体系系中每每一个个自由度度在振振动过过程中中的位位移可可以以表示示为：：式中：：为为j振型的的广义义坐标标，即即以振振型作作为坐标系系的位位移值值。(2-41)(2-76)T3×3振型分分解反反应谱谱法2.4整个结结构体体系的的位移移列向向量、、速度度列向向量和和加速速度列列向量量可分分别表表示为为:(2-42a)(2-42b)(2-42c)n×n(2-78)(2-79)(2-80)2.4振型分分解反反应谱谱法5.计算水水平地地震作作用的的振型型分解解反应应谱法法地震作作用下下的运运动微微分方方程为为：(2-81)将(2-78)、(2-79)、(2-80)式代入入上式式并对对方程程两端端左乘乘得得：：2.4振型分分解反反应谱谱法利用正正交性性，对对式(2-82)化简，，展开开后可可得n个独立立的二二阶微微分方方程，，对于于第j振型有有：(2-43)(2-82)(2-83)2.4振型分分解反反应谱谱法其中：：广义质质量：：广义阻阻尼：：广义刚刚度：：则有：：(2-45)(2-84)2.4振型分分解反反应谱谱法仿照单单自由由度体体系，，、、和和的的关系系：其中，，表表示第第j振型的的阻尼尼的圆圆频率率。将上式式代入入式(2-83)，并用用j振型的的广义义质量量除等式式的两两端，，得：：(2-85)(2-86)2.4振型型分分解解反反应应谱谱法法其中中：：表表示示j振型型参参与与系系数数(很重重要要)，表表示示第第i振型型对对结结构构总总响响应应贡贡献献的的大大小小。。分析析式式(2-86)：相相当当于于单单自自由由度度弹弹性性体体系系的的运动动方方程程，，区区别别在在于于：：广义义坐坐标标作作为为未未知知量量而而不不是是；；方程程右右端端项项多多了了个个，，经经过过坐坐标标变变换换将将n自由由度度弹弹性性体体系系的的运运动动方方程程进进行行解解耦耦。。2.4振型型分分解解反反应应谱谱法法参照照单单自自由由度度体体系系，，Duhamel积分分，，方方程程(2-86)式的的解解为为：：为、、单单自自由由度度弹弹性性体体系系的的位位移移。。（2-88）2.4振型分解解反应谱谱法多自由度度弹性体体系i质点相对对于基础础的位移和加速速度为：：由结构力力学得：：（2-90）（2-91）（2-92）2.4振型分解解反应谱谱法第i自由度t时刻的水水平地震震作用Fi(t)=作用在i质点的惯惯性力：：则j振型i自由度的的水平作作用Fji(t)为：（2-93）（2-94）2.4振型分解解反应谱谱法其中：为为单自自由度体体系的是j振型自振振周期的地震影影响系数数。(2-96)2.4振型分解解反应谱谱法6.地震作用用效应有了Fji后计计算j振型水平平地震作用用产生的的作用效效应。对于层间间剪切结结构，j振型地震作用下下各楼层层水平地地震层间间剪力：(2-97)图2-15j振型水平平地震作作用2.4振型分解解反应谱谱法式(2-96)、(2-97)是整个地地震作用用过程中中各振型型作用效应应的最大大值。而最大值值并不出出现在同同一时刻刻，不能能简单叠叠加存在一个个各振型型作用效效应组合合问题。。《规范》规定了两两种组合合方法：：⑴平方和和开方SRSS；⑵完整的的二次项项组合法法(CQC法)。SRSS法适用范范围：⑴⑴平稳随随机过程程；⑵各振型型之间独独立。(2-98)2.4振型分解解反应谱谱法抗震验算算时，结结构任一一楼层的的水平地地震剪力力应符合合：——第层层对应应于水平平地震作作用标准准值的楼层剪剪力；——第层层的重重力荷载载代表值值（式（（2-32））——剪力系数数（表2-11）。竖向不规规则结构构薄弱层，，尚应乘乘以1.15增大系数数。(2-99)7.楼层水平平地震剪剪力最小小值2.4振型分分解反反应谱谱法例2-4.试用振振型分分解反反应谱谱法计计算如如图所所示的的三层层框架架，在在多遇遇地震震时的的层间间地震震剪力力。已知抗抗震设设防烈烈度为为8度，设设计地地震分分组为为第二二组，，Ⅱ类场地地，阻阻尼比比取0.05。图2-16三层框框架示示意2.4振型分分解反反应谱谱法解：（（1）求解结结构体体系的的周期期和振振型由矩阵阵迭代代法（（或雅雅可比比法））可计计算出出结构构体系的三三个自自振周周期和和振型型分别别为：：第一振振型第二振振型第三振振型2.4振型分分解反反应谱谱法（2）计算各各振型型的地地震影影响系系数查得多多遇地地震时时设防防烈度度为8度的查得Ⅱ类场地地、设设计地地震分分组为为第二二组当阻尼尼比时时，，第一振振型，，因，，所所以：：第二振振型第三振振型2.4振型分分解反反应谱谱法（3）计算各各振型型的参参与系系数由式（（2-86）计算算各振振型的的振型型参与与系数数第一振振型：：第二振振型：：2.4振型分分解反反应谱谱法(4)计算各各振型型各楼楼层的的水平平地震震作用用各振型型各楼楼层的的水平平地震震作用用由式式(2-96)计算：：第三振振型：：第一振振型：：2.4振型分分解反反应谱谱法第二振振型：第三振振型：：2.4振型分分解反反应谱谱法(5)计算各各振型型的层层间剪剪力（（式（（2-97））第一振振型：：2.4振型分分解反反应谱谱法第二振振型：：第三振振型：：（6）计算水水平地地震作作用效效应各层层层间剪剪力由由式（（2-98）计算算各层层层间间剪力力2.4振型分分解反反应谱谱法2.4振型分分解反反应谱谱法（7）验算各各层水水平地地震剪剪力由表2-11查得，，由式式(2-99)各层水水平地地震剪剪力最最小值值为各层Vi均大于于Vi,min图2-17各振型型的地地震剪剪力(kN)（a）第一一振型型地震震剪力力；（（b）第二二振型型地震震剪力力；（c）第三三振型型地震震剪力力和组组合后后各层层地震震剪力力(kN)2.4振型分分解反反应谱谱法规则结结构：：由于施施工、、使用用等原原因所所产生生的偶然偏心有有扭转现现象；规范规定：：规则结构不不进行扭转转耦联计算算时，平行于地震震作用方向向的两个边边榀，其地震作用用效应×增大系数：：(短边)×1.15(长边)×1.05扭转K小时乘数不不小于1.3二、估计计水平地震震作用扭转转影响的结构地震作作用和作用用效应2.4振型分解反反应谱法平面复杂、、不规则、、质量刚度度明显不均均匀、不对称的多多高层建筑筑大量出现现《规范》规定：应考虑水平平地震作用用下的扭转影响；；过去：“偏心矩法法”人为主观因因素较多，，物理概念念不明确。。《规范》：采用振型分解反反应谱法计算平移-扭转耦联的的多高层建建筑的水平地震作作用。2.4振型分解反反应谱法要解决以下下三个问题题：（1）求解平移移－扭转耦耦联体系的的自由振动动；（2）计算各振振型水平地地震作用标标准值的表表达式；（（3）各振型地地震作用效效应的组合合方法。2.4振型分解反反应谱法1．平移－扭扭转耦联体体系的自由由振动楼板自身平平面内绝对对刚性，平平面外刚度度忽略不计；；各榀抗侧力力结构(框架或剪力力墙)自身平面内刚度度很大，平平面外忽略略；所有构件不不考虑自身身的抗扭作作用；振动计算时时，将质量量(包括柱、墙墙的质量)集中到各层层楼板处。。基本假定：：2.4振型分解反反应谱法集中在每一一楼层的质质量有三个个自由度两个正交水水平移动和和一个转角角坐标原点一一般选在各各楼层的质质心处，如如图2-19所示，坐标标轴为一折折线形轴，，运动方程程：（2-100）图2-19计算简图2.4振型分解反反应谱法其中：为广义质量量阵（3n×3n）其中mi是第i楼层的质量量；其中：表表示第第i层质量对本本楼层质心心的转动惯量；a、b分别是本楼楼层的长短短边。（2-101）（2-102）（2-103）2.4振型分解反反应谱法[K]为广义侧移移刚度阵式（2-104）表明两个个平动之间间无耦联其中：为为平行于于X轴框架的榀榀数为平行于X轴第s榀框架的刚刚度矩阵（2-104）（2-105）（2-106）2.4振型分解反反应谱法其中：为为第i层第s榀X方向框架的的Y向坐标（2-107）图2-20第i层平面图2.4振型分解反反应谱法其中：为为第i层第r榀Y方向框架的的X向坐标（2-108）x（2-109）2.4振型分解反反应谱法[D]为广义位移移，且：—地面运动水水平加速度度时间历程程函数：为地面运动动加速度的的时间历程程；为地面运动动方向与x轴的夹角。。其中：（2-111）（2-110）2.4振型分解反反应谱法先求求解解平平动动－－扭扭转转耦耦联联体体系系的的自自由由振振动动：：结构构体体系系的的自自由由度度为为3n（n为结结构构的的层层数数）），，常常用用雅雅可可比比法法求求解解。。（2-112）2.4振型型分分解解反反应应谱谱法法2.结构构体体系系考考虑虑扭扭转转影影响响的的水水平平地地震震作作用用仍按按振振型型分分解解法法：：为振振型型矩矩阵阵。。（2-113）2.4振型型分分解解反反应应谱谱法法将式式(2-113)代入入运运动动方方程程（（2-100），，利用用振型型正正交交性性原原理理，，将方方程程（（2-100）分分解解成成为为3n个相相互互独独立立的的二二阶阶微微分分方方程程，，其其通通式式为为：：（2-114）2.4振型型分分解解反反应应谱谱法法经过过与与单单向向平平移移振振动动时时相相类类似似的的推推导导，，可以以得得到到考虑虑扭扭转转地地震震效效应应时j振型型i层的的水平平地地震震作作用用标标准准值值计计算算公公式式：：（2-115）2.4振型型分分解解反反应应谱谱法法当仅仅考考虑虑x方向向地地震震时时：：当仅仅考考虑虑与与x方向向斜斜交交的的地地震震时时：：其中中：：、、分分别别为为由由式式（（2-116）和和式式（（2-117）求求得得的的参参与与系系数数（2-116）（2-117）（2-118）当仅仅考考虑虑y方向向地地震震时时：：2.4振型型分分解解反反应应谱谱法法当仅仅考考虑虑x方向向地地震震时时：：3.考虑虑扭扭转转作作用用时时的的振振型型组组合合问问题题采用用用用振振型型分分解解反反应应谱谱法法，，用用式式（（2－115）计算算各各振振型型的的水水平平地地震震作作用用再再计计算算每每一一振型型水水平平地地震震作作用用产产生生的的作作用用效效应应各各效效应应按按一定定的的规规则则组组合合，，以以获获得得总总的的地地震震作作用用效效应应。。考虑虑扭扭转转影影响响时时体体系系振振动动的的特特点点：：自由由度度增增加加频频率率分分布布密密集集，，振振型型耦耦联联严严重重考虑虑振振型型之之间间的的相相关关性性；；扭转转分分量量的的影影响响不不一一定定随随高高振振型型而而衰衰减减增加加振振型型的的数数，，可可取取9～15个。。2.4振型型分分解解反反应应谱谱法法《规范范》规定定按按下下式式组组合合（（单单向向水水平平地地震震作用用的的扭扭转转效效应应））：：（2-119）（2-120）2.4振型型分分解解反反应应谱谱法法关于于：：当j=k时，，＝＝1，＝＝1完全全自自相相关关。。增增加加，，减减小小低低振振型型与与高高振振型型之之间间相相关关性性很很小小。。双向向水水平平地地震震作作用用时时扭扭转转效效应应，，取取max或、———分别别为为x、y单向向水水平平地地震震作作用用按按式(2－119)计算算的的扭扭转转效效应应。。（2-121）（2-122）2.4振型型分分解解反反应应谱谱法法22结构构抗抗震震计计算算2.1计算原则2.2地震作用2.3设计反应谱2.4振型分解反应应谱法2.5底部剪力法2.6结构竖向地震震作用2.7结构抗震验算算适用范围：当建筑物为高高度不超过40m，以剪切变形为主，质量量和刚度沿高高度分布比较较均匀的结构，结构构振动位移反反应往往以第第一振型为主，而且且第一振型接接近于直线。。底部剪力法2.5一、底部剪力力的计算根据式(2-96)、式（2-97），j振型结构总水水平地地震作用标准准值，即j振型的底部剪剪力为:G—结构的总重力力荷载代表值值，(2-123)底部剪力法2.5结构总的水平平地震作用(结构底部剪力力)为:式中：为高振型影响响系数:单自由度系，q=1无穷多质点，q=0.75，规范取为为0.85。(2-124)底部剪力法2.5式（2-124）改写为：式中：—结构底部剪力力标准值(总和)；—水平地震影响响系数；—结构等效总重重力荷载代表表值，单质点点应取总和，，多质点可取取0.85倍。思路：：j振型的的基底底剪力力标准准值(2-123)式SRSS组合(2-124)式简简化公公式(2-125)式。(2-125)底部剪剪力法法2.5二、各各质点点的水水平地地震作作用标标准值值的计计算图2-21水平地地震作作用下下结构构计算算(a)水平地地震作作用下下结构构计算算简图图(b)简化的的第一一振型型底部剪剪力法法2.5作用于于各质质点的的水平平地震震作用用Fi近似等等于F1i式中：：—质点水水平相相对位位移与与质点点计算算高度度的比例系系数；；—质点i的计算算高度度则结构构总水水平地地震作作用可可表示示为：：(2-126)(2-127)底部剪剪力法法2.5将式(2-126)和式(2-127)合并，，得：：则地震震作用用下各各楼层层水平平地震震层间间剪力力为：：(2-129)(2-130)底部剪剪力法法2.5三、顶顶部附附加地地震作作用的的计算算高振型型对结结构反反应的的影响响主要要在结结构上上部，，而且震震害经经验表表明：：某些些基本本周期期较长长的建筑上上部震震害较较为严严重《规范》规定：：T1>1.4Tg的建筑筑，取顶部部附加加水平平地震震作用用作作为为集中中的水平力力加在在结构构的顶顶部来来加以以修正正。底部剪剪力法法2.5式(2-129)改写成成：上式表表明：：总的FEk不变，，顶部部分担担，，还剩由由各层层分担担；当考虑虑了顶顶部附附加水水平地地震作作用时时，结构顶顶部的的水平平地震震作用用＝式式(2-132)+式(2-131)(2-131)(2-132)底部剪剪力法法2.5《规范》规定：：房屋顶顶部有有突出出小屋屋时地地震作作用计计算，，屋顶顶处的的地震震作用用效应应×3倍，但增大大的2倍不往往下传传递；；对于T1>1.4Tg的建筑筑并有有突出出小屋屋时，，按式式(2-131)计算的的顶部附附加水水平地地震作作用应应位于于主体体房屋屋的顶顶部，而不不应置置于局局部突突出小小屋的的屋顶顶处。。底部剪剪力法法2.5例题2-5.试用底底部剪剪力法法求例例2-4中三层层框架架的层层间地地震剪剪力。。已知结结构基基本自自振周周期，，其他他结构构参数数、地地震参参数和和场地地类别别与例例2-4相同。。解：（1）计算结结构等等效总总重力力荷载载代表表值（2）计算水水平地地震影影响系系数由例2-4得，底部剪剪力法法2.5因时时，则有：（3）用式（2-125）计算结结构总的的水平地地震作用标准值值底部剪力力法2.5（4）计算各层层的水平平地震作作用标准准值底部剪力力法2.5（5）用式（2-130）计算各各层层间间剪力底部剪力力法2.5图2-22楼层水平平地震剪剪力计算算图(a)楼层水平平地震作作用；(b)楼层地震震剪力22结构抗震震计算2.1计算原则则2.2地震作用用2.3设计反应应谱2.4振型分解解反应谱谱法2.5底部剪力力法2.6结构竖向向地震作作用2.7结构抗震震验算震害现象象表明,高烈度区区的竖向向地震地地面运动相当当可观，，此外，，与结构构形式也也有关。。《规范》规定：8、9度大跨度度结构、、长悬臂结构、、烟筒和和类似的的高耸结结构，9度时高层建筑应应考虑竖竖向作用用。结构竖向向地震作作用2.6各国规范范对竖向向地震作作用的计计算方法法：静力法，，取结构构或构件件重量的的百分数数作为竖竖向地震震作用，，考虑上上、下两两个方向向；反应谱方方法；；竖向地震震作用为为水平地地震作用用的百分分数。结构竖向向地震作作用2.6我国《规范》按结构类类型规定定了不不同种方方法：：1.高层建筑筑与高耸耸结构反应谱形形状采用用水平地地震，（地震影影响系数数）；②竖向地震震作用标标准值:第一振型型主要，，结构竖竖向自振振周期0.1～0.2s,处在的的范围内内。结构竖向向地震作作用2.6结构总竖竖向地震震作用标标准值：：—重力荷载载代表值值的75%。质点的i竖向地震震作用标标准值：③楼层各构构件的竖竖向地震震作用效效应，可可按各构构件承受的重重力荷载载代表值值的比例例分配。。（2-200）（2-199）结构竖向向地震作作用2.6竖向地震震地震作作用的计计算步骤骤：式(2-199)计算，即竖向向地震产产生的结结构底部部轴向力力；式(2-200)计算，实际是是按倒三三角分布；3)各楼层的的轴向力力：4)将按按该层各各竖向构构件（柱柱、墙等等）所承承受的重重力荷载载代表值值的比例例分配到到各竖向向构件，，并x增大系数数1.5。(2-201)结构竖向向地震作作用2.62.平板网架架屋盖和和大跨度度屋架结结构令：—第i杆件的竖竖向地震震作用的的内力；；—第i杆件重力力荷载作作用下的的内力。。大量实例例证明：：相差差不大，，可取；；与设防烈烈度和场场地类别别有关。。(2-202)结构竖向向地震作作用2.6《规范》规定：平板网架架和跨度度大于24m的屋架竖竖向地震震作用