八年级上数学教案材料资料

第十一章全等三角形11.1全等三角形教学设计思想：本节主要学习一些概念和性质，通过大量生活中的图形的观察，让学生体会一些概念，经历重叠图形等过程通过小组讨论总结出全等图形的特征。教学目标知识与技能通过实例表述全等图形的概念和特征，并能找出全等图形；能叙述全等三角形的定义及其相关概念，并能找出两个全等三角形的对应边和对应角；总结出全等三角形的性质，并能进行简单的推理和计算，解决一些实际问题。过程与方法通过全等三角形角有关概念的学习，提高对数学概念的辨析能力；经历找全等三角形的对应元素的过程，提高识图能力。情感态度价值观通过感受全等三角形的对应美激发热爱科学勇于探索的精神；把两个三角形变换其中一个的位置，使它们呈现各种不同位置，从中了解并体会图形变换的思想，逐步树立动态的研究几何图形的思想。教学重、难点重点：全等三角形的概念、性质。难点：对应边和对应角的确定。教学方法：启发式教学，学生探索为主课时安排：1课时教学过程设计（一）生活导入我们身边经常看到“一模一样”的图形，比如同一版面的记念邮票，同一版面的人民币、用两张纸叠在一起剪出的两张窗花等，请大家举出这类图形的例子。说明：通过一些生活中常见的图片，使学生感受到我们的生活中存在着大量相等的事物，引起学生的思考，激发学生的学习兴趣。让学生在举出实际例子以及对所举例子的辨析中获得对全等图形尽可能多的精确的感知。（二）新课问题1：几何中，我们把上述所例举的“一模一样”的图形叫做“全等形”，以下是描述全等形的三种不同的说法，你认为哪种说法是恰当的？（l）形状相同的两个图形叫全等形。（2）大小相等的两个图形叫全等形。（3）能够完全重合的两个图形叫全等形。总结概念：全等形（congruentfigures）：能够完全重合的两个图形。能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。做一做：请你用两张半透明的薄纸分别描出下中的两个三角形．然后把它们叠放在一起，观察这两个图形是否完全重合．（提高学生的动手能力和观察能力）结论：△ABC和△DEF完全重合，因此它们是全等的．全等的符号：≌，读作：全等于△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌DEF，读作：“三角形ABC全等于三角形DEF”思考在图11.1—1中，把△ABC沿直线BC平移，得到△DEF。在图11.1—2中，把△ABC沿直线BC翻折180°，得到△DBC。在图11.1—3中，把△ABC旋转180°，得到△AED。各图中的两个三角形全等吗？可以做两个三角形，根据题目中的要求，进行实际操作，通过讨论，总结出结论：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。把两个全等的三角形重合到一起。重合的顶点叫做对应顶点。重合的边叫做对应边。重合的角叫做对应角。例如，图11.1—1中的△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点，AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边，∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。思考图11.1—1中，△ABC≌△DEF，对应边有什么关系？对应角呢？小组讨论，得出全等三角形有这样的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。（三）练习课本4页的练习1、2。（四）补充练习：要求学生动手操作，将备用的二个三角形合在一起，完成下列变化，且说明：（1）是怎么得出的？（语言不要求很准确）（2）图中有哪些相等的边或相等的角？教师制作10块投影片，一边按（1）（2），（3），（1）（4），（1）（5），（5）（6），（6）（7），（7）（8），（8）（9），（9）（10）顺序投影，一边用实物作示范．学生可用兰三色将重叠在一起的三角形的对应边涂成色，辅助寻找对应边．[由学生动手操作、回答问题，逐步养成独的学习习惯，提高学生动脑、动手、动口的能力，识的相互联系、相互转化的观点．]（五）小结引导学生总结出本节的主要知识点。（六）板书设计全等三角形一些概念全等三角形的性质练习补充练习11.2.1三角形全等的判定教学设计思想经历三角形全等的条件的分析和画图验证等过程，体会两个三角形全等应有三个条件。通过大量的实践活动探索三角形全等的条件。通过不同的条件画出三角形来探索两个三角形全等的条件，这对总结出三角形全等的条件及其应用进行判定是十分必要的，也是非常重要的。最后通过例题来应用这些知识点。教学目标知识与技能能叙述三角形全等的条件，体会三角形的稳定性；能灵活地运用三角形全等的条件，进行有条理的思考和简单的推理，并能利用三角形的全等解决实际问题；提高动手能力。过程与方法经历探索三角形全等判定的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程。情感态度价值观体会数学与实际生活的联系。教学重、难点重点：三角形全等的判定条件。难点：利用三角形全等的条件解题。教学方法：小组讨论，学生探索为主课时安排：4课时教学过程设计（2）第一课时（一）复习提问1．怎样的两个三角形是全等三角形？2．全等三角形的性质？（二）SSS定理的得出给出任意两个三角形，有些是全等的，有些不是全等的，我们知道如果△ABC与△A′B′C′满足三条边对应相等，三个角对应相等，即AB=A′B′，BC=B′C′，CA=C′A′，∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′这六个条件，就能保证△ABC≌△A′B′C′。问同学们能不能找到一种方法，用较少的条件来判定两个三角形全等呢？下面就一起来找找这些条件。（板书课题：三角形全等的条件）。探究1先任意画出一个△ABC。再画一个△A′B′C′使△ABC与△A′B′C′满足上述六个条件中的一个或两个。你画出的△A′B′C′与△ABC一定全等吗？小组讨论下面问题1.在两个三角形中，有一个角对应相等，或一条边对应相等，这两个三角形是否一定全等？有两个角对应相等，或两条边对应相等，或一个角和一条边分别对应相等，情况怎样？有三个角对应相等的情况呢？2.用来判断两个三角形全等的条件，只有以下三种情况才有可能：三条边对应相等，或两条边和一个角分别对应相等，或两个角和一条边分别对应相等．你认为这种说法对吗？通过画图可以发现，满足上述六个条件中的一个或两个，△ABC与△A′B′C′不一定全等。满足上述六个条件中的三个，能保证△ABC与△A′B′C′全等吗？我们分情况进行讨论。探究2分小组活动：1.用一根长13cm的细铁丝，折成一个边长分别是3cm，4cm，6cm的三角形．把你做的三角形和同学做的三角形进行比较，它们能重合吗？2.用同一根细铁丝，余下1cm，用其余部分折成一个边长分别是3cm，4cm，5cm的三角形，再和同学做的三角形进行比较，它们能重合吗？3.不同小组用同一根细铁丝，任取一组能构成三角形的三边长的数据，和同桌同学分别按这些数据折三角形，折成的两个三角形能重合吗？4.先任意画出一个△ABC．再画一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，B′C′＝BC，C′A′＝CA．把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗?画一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，A′C′＝AC，B′C′＝BC：1．画线段B′C′=BC；2．分别以B′、C′为圆心，线段AB，AC为半径画弧，两弧交于点A′；3．连接线段A′B′，A′C′．师：通过咱们的试验，可以得出什么结论呢？生:只要三角形三边的长度确定，这个三角形的形状和大小就完全确定了．师总结定理：如果两个三角形的三边对应相等，那么这两个三角形全等．师：咱们试着把这句话压缩一下，用几个字概括，同学们认为什么最合适呢？生：边边边师：字母记做“SSS”三角形全等的表示：我们曾经做过这样的实验：将三根木条钉成一个三角形木架，这个三角形木架的形状、大小就不变了．就是说，三角形的三边确定了，这个三角形的形状、大小也就确定了．这里就用到上面的结论．用上面的结论可以判断两个三角形全等．判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．（三）例题例1如图11．2—3，△ABC是一个钢架，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架．求证△ABD≌△ACD。分析：要证△ABD≌△ACD，可看这两个三角形的三条边是否对应相等．证明：∵D是BC的中点，∴BD＝CD．在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SSS）．从例1可以看出，证明是由题设（已知）出发，经过一步步的推理，最后推出结论（求证）正确的过程．（四）思考已知AC＝FE，BC＝DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD＝FB（图11．2—4）．要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC＝FE，BC＝DE以外，还应该有什么条件?怎样才能得到这个条件?（五）练习工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合．过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线．为什么?（六）小结：引导学生总结出本节的主要知识点。（七）板书设计三角形全等的判定（一）定理例题练习第二课时（3）（一）探究31．学生分组活动：画一个三角形，使它的两条边长分别是1.5cm，2.5cm，其中一个角是30°画好后同桌两人讨论：两个三角形的两条边和其中一边的对角对应相等时，这两个三角形全等么？有的组说全等，有的组说不全等让各组派代表说说做法，比较有什么不同，老师总结，有三种做法（1）两条边长分别是1.5cm，2.5cm，并且长为1.5cm的这条边所对应的角是30°，这种做法得出的结论是：不全等（2）两条边长分别是1.5cm，2.5cm，并且长为2.5cm的这条边所对应的角是30°，这种做法得出的结论也是：不全等（3）两条边长分别是1.5cm，2.5cm，这两条边的夹角为30°，这样做出的两个三角形全等。提问：由刚才活动得出的结论，满足什么条件的两个三角形全等？2.将两边和它们的夹角的数据改换成另一组，再与同学一起按新数据画三角形．通过对所画三角形的比较，你能得出什么结论？3.先任意画出一个△ABC再画出一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，A′C′＝AC，∠A′＝∠A（即使有两边和它们的夹角对应相等）．把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗?画一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，A′C′＝AC，∠A′＝∠A：1．画∠DA′E＝∠A；2．在射线A′D上截取A′B′＝AB，在射线A′E上截取A′C′＝AC；3．连接B′C′．总结定理：如果两个三角形的两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等．这个事实可以简写为“边角边”或“SAS”.注：有上述活动，我们可以得出“边边角”无法判定两个三角形全等。（二）例题例2：如图11．2—6，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA．连接BC并延长到E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离．为什么?分析：如果能证明△ABC≌△DEC，就可以得出AB＝DE．在△ABC和△DEC中，CA＝CD，CB＝CE．如果能得出∠1＝∠2，△ABC和△DEC就全等了．证明：在△ABC和△DEC中，∴△ABC≌△DEC（SAS）。∴AB=DE。从例2可以看出：因为全等三角形的对应边相等，对应角相等，所以，证明分别属于两个三角形的线段相等或者角相等的问题，常常通过证明这两个三角形全等来解决．（三）探究4我们知道，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗?为什么？有探究3我们知道不一定全等。现在进一步来说明。我们可以通过画图回答，还可以通过实验回答。把一长一短两根细木棍的一端用螺钉铰合在一起，使长木棍的另一端与射线BC的端点B重合。适当调整好长木棍与射线BC所成的角后，固定住长木棍，把短木棍摆起来（图11．2—7）．图11.2—7中的△ABC与△ABD满足两边及其中一边对角相等的条件，但△ABC与△ABD不全等。这说明，有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。（四）练习：课本10页的练习（五）小结:引导学生总结出本节的主要知识点。（六）板书设计三角形全等的判定（二）定理例题练习第三课时（4）（一）问题的提出：类比着《边边边公理》和《边角边公理》即“三元素定三角形”，提出：如果两个三角形两边一个角分别对应相等，这两个三角形能不能全等？（二）探究5学生活动1.按照下面的步骤画三角形，使它的两个内角分别为35°和65°，并且这两个角的夹边的长为2.5cm。画好后小组交流，比较画出的三角形是否全等2．活动2：将两角和它们的夹边的数据改换成另一组，再与同学一起按新数据画三角形．通过对所画三角形的比较，你能得出什么结论？3.先任意画出一个△ABC。再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B（即使两角和它们的夹边对应相等）。把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B1．画A′B′=AB；2．在A′B′的同旁画∠DA′B′＝∠A，∠EB′A′＝∠B，A′D，B′E交于点C′．4．角边角定理：如果两个三角形的两个角和它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等．这个事实可以简写为“角边角”或“ASA”（三）探究6在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF（图11．2—9），△ABC与△DEF全等吗?能利用角边角条件证明你的结论吗?提示：如果两个三角形的两个角对应相等，那么它们的第三个角是什么关系？总结出结论：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）．（四）例题例3如图11．2—10，D在AB上，E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C．求证AD＝AE．分析：如果能证明△ACD≌△ABE，就可以得出AD＝AE．证明：在△ACD与△ABE中，∴△ACD≌△ABE（ASA）。∴AD=AE。（五）讨论:三角对应相等的两个三角形全等吗?（六）练习1．如图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC=CD，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长．为什么?2．如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠1＝∠2．求证AB=AD．（七）小结:三角形全等的判定方法做一个小结．（八）板书设计三角形全等的判定（三）定理例题练习小结第四课时（5）（一）引入新课前面我们学习了判定两个三角形全等的四种方法——SSS，SAS，ASA，AAS；我们也知道，“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等”。这些结论适用于所有的各类三角形。我们在三角形分类时，还学过了一些特殊三角形（如直角三角形）。特殊三角形全等的判定是否会有一般三角形不适用的特殊方法呢？我们知道：斜边和一对锐角相等的两个直角三角形，可以根据“AAS”判定它们全等；一对直角边和一对锐角相等的两个直角三角形，可以根据“ASA”或“AAS”判定它们全等；两对直角边相等的两个直角三角形，可以根据“SAS”判定它们全等。如果两个直角三角形的斜边和一对直角边相等（边边角），这两个三角形是否可能全等呢？（二）探究8任意画出一个Rt△ABC，使∠C＝90°．再画一个Rt△A′B′C′，使B′C′＝BC，A′B′＝AB．把画好的Rt△A′B′C′剪下，放到Rt△ABC上，它们全等吗?画一个Rt△A′B′C′，使B′C′＝BC，A′B′＝AB：1．画∠MC′N＝90°．2．在射线C′M上取B′C′＝BC。3．以B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于点A′．4．连接A′B′．图11．2—11给出了画Rt△A′B′C′的方法．探究8的结果反映了什么规律?我们容易看出探究8反映的规律是：斜边和—条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．（三）例题例4如图11．2—12，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD．求证BC＝AD．证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C与∠D都是直角．在Rt△ABC和Rt△BAD中，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）。∴BC=AD。（四）练习:课本14页的练习（五）小结:引导学生总结出本节的主要知识点。（六）板书设计三角形全等的判定（四）讨论定理例题练习11.3角的平分线的性质教学设计思想通过三角形的全等得出角的相等，从而得出作已知角的平分线的方法。通过折叠图形等的具体操作，来得出角的平分线的性质。再次利用三角形的全等来得出到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。通过例题和练习巩固这些知识点。教学目标知识与技能会作已知角的平分线，能熟练地说出角平分线的性质及判定；能运用角平分线的性质及判定证明两个角相等或两条线段相等。过程与方法经历画角的平分线的过程，提高画图能力；经历折叠图形的过程，分析折叠过程，总结出角的平分线的性质。情感态度价值观体会知识点之间的紧密联系。教学重、难点重点：①角平分线的性质及判定；②运用它们来证明两个角相等或两条线段相等。难点：运用角平分线的性质及判定证明两个角相等或两条线段相等。教学方法:小组讨论，学生探索为主课时安排2课时教学过程设计复习提问角平分线的定义？角平分线与三角形的角平分线有何区别？提问关于三角形全等的判定定理．新授（一）角的平分线的画法图13．3—l是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗?小组讨论1.∠DAC与∠BAC相等的依据是什么？2．如何做一个角的平分线？能否由以上的探究得出呢？通过小组讨论由上面的探究可以得出作已知角的平分线的方法．已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分线．作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N。（2）分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．（3）作射线OC．射线OC即为所求（图13．3—2）．练习平分平角∠AOB．通过上面的步骤得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD．直线CD与直线AB是什么关系?应用以上学到的画角的平分线的方法，来画出平角的角平分线（平角只是一种特殊的角），回顾线段的垂直平分线的定义。进而回答直线CD与直线AB的关系。（二）角的平分线的性质1.小组讨论（1）有一张剪好的角的纸片，怎样找这个角的平分线？（2）大家知道，只要把纸片对折，使角的两边叠合在一起，把纸片展开后的折痕就是这个角的平分线（如图1）．如果我们把对折的纸片继续折一次，然后把纸片展开，就会出现两条折痕（图2）中的PM和PN）．不难发现，这两条折痕的长相等，而且这种等长的折痕我们可以找出无数对，由此可见，角的平分线除了有平分角的性质，还有其他的性质，现在我们就来研究这个问题．2．角的平分线（1）上述折纸的实验，象图2中的等长折痕PM和PN，我们可以找到无数对，它们既有一般位置的，也有特殊位置的．比如，角平分线上的点到角两边的垂线就是特殊位置的等线段．你能用推理论证的方法说明“在角平分线上的点到这个角的两边距离相等”这一角平分线的重要性质吗？通过讨论我们得到角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。小组讨论1.在一个角的内部，除角平分线上的点以外，还能找到“到角的两边距离相离”的点吗？为什么？2.角平分线上，是否有“到角的两边距离不相等的点”呢？为什么？思考如图11．3—4，要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米．这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）?我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．小组讨论：到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢?利用三角形全等，可以得到角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上根据上述结论，就知道这个集贸市场应建于何处了．（三）例题例如图11．3—5，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P．求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足为D，E，F．∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD＝PE。．同理PE＝PF．∴PD＝PE＝PF．即点P到三边AB，BC，CA的距离相等．小组讨论：点P在∠A的平分线上吗?这说明三角形的三条角平分线有什么关系?（四）练习如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P．求证：点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等．（五）小结:引导学生总结本节的主要知识点。（六）板书设计角的平分线的性质角的平分线的画法角的平分线的性质例题练习小结与复习教学设计思想以小组讨论的形式通过学生的合作交流总结出本章的知识结构，然后回答出回顾与反思中的几个问题。最后通过一些配套练习巩固所学的知识点。教学目标知识与技能总结出三角形全等的条件及性质；能灵活地运用三角形全等的条件及性质，进行有条理的思考和简单的推理，并能利用三角形的全等解决实际问题；会作已知角的平分线，总结出角平分线的性质及判定，能运用角平分线的性质及判定证明两个角相等或两条线段相等。过程与方法以小组讨论的形式对本章的知识进行系统梳理，总结出本章的知识点。情感态度价值观体会数学与实际生活的联系。教学重点和难点重点是①三角形全等的条件、角的平分线的性质；②能利用①中的知识点解题。难点是能灵活运用三角形全等的条件及角的平分线的性质解题。教学方法:小组讨论法,以小组为单位，在总结讨论的基础上，使学生掌握本章的内容。课时安排:1课时教学过程设计一、知识结构二、回顾与思考1.举一些全等形的实际例子。全等三角形的对应边有什么关系？对应角呢？2.一个三角形有三条边，三个角。从中任选三个来判定两个三角形全等，哪些是能够判定的？哪些是不能够判定的？3.学习本章内容，可以解决一些实际问题，例如长度与角度的度量问题，就是从全等三角形对应边相等，对应角相等出发，设法形成满足全等条件的两个三角形，从而得到结果。4.学了本章，你对角的平分线有了哪些新的认识？你能用全等三角形证明角的平分线的性质吗？5.你能结合本章的有关问题，说一说证明一个结论的过程吗？三、例题1.如图11—1，AF=CE，DF=BE，DF∥BE，E、F在AC上。求证：∠DCF=∠BAE。解析因为∠BAE和∠DCF分别在△BAE和△DCF中，所以只需证明△DCF≌△BAE。答案因为DF∥BE，所以∠DFA=∠BEC。所以∠DFC=∠BEA（等角的补角相等）。因为CE=AF，所以CE－FE=AF－FE，即CF=AE。在△DCF和△BAE中，所以△DCF≌△BAE（SAS）。所以∠DCF=∠BAE（全等三角形的对应角相等）。方法规律：全等三角形是证明角相等的重要方法。2.如图11—3，RtABC中AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BD，且交BD的延长线于E，则BD与2CE有何关系？说明理由。解析解决此题的关键在于如何表示2CE，观察到∠1=∠2，BE⊥CE。若将CE和BA分别延长相交，可得全等三角形。2CE即可用其他线段表示出来，然后设法建立与BD的联系。答案BD=2CE。理由如下：延长CE交BA的延长线与F。在△BEF和△BEC中，所以△BEC≌△BEF（ASA）。所以CE=EF。所以CF=2CE。因为∠BAC=90°，所以∠1+∠F=∠F+∠FCA。所以∠1=∠FCA。在△BAD和△CAF中，所以△BAD≌△CAF（ASA）。所以BD=CF（全等三角形的对应边相等）。因为CF=2CE，所以BD=2CE。方法规律：全等三角形是研究线段间关系的重要工具。3．已知：如图11—6，AB∥CD，DE＝BF，AB＝CD．求证：AE∥CF．解析要证AE∥CF，只需证出∠E＝∠F，因此只要证得△ABE≌△CFD即可．答案因为DE=BF，所以DE－BD=BF－BD，即BE＝DF．因为AB∥DC，所以∠ABD=∠CDB．所以∠ABE＝∠CDF．在△ABE和△CFD中所以△ABE≌△CFD（SAS）．所以∠E=∠F，所以AE∥CF．方法规律：由平行线的判定条件知，全等三角形也是论证两条直线平行的重要方法．4.如图11—7，在△ABC中，AB=AC，∠BAC＝90°，D是BC上一点，EC⊥BC，EC＝BD，DF=FE，则AF与DE垂直吗?请说明理由．解析若AD＝AF，则可证△ADF≌△AEF，所以可得∠AFD＝∠AFE=90°．因此应设法证明AD＝AE。答案AF⊥DE成立，理由如下：因为AB＝AC，∠BAC＝90°，所以∠B＝∠ACB=45°．因为EC⊥BC，所以∠ECD=90°．所以∠ECA＝45°．所以∠ECA＝∠B。在△ABD和△AEC中，所以△ABD≌△AEC（SAS）．所以AD=AE．在△ADF和△AEF中，所以△ADF≌△AEF（SSS）．所以∠AFD=∠AFE＝90°．所以AF⊥DE．方法规律：全等三角形也是证明两条直线垂直的重要方法．5补充：在一次战役中，如图11—8所示，我军阵地与敌军阵地隔河相望，为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离．在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来这样一种方法：他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离．（1）你能解释其中的道理吗?（2）按这个战士的方法，找出教室或操场与你的距离相等的两个点，并通过测量加以验证．解析这个战士其实是应用了全等三角形的条件——“ASA”，如图13—9，△ABC≌△A′B′C′，则BC＝B′C′．答案（1）根据题意画出示意图11—9．由题意知，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′=90°，AB＝A′B′．所以△ABC≌△A′B′C′（ASA）所以BC＝B′C′．因此测出B′C′的长即为BC的长．（2）在具体操作时，可用一张纸或一本书代替帽檐，按照战士的方法，测一下教室或操场与观察者的距离，从而进一步检验战士做法的合理性．经验技巧：将实际问题转化为数学问题，建立数学模型——全等三角形。实际应用题是近几年中考命题的重点，平时应多训练，提高建模能力。四、小结：引导学生总结出本节的主要知识点。五、板书设计小结与复习知识结构回顾与反思例题图形的对称轴；说出轴对称图形与两个图形关于某条直线对称的区别与联系；探索轴对称的性质表述出对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；探索并总结出线段垂直平分线的性质，能运用其性质解答简单的几何问题。过程与方法：在丰富的现实情境中，经历观察生活中的轴对称现象，探索轴对称现象共同特征等活动，进一步发展空间观念，在自己的动手操作中体验轴对称的性质，在操作中注意观察、想像和提炼，要学会科学地表达思想。情感态度价值观：欣赏现实生活中的轴对称图形，体会轴对称在现实生活中的应泛运用和它的丰富文化价值。教学重点：认识轴对称，能够识别简单的轴对称图形、轴对称及其对称轴，并能作出轴对称图形和成轴对称的图形的对称轴。教学难点：探索并总结出线段垂直平分线的性质，能运用其性质解答简单的几何问题。课时安排：3课时教学过程：第一课时（9）（一）情景创设在生活中，许多事物与图形紧密联系在一起。现在老师给大家准备了一些生活中的常见的事物图案和标志，请大家观赏。（投影显示，播放ppt：利用轴对称设计图案素材）[教学说明：创设情景将生活中的对称图案和标志展示出来，引导学生将生活中的对称美牵引到数学中来]（二）探索研讨1．看一看，想一想细心观察一些日常生活中常见的动物图片如：蝴蝶、蜻蜓、对称简笔画等，能发现它们有什么共同特征？请同学们细心观察动画后，总结出轴对称图形的概念（投影显示）定义：如果一个图形沿着某条直线对折，对折后的两面部分能够完全重合，就称这样的图形为轴对称图形。这条直线叫做这个图形的对称轴。在我们的现实生活中有很多物体的平面图形是轴对称图形，你能举例说说吗？2．做一做（活动）将同学们准备好的一张纸对折后，用笔沿着折线画一条直线，然后从折叠处剪出一个你喜欢的图形，想一想，展开后会是一个什么样的图形？试着画出它的对称轴[教学说明：让同学们从动手实践中总结出结论：剪出来的图形关于折线对称]练习下面的图形是轴对称图形吗？如果是，你能指出它的对称轴吗？3．谈一谈观察课本30思考的三组图片：你发现这些图片由什么共同特征？总结：每组图片中都有两个图形，并且沿着一条直线对称后，这两个图形完全重合，我们就说这两个图形成轴对称，这两条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点（即对折后两图形中互相重合的点）叫做对称点。你能再举出一些生活中两个图形成轴对称的例子吗？练习课本31页下面给出的每幅图形中的两个图案是轴对称的吗？如果是，试着找出它们的对称轴，并找出一对对称点。4.小组讨论（1）结合教科书图形12.1—2和12.1—3进行比较，轴对称图形和两个图形成轴对称有什么区别吗？（2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称吗？成轴对称的两个图形全等吗？如果把两个轴对称图形看成一个整体，它是一个轴对称图形吗？学生根据两组图形比较观察，讨论交流，教师引导学生得出其区别。在本次活动中，教师应重点关注：学生在比较两个图形的区别时，是否明确轴对称图形表述的是一个具有特殊形状的图形，两个图形成轴对称表述的是两个图形的位置关系；5.成轴对称的两个图形全等吗？全等的两个图形一定成轴对称吗？为什么？学生独立思考后，再展开讨论，教师参与学生讨论，及时指导。6．练一练（1）游戏：三位同学起立，中间的同学作为对称轴，左边的同学做一个姿势，右边的同学也做一个姿势，使得左右两边成对称关系。（2）抢答：生活中不仅有些物体的形状是轴对称图形，我们所学的数字、字母和汉字中也有一些可以看成轴对称图形。例如：0，1，A，口，工等，请举例。看谁举的例子最多。（让学生到黑板上写）（三）小结：引导学生总结出本节的主要知识点。（四）板书设计轴对称（一）概念：轴对称图形、对称轴、两个图形成轴对称、垂直平分线练习第二课时（10）（一）轴对称的性质如图12.1—4，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′B′C′分别是点A、B、C的对称点，线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系？小组讨论1.图12.1—4种，点A、A′是什么关系？2.设AA′交对称轴MN于点P，将△ABC和△A′B′C′沿MN折叠后，点A与A′重合吗？于是有AP=PA′∠MPA=∠MPA′=90°。对于其他的对应点，如点B、B′，C、C′也有类似的情况。3.那么MN与A、A′，B、B′，C、C′的连线有什么关系呢？经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。这样，我们就得到图形轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。例如图12.1—5中，l垂直平分__________，l垂直平分__________，l垂直平分__________.（二）探究如图12.1—6，木条l与AB钉在一起，l垂直平分AB，P1，P2，P3，…是l上的点，分别量一量点P1，P2，P3，…到A与B的距离，你有什么发现？可以发现，点AB，P1，P2，P3，…到点A的距离与它们到点B的距离分别相等．如果把线段AB沿直线l对折，线段P1A与P1B、线段P2A与P2B、线段P3A与P3由此我们可以得出：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．播放课件：轴对称图形（二）利用判定两个三角形全等的方法，怎样证明这个结论呢?请同学们自己完成（参照图12．1—7）．小组讨论1.如果PA＝PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢?2.如图12．1—8，用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎样才能保持．射出箭的方向与木棒垂直呢?为什么?通过探究可以得到：与一条线段两个端点距离相等的点．在这条线段的垂直平分线上．从上面两个结论可以看出：在线段AB的垂直平分线l上的点与A、B的距离都相等；反过来，与两点A、B的距离相等的点都在l上，所以直线l可以看成与两点A、B的距离相等的所有点的集合．（三）练习1．如图，AD⊥BC，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上，AB、AC、CE的长度有什么关系?AB+BD与DE有什么关系?2．如图，AB=AC，MB=MC，直线AM是线段BC的垂直平分线吗?（四）小结：引导学生总结出本节的主要知识点。（五）板书设计轴对称（二）轴对称的性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．与一条线段两个端点距离相等的点．在这条线段的垂直平分线上．小结第三课时（11）（一）回顾轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。（二）思考有时我们感觉两个平面图形是轴对称的，如何验证呢?不折叠图形，你能比较准确地作出轴对称图形的对称轴吗?如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．（三）例题图12．1—9（1），点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗?分析：我们只要连接点A和点B，画出线段AB的垂直平分线，就可以得到点A和点B的对称轴．而由两点确定一条直线和线段垂直平分线的性质，只要作出到点A、B距离相等的两点即可．作法：如图12．1—9（2）．（1）分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧（想一想为什么），两弧相交于C、D两点；（2）作直线CD．CD即为所求的直线．这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图．我们也可以用这种方法确定线段的中点．同样，对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．例如，对于图12．1—10的五角星，我们可以找出它的一对应点A和A′，连接AA′，作出线段AA′的垂直平分线l，则l就是这个五角星的一条对称轴．类似地，你能作出这个五角星的其他对称轴吗?（四）练习：课本35页练习1、2、3（五）小结：总结出怎样作出轴对称图形的对称轴。（六）板书设计轴对称（三）回顾思考例题练习12.2轴对称变换教学设计教学设计思想第一课时①通过4个小活动归纳出轴对称变换的性质及定义；②通过例1得到作一个图形的轴对称图形的方法；③利用轴对称变换设计图案；④利用点的对称解决探究中的问题。第二课时①通过具体作出点的关于坐标轴的对称点的坐标来发现点与其关于坐标轴的对称点的坐标之间的关系。②通过例3得到作一个图形关于坐标轴对称的图形的方法；③通过探究来进一步学习了图形关于直线x=1和直线y=－1对称的图形。教学目标知识与技能：通过具体实例认识轴对称变换，探索它的基本性质和定义；能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；能利用轴对称变换进行图案设计；探索平面直角坐标系中的点关于x轴、y轴对称点的坐标的规律，并能运用这一规律写出平面直角坐标系中的点关于x轴、y轴对称的点的坐标；能利用坐标的变换规律在平面直角坐标系中作出一个图形的轴对称图形。过程与方法：经历轴对称变换的画图、观察、交流等活动理解其基本性质的定义；结合实例总结出点与其对称点的坐标之间的规律。情感态度价值观：用轴对称变换的方式去认识和构建几个图形，发展形象思维，并尝试用轴对称变换去从事推理活动。教学重难点重点：①轴对称变换及轴对称变换作图；②点与其对称点坐标之间的关系。难点：①利用轴对称变换设计图案；②利用坐标的变换规律在平面直角坐标系中作出一个图形的轴对称图形课时安排：2课时教学过程（12）第一课时12.2.1（一）轴对称变换的性质和定义问题1.如图12．2—1，在一张半透明的纸的左边部分，画一只左脚印，如何由此得到相应的右手掌印？学生动手画左脚印，要强调将纸对折后描图。在学生画图中，要关注（1）学生如何画左脚印；（2）左脚印画出后，折痕如何选取。2.图12．2—2，12．2—3是怎样得到的？3.图12．2—4的图形是怎样得到的？4.自己动手在一张纸上画一个图形，将这张纸折叠，描图，再打开纸，看看你得到了什么?改变折痕的位置并重复几次，你又得到了什么?与同学交流一下．教师应重点关注：（1）学生在思考中，是否找准了对称轴；（2）两个图案中，学生各找出了几条对称轴。教师应重点关注学生对对称轴的方向和位置的理解。5.归纳轴对称变换的性质及定义学生通过实践、观察，归纳以上四个小活动中所得到的图形之间的共同点，教师引导、纠正，并给出完整的归纳。在学生归纳中教师应重点关注：（1）是否找出了上述图形的共同点；（2）叙述的完整性、准确性、规范性。（二）利用轴对称变换的性质作图，归纳作图方法并练习问题如果有一个图形和一条直线，如何作出与这个图形关于这条直线对称的图形呢?例1如图12．2—5（1），已知△ABC和直线l，作出与△ABC关于直线l对称的图形．（1）△ABC关于直线l的对称图形是什么形状？（2）△ABC的轴对称图形可以由哪几个点确定？（3）在△ABC上，取哪几个点作出其关于l的对称点？（4）如何作一个已知点关于直线的对称点？教师逐步提出问题，师生共同思考分析，学生尝试作图。师生共同总结作图方法及步骤，通过折叠的方法加以验证。归纳几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．（三）图案欣赏及利用轴对称变换设计简单图案学生先欣赏轴对称变换图案，然后自己设计图案。（四）练习1．如图，把下列图形补成关于直线l对称的图形．2．用纸片剪一个三角形，分别沿它一边的中线、高、角平分线对折，看看哪些部分能够重合，哪些部分不能重合．（五）探究如图12．2—8（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短?你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律吗?我们可以把管道l近似地看成一条直线（图12．2—8（2）），问题就是要在l上找一点C，使AC与CB的和最小．设B′是B的对称点，本问题也就是要使AC与CB′的和最小．在连接AB′的线中，线段AB′最短．因此，线段AB′与直线l的交点C的位置即为所求．小组讨论为什么在点C的位置修建泵站，就能使所用的输气管线最短呢?也就是说，你能证明AC+CB最小吗?（提示：在直线l上任取一点C′，证明AC+CB<AC′+C′B′．）（六）小结:学生自己总结。不全面的由其他学生补充完善。（七）板书设计轴对称变换轴对称变换的性质和定义利用轴对称变换的性质作图，归纳作图方法并练习图案欣赏及利用轴对称变换设计简单图案练习探究第二课时(13)12.2.2（一）已知点关于x轴或y轴对称的点的坐标的规律观察图12．2—9是一幅老北京城的示意图，其中西直门和东直门是关于中轴线对称的．如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，对应于如图所示的东直门的坐标，你能说出西直门的坐标吗?在如图12．2—10的平面直角坐标系中，画出下列已知点及其对称点，并把坐标填入表格中，看看每对对称点的坐标有怎样的规律，再和同学讨论一下．已知点A（2，－3）B（－1，2）C（－6，－5）E（4，0）关于x轴的对称点A′（___，___）B′（___，___）C′（___，___）D′（___，___）E′（___，___）关于y轴的对称点（___，___）（___，___）（___，___）（___，___）（___，___）再找几个点，分别画出它们的对称点，检验一下你发现的规律．通过让学生在平面直角坐标系中画出一些已知点关于x轴或y轴对称的点，写出这些对称点的坐标，归纳出其中的规律。教学时，要注意留给学生足够的时间，使学生活动起来，通过探究发现并总结规律。对于这些规律，不要让学生死记硬背，要让学生在平面直角坐标系中，结合实例理解这些规律。归纳点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（_____，_____）；点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（_____，_____）．利用平面直角坐标系中，与已知点关于x轴或y轴对称的点的坐标的规律，我们也可以很容易地在平面直角坐标系中作出与一个图形关于x轴或y轴对称的图形．（二）例题例3如图12．2—11，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（－5，1）、B（－2，1）、C（－2，5）、D（－5，4），分别作出与四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形．问题（1）四边形ABCD关于对称轴的对称图形可以由哪几个点确定？（2）如何作一个已知点关于x轴、y轴的对称点？解：点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（－x，y），因此四边形ABCD的顶点A、B、C、D关于y轴对称的点分别为A′（_____，_____）、B′（_____，_____）、C′（_____，_____）、D′（_____，_____），依次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，就可得到与四边形ABCD关于y轴对称的四边形A′B′C′D′．类似地，请你在图12.2—11上作出与四边形ABCD关于x轴对称的图形。问题如何做一个多边形的对称图形？只要找到一些特殊点（多边形的顶点）的对称点的坐标，描出并连接这些点，就可以得到这个图形的轴对称图形。（三）探究如图12.2—12，分别作出△PQR关于直线x=1（记为m）和直线y=－1（记为n）对称的图形。你能发现它们的对应点的坐标之间分别有什么关系吗？问题（1）需要确定哪几个点关于直线x=1（记为m）和直线y=－1（记为n）的对称点？（2）这些对称点的坐标怎么确定呢？（四）练习课本44页的练习1、2、3。（五）小结：学生自己总结。不全面的由其他学生补充完善。（六）板书设计用坐标表示轴对称已知点关于x轴或y轴对称的点的坐标的规律例题探究练习§13.1平方根教学目标：了解数的算术平方根及平方根的概念，并会用符号表示；理解平方与开方之间是互为逆运算的关系，会用计算器求一些正数的算术平方根重点：了解数的算术平方根及平方根的概念，会求某些非负数的平方根，会用根号表示一个数的平方根难点：对大小的估算及如何理解是非负数以及被开方数是非负数；正确区分算术平方根与平方根第1课时=1\*GB4㈠创设情景，导入新课请同学们欣赏本节导图，并回答问题，学校要举行金秋美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为25的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？如果这块画布的面积是？这个问题实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题（引入新课）=2\*GB4㈡合作交流，解读探究讨论：1、什么样的运算是平方运算？2、你还记得1～20之间整数的平方吗？自主探索：让学生独立看书，自学教材总结：一般地，如果一个正数的平方为，即，那么正数叫做的算术平方根，记为，读作根号，其中叫做被开方数另外：0的算术平方根是0探究：怎样用两个面积为1的正方形拼成一个面积为2的大正方形把两个小正方形沿对角剪开，将所得的四个直角形拼在一起，就的到一个面积为2的大正方形。设大正方形的边长为，则由算术平方根的意义，即大正方形的边长为讨论：有多大呢？思考：你能举些象这样的无限不循环小数吗？=3\*GB4㈢应用迁移，巩固提高例1求下列各数的算术平方根=1\*GB2⑴100=2\*GB2⑵=3\*GB2⑶0.0001=4\*GB2⑷0=5\*GB2⑸点拨：由一个数的算术平方根的定义出发来解决问题思考：－4有算术平方根吗？备选例题：要使代数式有意义，则的取值范围是（）A.B.C.D.=4\*GB4㈣总结反思，拓展升华小结：1、算术平方根的定义和性质2、用计算器求一个正数的算术平方根拓展：已知的算术平方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分，求的算术平方根=5\*GB4㈤课堂跟踪反馈非负数的算术平方根表示为___，225的算术平方根是____，0的算术平方根是____的算术平方根是_____,的算术平方根____若是49的算术平方根，则=（）A.7B.－7C.49D.－49若，则的算术平方根是（）A.49B.53C.7D.若，求的值。若是的整数部分，是的小数部分，试确定、的值。一个自然数的算术平方根为，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方根是_______第2课时=1\*GB4㈠创设情景，导入新课复习提问：1、什么数的平方是49？2、平方得81的数有几个？分别是什么？3、一对互为相反数的平方有什么关系？交流总结：由问题出发，认识到平方得一个正数的数有2个，并且互为相反数（引入新课）=2\*GB4㈡合作交流，解读探究自主探索：独立看书，自学教材想一想：到底什么是平方根，它和我们已经认识的算术平方根有何关系？=1\*GB2⑴什么叫一个数的平方根？如何用符号表示？=2\*GB2⑵根据平方根的定义，只有什么数才有平方根？=3\*GB2⑶什么叫开方？[=1\*GB2⑴如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根或二次方根，用符号表示为：若；=2\*GB2⑵只有非负数才有平方根；=3\*GB2⑶求一个数的平方根的运算叫做开平方运算。]练一练：求下列数的平方根=1\*GB2⑴100=2\*GB2⑵=3\*GB2⑶0.25=4\*GB2⑷=5\*GB2⑸0总结归纳：正数有两个平方根，它们互为相反数0的平方根是0负数没有平方根讨论：平方根与算术平方根之间有什么关系？总结：1、平方根与算术平方根之间的区别=1\*GB2⑴定义不同：如果，那么叫做的平方根。一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，是0本身；负数没有平方根。如果，并且，那么叫做的算术平方根。一个正数的算术平方根只有一个，非负数的算术平方根一定是非负数=2\*GB2⑵表示方法不同：正数的平方根表示为；正数的算术平方根为=3\*GB2⑶平方根等于本身的数是0；算术平方根等于本身的数是0或12、平方根与算术平方根之间的联系=1\*GB2⑴二者有着包含关系：平方根中包含算术平方根，算术平方根是平方根中的非负的那一个=2\*GB2⑵存在条件相同，非负数才有平方根和算术平方根=3\*GB2⑶0的平方根和0的算术平方根都是0=3\*GB4㈢应用迁移，巩固提高例1说出下列各数的平方根=1\*GB2⑴0.04=2\*GB2⑵=3\*GB2⑶=4\*GB2⑷例2说出下列各数的平方根各是什么？=1\*GB2⑴64=2\*GB2⑵0=3\*GB2⑶=4\*GB2⑷=5\*GB2⑸=6\*GB2⑹点评：要从根本之处理解一个数的平方根的运算，从平方根的概念入手，同时要知道，只有非负数才有平方根例3计算=1\*GB2⑴=2\*GB2⑵=3\*GB2⑶=4\*GB2⑷=4\*GB4㈣总结反思，拓展升华小结1、平方根的定义及符号表示2、平方根与算术平方根的关系拓展已知，求：的平方根=5\*GB4㈤课堂跟踪反馈判断下列说法是否正确=1\*GB2⑴5是25的算术平方根（）=2\*GB2⑵是的一个平方根（）=3\*GB2⑶的平方根是－4（）=4\*GB2⑷0的平方根与算术平方根都是0（）2、=1\*GB2⑴=2\*GB2⑵=3\*GB2⑶=4\*GB2⑷3、若，则，的平方根是4、的平方根是（）A.B.C.D.5、给出下列各数：，其中有平方根的数共有（）A.3个B.4个C.5个D.6个6、若一个数的平方根等于它本身，数的算术平方根也等于它本身，试求的平方根。7、求下列各数中的值=1\*GB2⑴=2\*GB2⑵=3\*GB2⑶=4\*GB2⑷若，求、的值10、如果一个正数的两个平方根为和，请你求出这个正数§13.2立方根教学目标：了解立方根的概念，会用符号表示一个数的立方根重点：了解立方根的概念，用立方运算求某些数的立方根；，会用计算器求某些数的立方根难点：明确平方根与立方根的区别，能熟练地求某些数的立方根=1\*GB4㈠创设情景，导入新课出示一个正方体纸盒，提出问题，如果这个正方体的体积为216，那么它每条棱长是多少？=2\*GB4㈡合作交流，解读探究观察由以上问题，有，即要求一个数，使它的立方等于216，通过分析，有，那么6就是这个正方体的棱长归纳如果一个数的立方等于，这个数叫做的立方根（也叫做三次方根），即如果，那么叫做的立方根探究根据立方根的意义填空，看看正数、0、负数的立方根各有什么特点？因为，所以8的立方根是（2）因为，所以0.125的立方根是（）因为，所以8的立方根是（0）因为，所以8的立方根是（）一个正数有一个正的立方根0有一个立方根，是它本身一个负数有一个负的立方根任何数都有唯一的立方根因为，所以8的立方根是（一个正数有一个正的立方根0有一个立方根，是它本身一个负数有一个负的立方根任何数都有唯一的立方根【总结归纳】【类比思考】平方根的表示我们已经很清楚了，那么立方根又该如何表示呢？【探究说明】一个数的立方根，记作，读作：“三次根号”，其中叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。例如：表示27的立方根，；表示的立方根，【探究】因为所以=因为，所以=总结利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即。操作用计算器求数的立方根的步骤及方法：用计算器求立方根和求平方根的步骤相同，只是根指数不同。步骤：输入→被开方数→=→根据显示写出立方根例：求－5的立方根（保留三个有效数字）→被开方数→=→1.709975947所以=3\*GB4㈢应用迁移，巩固提高例1求下列各数的立方根=1\*GB2⑴－8=2\*GB2⑵=3\*GB2⑶=4\*GB2⑷=5\*GB2⑸=6\*GB2⑹例2计算=1\*GB2⑴=2\*GB2⑵=3\*GB2⑶=4\*GB2⑷=5\*GB2⑸例3张叔叔有棱长为的两个正方体纸箱中装满了大米，他将这两箱大米都倒入了另一个新的正方体木箱中，结果正好装满，那么这个新的正方体木箱的棱长大约是多少？（结果精确到）分析从一个实际问题中抽象出数学关系，即一个正方体的体积等于另一个正方体体积的2倍，列式并计算。例4解方程=1\*GB2⑴=2\*GB2⑵分析我们已经学习了立方根，也能由立方根的定义求解（为常数）这一类型简单的三次方程。第=2\*GB2⑵小题，我们要把看成一个整体，依然转化成为的形式，再由立方根定义去求解。备选例题的自变量的取值范围是（）A.且B.C.且D.全体实数=4\*GB4㈣总结反思，拓展升华小结1、立方根的概念和性质2、立方根与平方根的异同比较=5\*GB4㈤课堂跟踪反馈当

≥0时，有意义；当为一切实数时，有意义的立方根是－2，的平方根是±2，的立方根是－2－8的立方根与的一个平方根的和等于1或－5一个自然数的算术平方根是，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根是，立方根是解下列方程=1\*GB2⑴=2\*GB2⑵=3\*GB2⑶6、已知，且，求的值§13.3实数(1)教学目标：了解无理数和实数的概念，知道实数和数轴上的点一一对应，能估算无理数的大小；了解实数的运算法则及运算律，会进行实数的运算，会用计算器进行实数的运算重点：实数的意义和实数的分类；实数的运算法则及运算律难点：体会数轴上的点与实数是一一对应的；准确地进行实数范围内的运算第1课时=1\*GB4㈠创设情景，导入新课略=2\*GB4㈡合作交流，解读探究探究使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？3，，，，，我们发现，上面的有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，即，，，，，归纳任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数观察通过前面的探讨和学习，我们知道，很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数，无限不循环小数又叫无理数，也是无理数结论有理数和无理数统称为实数试一试把实数分类像有理数一样，无理数也有正负之分。例如，，是正无理数，，，是负无理数。由于非0有理数和无理数都有正负之分，所以实数也可以这样分类：我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示。无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？探究如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O′，点O′的坐标是多少？总结1、事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大讨论当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数吗？总结数的相反数是，这里表示任意一个实数。一个正实数的绝对值是本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0=3\*GB4㈢应用迁移，巩固提高例1把下列各数分别填入相应的集合里：正有理数{}负有理数{}正无理数{}负无理数{}备选例题下列实数中是无理数的为（）A.0B.C.D.=4\*GB4㈣总结反思，拓展升华小结1、什么叫做无理数？2、什么叫做有理数？有理数和数轴上的点一一对应吗？无理数和数轴上的点一一对应吗？实数和数轴上的点一一对应吗？=5\*GB4㈤课堂跟踪反馈1、下列各数中，是无理数的是（）A.B.C.D.2、已知四个命题，正确的有（）=1\*GB2⑴有理数与无理数之和是无理数=2\*GB2⑵有理数与无理数之积是无理数=3\*GB2⑶无理数与无理数之积是无理数=4\*GB2⑷无理数与无理数之积是无理数A.1个B.2个C.3个D.4个3、若实数满足，则（）A.B.C.D.4、下列说法正确的有（）=1\*GB2⑴不存在绝对值最小的无理数=2\*GB2⑵不存在绝对值最小的实数=3\*GB2⑶不存在与本身的算术平方根相等的数=4\*GB2⑷比正实数小的数都是负实数=5\*GB2⑸非负实数中最小的数是0A.2个B.3个C.4个D.5个5、=1\*GB2⑴的相反数是，绝对值是=2\*GB2⑵=3\*GB2⑶1=4\*GB2⑷若，则6、是实数，则2已知实数、、在数轴上的位置如图所示：OO化简（答案：）第十四章一次函数变量与函数教学设计思想：本节一共分为三个课时，第一、二课时主要是对一些概念的学习与应用，这也是本节的难点，要通过结合一些具体的事例来理解．第三课时主要是学习函数的三种表示法、运用函数知识解决实际问题，要注意“数形结合”思想方法的运用．教学目标：知识与技能：能叙述常量、变量、函数以及函数图像的意义；能叙述函数的表示法、自变量的取值范围及函数值的意义；发展运用函数知识解决实际问题的能力．过程与方法：经历画简单函数的图像的过程提高识图能力．情感态度价值观：感受变量与函数是刻画现实生活中许多变化事物的一种重要的数学工具．教学重点：运用函数知识解决实际问题．教学难点：常量、变量、函数以及函数图像的意义．教学安排：4课时．教具：多媒体教学过程：第一课时11.1.1变量（一）问题的提出现请思考下面几个问题：（1）汽车以60千米／时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时，先填下面的表，再试用含t的式子表示s．t/时12345s/千米（2）每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出票205张，晚场售出票310张，三场电影的票房收入各多少元?设一场电影售出票x张，票房收入为y元，怎样用含x的式子表示y?（3）在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律．如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，怎样用含重物质量m（单位：kg）的式子表示受力后的弹簧长度l（单位：cm）?（4）要画一个面积为10cm2的圆，圆的半径应取多少?圆面积为20cm2呢?怎样用含圆面积S的式子表示圆半径r?（5）如图11.1—l，用10m长的绳子围成长方形．试改变长方形的长度，观察长方形的面积怎样变化．记录不同的长方形的长度值，计算相应的长方形面积的值，探索它们的变化规律．设长方形的长为xm，面积为Sm2，怎样用含x的式子表示S?这些问题反映了不同的事物的变化过程，其中有些量（例如时间t，里程s；售出票数x，票房收入y……）的值是按照某种规律变化的．在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量（variable）．有些量的数值是始终不变的，例如上面问题中的速度60（单位：千米／时），票价10（单位：元）……绳长10（单位：m）以及长方形的长宽之和5（单位：m），我们称它们为常量（constant）．在日常生活中，工农业生产和科学实验中，常量和变量是普遍存在的，但数学所要研究的是某一变化过程中的两个量之间的关系，即它们是怎样互相制约、互相联系的．提问：一个量变化，具体地说是它的什么在变？什么不变呢？引导学生观察发现：是量的数值变与不变．应该让学生注意到在某一个变化过程中，变量、常量都可能有多个．常量可以是一个实数，也可以是一个代数式（数值始终保持不变）．（二）思考具体指出上面的各问题中，哪些量是变量，哪些量是常量．让学生从定义出发指出问题中的变量与常量．剖析概念常量与变量必须存在于一个变化过程中．判断一个量是常量还是变量，需着两个方面：①看它是否在一个变化的过程中，②看它在这个变化过程中的取值情况．（三）练习举出一些变化的实例，指出其中的常量与变量．（充分发挥学生的主体作用，畅所欲言）．（四）小结小结对变量与常量意义的理解．（五）板书设计变量问题两个概念：变量、常量思考练习第二课时11.1.2函数（一）问题的讨论11.1.1的每个问题中是否各有两个变量?同一个问题中的变量之间有什么联系?在问题（1）中，观察填出的表格，你会发现：每当行驶时间t取定一个值时，行驶里程s就随之确定一个值，例如t＝1，则s＝60；t＝2，则s＝120……t＝5，则s＝300．问题（2）中，经计算可以发现：每当售票数量x取定一个值时，票房收入y就随之确定一个值，例如早场x＝150，则y＝l500；日场x＝205，则y＝2050；晚场x＝310，则y＝3100．问题（3）中，通过试验可以看出：每当重物质量m取定一个值时，弹簧长度l就随之确定一个值．如果弹簧原长10cm，每lkg重物使弹簧伸长0．5cm，那么当m＝1时，l＝10．5．当m＝10时，l等于多少?问题（4）中，你容易算出：当S＝10cm2时，r＝_______cm；当S＝20cm2时，r＝_______cm．每当S取定一个值时，r随之确定一个值．你能得出：两者的关系为r＝_______.问题（5）中，我们可以根据下表中给出的数值确定长方形一边的长，得出另一边的长，计算长方形的面积，填表并探索变量间的关系．长x/m432.52宽（5－x）/m面积S/m2每当长方形长x取定一个值时，面积S就随之确定一个值，S＝_________.引导学生观察发现：对于变量的每一个值，另一变量都有唯一的值与它对应．所以两个变量的关系又可叙述为：对于一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一的值与它对应．即一种对应关系．（二）归纳上面每个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就________.在一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量间上面那样的关系．（三）观察（1）图11．1—2是体检时的心电图，其中横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量．在心电图中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的对应值吗?（2）在下面的我国人口数统计表中，年份与人口数可以记作两个变量x与y，对于表中每一个确定的年份（x），都对应着一个确定的人口数（y）吗?中国人口数统计表年份人口数/亿198410.34198911.06199411.76199912.52一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量（independentvariable），y是x的函数（function）．如果当x＝a时y＝b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值．剖析概念理解函数概念把握三点：①一个变化过程，②两个变量，③一种对应关系．判断两个量是否具有函数关系也以这三点为依据．可以认为：前面问题（1）中，时间t是自变量，里程s是t的函数，t＝1时的函数值s＝60，t＝2时的函数值s＝120，t＝2．5时的函数值s＝_____……同样地，在心电图中，时间x是自变量，心脏电流y是x的函数；人口数统计表中，年份x是自变量，人口数y是x的函数，当x=1999时，函数值y=________．提醒学生注意：判断两个变量是否存在函数关系，不要只从能否存在（或写出）函数关系式入手，这只是表示函数的一种方法（解析法），而应严格按其定义来判定．从上面可知，许多问题中的变量之间都存在函数关系．（四）探究（1）在计算器上按照下面的程序进行操作：填表x13－40101y显示的数y是输入的数x的函数吗？为什么?（2）在计算器上按照下面的程序进行操作：下表中的x与y是输入的5个数与相应的计算结果