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文档简介
第5章函数概念与性质5.3函数的单调性
第二课时(1)设函数y=f(x)的定义域为A,区间I⊆A.
①如果对于区间I内的______两个值x1,x2,当x1<x2时,都有___________,那么称y=f(x)在区间I上是________,I称为y=f(x)的增区间. ②如果对于区间I内的______两个值x1,x2,当x1<x2时,都有___________,那么称y=f(x)在区间I上是________,I称为y=f(x)的减区间. (2)如果函数y=f(x)在区间I上是增函数或减函数,那么称函数y=f(x)在区间I上具有________,增区间和减区间统称为__________.任意f(x1)<f(x2)增函数任意f(x1)>f(x2)减函数单调性单调区间一、复习导入利用定义证明函数单调性的步骤:(1)取值;
(2)作差变形:转化为易判断正负的关系式;(3)定号:
f(x1)-f(x2)的符号;(4)结论(同增异减)因为x1,x2∈(0,+∞),x1<x2.所以x1x2>0,x2-x1>0.题型一
求函数的单调区间角度1由图象求单调区间
例1由函数y=f(x)的图象,指出函数的单调区间.
解
由图象知函数y=f(x)在(-∞,-1],[0,1]上是增函数,在[-1,0],[1,+∞)上是减函数,故函数y=f(x)的单调递增区间是(-∞,-1],[0,1],单调递减区间是[-1,0],[1,+∞).提醒:当函数出现两个或两个以上单调区间时,单调区间之间可用
“,”分开,也可以用“和”来表示,不能用“∪”和“或”。训练
根据如图所示函数的图象,写出函数在每一单调区间上是单调增函数还是单调减函数;解
(1)函数在[-1,0],[2,4]上是单调减函数,在[0,2],[4,5]上是单调增函数.解易知函数的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞).设x1,x2是区间(-1,+∞)上的任意两个实数,且x1<x2,∵1>0,x2>x1>-1,∴x1-x2<0,x2+1>0,x1+1>0,∴f(x1)-f(x2)<0,即
f(x1)<f(x2),∴f(x)在(-1,+∞)上为增函数.同理可得,f(x)在(-∞,-1)上为增函数.(-∞,1)解析
当x≥1时,f(x)是增函数,当x<1时,f(x)是减函数,所以f(x)的单调递减区间为(-∞,1).(1)函数单调区间的两种求法①图象法.即先画出图象,根据图象求单调区间.②定义法.即先求出定义域,再利用定义进行判断求解.(2)函数的单调性是函数在定义域内的某个区间上的性质,单调区间是定义域的子集;当函数出现两个或两个以上单调区间时,单调区间之间可用
“,”分开,“和”来表示,不能用“∪”和“或”.小结
例3若函数y=f(x)在R上为增函数,且f(2m)>f(-m+9),则实数m的取值范围是(
) A.(-∞,-3) B.(0,+∞) C.(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(3,+∞)C解析∵f(x)在R上为增函数,且f(2m)>f(-m+9),∴2m>-m+9,即m>3,故选C.题型二函数单调性的应用角度1利用单调性解不等式角度2由单调性求参数例4若函数y=x2+(2a-1)x+1在区间(-∞,2]上是减函数,则实数a的取值范围是(
)B
1.理解1个概念——函数的单调性2.掌握1个步骤——证明函数的单调性3.树立2种意识——等价转化、数形结合已知函数单调性求参数的范围时,要树立两种意识:一是等价转化意识,如f(x)在D上递增,则对∀x1,x2∈D,有f(x1)
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