电磁场的动量和能量

电磁场的动量和能量凤阳二中张叶摘要：通过分析匀强磁场中平行板电容器内导体棒的运动，把电磁场的动量和能量这两个较为抽象的概念具体化。运用这一简单的模型分析并论证了电磁场确具有动量和能量，且可与机械动量和动能相互转换，在转换过程中遵循守恒定律。关键词：电磁场；动量；能量；平行板电容器引言电磁场作为物质存在的一种特殊形式，与实物一样，也具有能量、动量和角动量等基本属性，同样遵循能量守恒，动量守恒和角动量守恒等定律，它们既不能被创造，也不能被消灭，只能由一种形式转变成另一种形式。与实物不同的是，场作为弥漫在空间的一种特殊物质，不能被直接看到。在教学过程中，由于场的概念较为抽象，而且电磁场的能量、动量和角动量又较难直接观测，给人一种看不见，摸不着的感觉，所以教师觉得不好教，学生觉得难以理解。本文研究了一导体棒在处于匀强磁场中的平行板电容器内的运动这一较为简单的物理模型。通过定性分析和定量计算，论证了电磁场的确具有动量和能量，它们不仅可以与机械动量和动能相互转换，而且在转换过程中满足动量守恒和能量守恒定律。这一模型让初学者对电磁场的动量和能量有一个简单、直观的感受，从而能更好地理解电磁场及它的这两个重要物质属性。

匀强磁场中的平行板电容器XXXXXBXXXXXXXm,REXXXXXXXXXXXXL图1匀强磁场中的平行板电容器+Q-Q一个电容量为C,两导体板相距为L的平行板电容器，处在匀强磁场中。磁场的方向与导体板平行，大小为B。将平行板电容器充电，使两极板所带的电量为土Q0。然后将一质量为m，电阻为R，长度为L的导体棒垂直放在电容器的两板之间。开始的瞬间，导体棒中有电流Q0Q0CR受到安培力F0F0=BLI0blqoCR的作用开始加速运动，初始加速度为a=BLQ。0mCR但导体棒上的电流导致电容器两极板上的电量减少，使得板间电场减小；另外，根据楞次定律，导体棒运动时产生感应电动势，电动势方向也与板间电场相反。所以，导体棒上的电流会逐渐变小，安培力和加速度也随之减小。然而在加速度减小为零之前，导体棒的速度还在变大，感应电动势继续变大，电流继续变小，直到电容器极板上的剩余电量Q产生的电压与感应电动势相等，彼此平衡。此时，导体棒上的电流为零，电容器极板上的电量为Qmin，不再改变，板间电场也不再变化，导体棒所受的安培力和导体棒的加速度均为零，导体棒的速度达到最大，并以此速度vmax作匀速运动。即:BLV=^min。max(J(1)由导体棒的运动方程mdV=BLI=-BLdQdtdt(2)可知：速度的变化率直接止比于电荷的变化率，因此mv=BL(Q0-Q.)。(3)联立式(1)和式(3)可求出V=BLQ0maxm+B2L2C(4)和Q=B2g。minm+B2L2C开始时，导体棒是静止的，没有动量，也没有动能；最后，电容器的电量变为Qmin，导体棒获得的速度为v.，导体棒作匀速直线运动，动量是mv，动能是.2mv2。电磁场的动量和能量导体棒的动量和动能是哪里来的？当我们把导体棒作为研究对象时，我们会说，是磁场作用于导体棒的安培力的冲量改变了导体棒的动量，安培力作的功改变了导体棒的动能。但当我们把导体棒和电容器以及磁场看作一个整体系统时，我们发现，并没有任何外力作用于这个系统，而导体棒却获得了动量和动能。唯一可能的解释就是，在系统内一定有另一个对象，它失去了相等数量的动量和能量。电容器的极板始终未动，所以，失去动量和能量的就只能是电磁场。由(4)式得，导体棒最后获得的动量是p=mv=mBLQom+B2L2C(6)电容器极板的电量减少了，板间的电场也发生了变化△E=0^-Q=B2LCQ0—Q=_Q0m~~CCLCL~CL(m+B2L2C)CL~CL(m+B2L2C)(7)利用平行板电容器公式：C«L，对比⑸式和⑹式，不难发现p=AE-BCL=-A(sEBSL)0(8)式中SL=V是电场所在区域的体积。等式的左边是导体棒获得的动量，等式右边自然应该是电磁场动量的减少。由此不难得出，在电场强度为E，磁感应强度为B的电磁场中单位体积电磁场的动量为e°eb，由图1所示各物理量的方向可以确定电磁场动量的方向，即8°EXB。再来看电磁场的能量，由(4)式得，导体棒最后获得的动能是口，1mB2L2Q2W=—mv2=0——k22(m+B2L2C)2(9)另外，由于导体棒在加速运动过程中一直流有电流，从而不断产生焦耳热。回路中的电流遵从欧姆定律IR=--BLvC(10)两边取微分，得RdI=dQ-BLdv(11)将(2)式代入上式，可得RdI=m+B2L2CdQmC(12)由1=-dQdt，得RdI+1(m+B2逾)dt=omC(13)分离变量得TOC\o"1-5"\h\zI=Ie-ES)tmCR=Qe-MS)tmCR(")maxCR积分得整个过程中产生的焦耳热』812Rdt=您』8e-2(m+B2L2C)tmCRdt=Q0m0RC2o2C(m+B2L2C)(15)将(9)式和(15)式相加，并对照(7)式，不难得出Q0(m2+2mB2M)=_A(LE2SL)2C(m+B2L2C)22o(16)等式左边是导体棒获得的动能与整个过程的焦耳热之和，右边是电磁场能量的减少。由于在整个过程中，磁场未发生变化，所以只有电场的能量减少了。考虑到等式右边SL=V是电场所在区域的体积，所以单位体积电场的能量为1e£2，这是我们很熟悉的结果。2o对电磁场的动量和能量的思考从以上分析可以看出电磁场确实具有动量和动能，而且可以转化为机械动量和动能。我们还可以进一步分析，电磁场的动量和动能又是哪里来的呢？是不是可以在电磁场的建立过程中由其他形式的动量和动能转化而来呢？可以设想这样一个过程：开始时，在磁场中的平行板电容器的两块极板是重合在一起的，正负电荷抵消，因而没有电场，也就没有动量和动能。然后以垂直于极板方向的外力，缓慢地将一个极板拉开到L的距离，同时保持另一个极板不动。在此过程中，极板受到洛沦兹力的作用fL=甲'B(17)式中Q0为极板所带的电量，v为极板的运动速度，洛沦兹力的方向垂直于v，为了不让极板侧向移动，在拉开极板过程中必须施加一个与洛沦兹力方向相反的外力。拉开极板过程中，这一外力作用于电容器系统的冲量为I=jfdt=j—QBvdt=—QBjdl=—QBL=Ap(18)负号表示冲量方向与洛沦兹力相反。外力冲量的作用并没有使得系统内任何物体获得机械动量，而是将动量储存在电磁场中了。电磁场的动量Ap=QBL=QlBCL=(80EB)SL(19)在拉开极板的过程中，拉力做的功为W=jFdx=jEQdx=1EQL=1E2CL2=(18E2)SL2200200200(20)由此可见，在建立电磁场的过程中，夕卜力作用于电容器的冲量转化为电磁场的动量；外力做的功转化为电场的能量。而放入导体棒使之运动后这些动量和能量的一部分又转化为导体棒的机械动量和动能及焦耳热。这又一次说明电磁场确实具有动量和能量。结论通过分析处于匀强电磁场中的平行板电容器中导体棒的运动，从一个侧面论证了电磁场的确具有动量和能量，并且可以与其他形式的动量和能量相互转换，在转换过程中遵循动量守恒和能量守恒定律。这一简单的模型使得原本抽象的概念变得具体化，有利于初学者对电磁场的这一重要属性的理解。进一步分析这个模型发现，电磁场的能量不可能全部转化为导体棒的动能，一部分要转化为焦耳热，一部分仍留在电磁场中。电磁场的能量转化为导体棒的动能的部分所占的比例为Wm+B2L2C1门=―K=.<—WBL^mC4（21）当m=B2L2C时，n=4。4可见导体棒获得的动能最多为电场能量的四分之一，此时2min=鸟，即电容器极板剩余电量为原来的一半，而剩余的电场能量为原来的四分之一，其余的二分之一