2021-2022年高中数学联赛(山东)赛区竞赛试卷

实用文档实用文档20212021（ft东）赛区竞赛试卷一.填空题(本题共5道小题,每小题8分,满分40分)函数的最大值是 ;

(王泽阳供题)解:,其等号仅当即时成立,所以,f(x)=.最大如果自然数a5,那么称a到大排成一列a,a,…,a.若a=xx.则n= .王继忠供题)1 2 n n 1 2 m 1 2 解:,则x+x+…+x=5,x≥1和x,…,x≥01 2 m 1 2 1 2 (x-1)+x+…+x=4,所以,为第个吉祥数.为第个吉祥数1 2 由此得:一位吉祥数共1个,二位吉祥数共个,三位吉祥数共个,因以1为首位的四位吉祥数共个,以2为首位的前两个四位吉祥数为:xxn=1+5+15+15+2=38.3.f(x)2011次多项式,n=0,1,…,2011时,.则

; (题)解:n=0,1,…,2011时(n+1)f(n)=n,即多项式(x+1)f(x)-xxx个根,设(x+1)f(x)-x=ax(x-1)(x-2)…(x-2011).x=-1,1=xx!a.故,x(x1)(x2) (x2011) xf(x) , 2012!(x1) x1f(2012) 2012!

2012

2013

1.2012!2013 2013 20135:,时针方向11,22,第k步转过k.一直进行下去可得到 个红点.(龚红戈供题)解:将5个点依次编号0—4,且不妨设开始染红的是0号点,则第11号点23号点,31.3,分别为的外心、内心，且，＞，的外角平分线交⊙于，已知,则

.(李耀文供题)DAEODAEOIBC、、，由，易知、均为正三角形.由内心的性质得知：,所以、、四点共圆,且圆心为.再延长交⊙于,F由题设知、、共线，于是,,又,从而≌,故.二.解答题(本题共5道小题,每小题20分,满分100分)证明:p,np|(n2n-1).陈永高供题)证明:n=(p-1)k,,所以p|(n2n-1)(p1)k2(p1)k1(modp)(p1)k1(modp)k1(modp).k=pr-1(r∈N*),n=(p-1)(pr-1),p|(n2n-1).PABCDBPAD于长DP交AB于F，延长CP交矩形的外接圆于G。求证叶G中豪供题)A1:CGADQ,由∠GBA＝∠GDA及F∠AGB＝∠CGD知△ABG∽△QDG。延长DF、CB

Q E PR B C交于RAD∥BRAD=BC得①又由△CPB∽△QPE及△RPB∽△DPE得②由①,②得,表明F,E是△ABG,△QDG的相似对应点,故得△FBG∽△EDG.所以,∠FGB=∠EGD,∠FGE=∠BGD=900,GE⊥GF.2:令∠GCB=,∠GCD=,由正弦定理得:,由∠GBF＝∠GDE得△FBG∽△EDG.

GA Q E PFβαB C所以,GE⊥GF.120A.A,A…,A满1 2 10足:(1)|A

|=36,i=1,2,…,10;i(2)A

∪A

=A;1 2 10(3)|Ai∩Aj|=8,i≠j.请说明理由. (刘裕供题)解:答案:存在.100,131合Aj=1,2,…,10j10,1A36i,j∈{1,2,…,10}(i<j)ijj10,1AAi j

的元素.综上知,存在满足条件的10个子集.m,n(n≥2),nm恰好可以割并成(邹明供题)

n 个边长分别为1,2, …,n 的正方形.解:依题意n个边长为m的正方形,恰好可以割并成n个边长分别为1,2,…,n12+22+…+n2=nm2,6m2=(n+1)(2n+1),则(n+1)(2n+1)=2n2+3n+1≡0(mod6),由n2≡0,1,3,4(mod6)n≡±1(mod6).6|n+1,n=6k-1(k∈N),m2=k(12k-1),因(k,12k-1)=1,k12k-1,12k-1≡3(mod4)矛盾!若6|n-1,设n=6k+1(k∈N),得m2=(3k+1)(4k+1),因(3k+1,4k+1)=1,所以,3k+1=v2,4k+1=u2,消去k 得4v2-3u2=1,v=u=1 时,k=0,n=1,但n≥2,故u>1,v>1.4v2-3u2≡1(mod8)u,v为奇数,min 直接计算得u =15,v =13,k=56,所以min m =15×13=195,n =337.最小 最小设实系数三次多项式有三个非零实数求证:. (李胜宏供题)3证明:设为p(x)=0的三个根,由根与系数关系得:33.原式6a(a23

2b)10(a2

2b)2

27c

2)10(

2)2

①.若,则①成立.若,不妨设,由①的齐次性,不妨设,则,.①.因[