江苏省淮安市2020届高中三年级期中联考数学(理科)试题(解析版)

.第=page1414页,共=sectionpages1414页.2019-2020学年XX省XX市高三〔上期中数学试卷〔理科一、填空题〔本大题共14小题全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,3,4},B={3,5},则∁U(A∩B)=______．已知向量a=(2,m),b=(1,-2),且a⊥b,则实数m的值是函数y=ln(x+1)+22-x的定义域为已知单位向量a,b的夹角为120°,则|a-2b已知等比数列{an}满足a2+2a1=4,"a>b"是"2a>2b"的______条件(设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,且A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,则φ的值为______．在△ABC中,如果sinA：sinB：sinC=2：3：4,那么tanC=______．已知函数f(x)=x|x-4|,则不等式f(2x)≤f(2)的解集为______．已知函数f(x)是定义在上的偶函数,且对于任意的都有f(x+4)=f(x)+f(2),f(1)=4,则f(3)+f(10)的值为______．如图,在梯形ABCD中,AB//CD,CD=2,∠BAD=π4,若AB⋅AC=2AB在△ABC中,BC=3AC,tanA=3tanB,则tan(B+C已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn.若S9=S3已知函数f(x)=xlnx,g(x)=-x2+(a+12)x+2a,若不等式f(x)≤g(x)的解集中恰有两个整数,则实数a二、解答题〔本大题共10小题已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的对边,且满足(b-c)(1)求角A的大小；(2)若a=3,sinC=2sinB,求△ABC的面积．在如图所示的平面直角坐标系中,已知点A(1,0)和点B(-1,0),|OC|=1,且∠AOC=x,其中O为坐标原点．

(1)若x=3π4,设点D为线段OA上的动点,求|OC+OD|的最小值；

(2)若x∈(0,π2),向量一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O和一个矩形ABCD构成,AB=1米,如图所示．小球从A点出发以5v的速度沿半圆O轨道滚到某点E处后,经弹射器以6v的速度沿与点E切线垂直的方向弹射到落袋区BC内,落点记为F.设∠AOE=θ弧度,小球从A到F所需时间为T．

(1)试将T表示为θ的函数T(θ),并写出定义域；

(2)当θ满足什么条件时,时间T最短．已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：在定义域内存在实数t,使得f(t+2)=f(t)+f(2)．

(1)判断f(x)=3x+2是否属于集合M,并说明理由；

(2)若f(x)=lgax2+2属于集合M,求实数a的取值范围；

(3)若f(x)=2x已知函数f(x)=x3+3|x-a|,a∈R(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在x=2处的切线方程；

(2)当x∈[-1,1]时,求函数f(x)的最小值；

(3)已知a>0,且任意x≥1有f(x+a)-f(1+a)≥15a2给定数列{an},若满足a1=a(a>0且a≠1),对于任意的n,m∈N*,都有an+m=an⋅am,则称数列{an}为"指数型数列"．

(Ⅰ)已知数列{an},{bn}的通项公式分别为an=5×3n-1,bn=已知矩阵A=0123,B=已知矩阵A=12-14,向量a=[已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB//DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC=12AB=1,M是PB的中点．

(1)求直线AC与PB所成角的余弦值；

(2)求面AMC与面PMC直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=2,AC=4,AA1=2,BD=λDC．

(1)若λ=1,求直线DB1答案和解析1.[答案]{1,2,4,5}[解析]解：∵A={1,3,4},B={3,5},

∴A∩B={3},

则∁U(A∩B)={1,2,4,5},

故答案为：{1,2,4,5}根据集合交集,并集定义进行求解即可．

本题主要考查集合的基本运算,结合交集补集的定义是解决本题的关键．

2.[解析]解：∵a⊥b；

∴a⋅b=2-2m=0；

∴m=1．

故答案为：1．

根据a⊥[解析]解：依题意,x+1>02-x≠02-x≥0,解得-1<x<2,

所以y=ln(x+1)+22-x的定义域为(-1,2)[解析]解：单位向量a,b的夹角为120°,

则|a-2b|=[解析]解：设等比数列{an}的公比为q,

∵a2+2a1=4,a32=a5,

∴a1(q+2)=4[解析]解：由a>b,利用指数函数的单调性可得2a>2b,

反之,由2a>2b,可得a>b．

∴[解析]解：根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,且A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象,

可得34⋅2πω=7π12+π6,∴ω=2．

再根据五点法作图可得2×(-π6)+φ=0,∴φ=π3,

故答案为：[解析]解：∵sinA：sinB：sinC=2：3：4,

∴由正弦定理可得：a：b：c=2：3：4,

∴不妨设a=2t,b=3t,c=4t,则cosC=a2+b2-c22ab=4t2+9t2-16t22×2t×3t=-14,

∵C∈(0,π)

∴tanC=-1cos2[解析]解：∵f(x)=x|x-4|,

∴由f(2x)≤f(2)得,2x|2x-4|≤4,

∴x|x-2|≤1,

∴x2-2x≤1x≥2或2x-x2≤1x<2,解得x≤2+1,

∴f(2x)≤f(2)的解集为{x|x≤2+1}．

故答案为：{x|x≤[解析][分析]

本题考查了抽象函数的应用问题,也考查了函数的奇偶性与周期性应用问题,是基础题．

由题意令x=-2求得f(2)=0,且f(x)的周期为4,再计算f(3)+f(10)的值．

[解答]

解：由f(x+4)=f(x)+f(2),

令x=-2,得f(-2+4)=f(-2)+f(2)；

又f(x)为偶函数,∴f(-2)=f(2),

∴f(2)=0；

∴f(x+4)=f(x),

∴f(x)的周期为4；

又f(1)=4,f10=f2+2×4=f2=0,

f3=f[解析]解：因为AB⋅AC=2AB⋅AD,所以AB⋅AC-AB⋅AD=AB⋅DC=AB⋅AD,

因为AB//CD,CD=2[解析]解：由BC=3AC,利用正弦定理可得sinA=3sinB,①由tanA=3tanB,可得sinAcosA=3sinBcosB,②由②÷①可得cosA=33cosB,③,

由①,③两式平方相加可得sinB=12,

所以B=π6或5π6,

由tanA=3tanB,知B=5π6应舍去,

所以B=π6,代入③式可得A=π3,

由三角形内角和定理可得C=π-A-B=π2,可得C[解析]解：依题意,因为S9=S3+2S6,所以q≠1,所以a1(1-q9)1-q=a1(1-q3)1-q+2a1(1-q6)1-q,

即(q3-2)(q3-1)(q3+1)=0,因为数列{an}为正项数列,所以q3[解析][分析]

推导出f'(x)=lnx+1,f(x)在(0,1e)上单调递减,(1e,+∞)上单调递增,且f(1)=1,f(x)的函数图象开口向下,对称轴为x=6+a2,利用数形结合法求出不等式f(x)≤g(x)的解集中恰有两个整数是2,3,列出不等式组,能求出实数a的取值范围．

本题考查利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法,考查换元法的应用,考查了推理能力与计算能力,属于难题．

[解答]

解：f'(x)=lnx+1,故当x∈(0,1e)时,f'(x)<0,当x∈(1e,+∞)时,f'(x)>0,

∴f(x)在(0,1e)上单调递减,(1e,+∞)上单调递增,且f(1)=1又g(x)的函数图象开口向下,对称轴为x=6+a2,

要使不等式f(x)≤g(x)的解集中恰有两个整数,其图象如下：

不等式f(x)≤g(x)的解集中恰有两个整数是1,2,

∴f(1)⩽g(1)f(2)≤g(2)f(3)>g(3),无解,

不等式f(x)≤g(x)的解集中恰有两个整数是2,3,

∴,解得ln2-102≤a<2ln4-163．

∴实数a的取值范围是[ln2-102,2ln4-163).故答案为：[ln2-102,2ln[解析](1)由已知等式可得b2+c2-a2=bc,由余弦定理可得cosA=12,结合范围A∈(0,π),即可求得A的值．

(2)由sinC=2sinB及正弦定理可得c=2b,又a=3,A=π3,由余弦定理可解得b,c的值,利用三角形面积公式即可得解．

本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形面积公式在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题．

16.[答案]解：(1)设D(t,0)(0≤t≤1),由题易知C(-22,22),

所以OC+OD=(-22+t,22)所以|OC+OD|2=12-2t+t2+12=t2-2[解析](1)设D(t,0)(0≤t≤1),利用二次函数的性质求得它的最小值．

(2)由题意得m⋅n=1-2sin(2x+π4),再利用正弦函数的定义域和值域求出它的最小值．

本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值,两个向量的数量积的公式,正弦函数的定义域和值域,属于中档题．

17.[答案]解：(1)连接CO并延长交半圆于M,则∠AOM=∠COD=π4,故θ≥π4,

同理可得θ≤3π4,∴θ∈[π4,3π4].过O作OG⊥BC于G,则OG=1,∠GOF=|π2-θ|,

∴OF=1cos|π2-θ|=1sinθ,又AE=θ,

∴T(θ)=θ5v[解析](1)求出小球的运动路程,得出T(θ)的解析式；

(2)利用导数判断函数单调性,求出函数的最小值对应的cosθ的值即可．

本题考查了函数解析式,函数单调性与最值的计算,属于中档题．

18.[答案]解：(1)当f(x)=3x+2时,方程f(t+2)=f(t)+f(2)⇔3t+8=3t+10…(2分)此方程无解,所以不存在实数t,使得f(t+2)=f(t)+f(2),

故f(x)=3x+2不属于集合M.…(4分)(2)由f(x)=lgax2+2属于集合M,可得

方程lga(x+2)2+2=lgax2+2+lga6有实解⇔a[(x+2)2+2]=6(x2+2)有实解⇔(a-6)x2+4ax+6(a-2)=0有实解,…(7分)若a=6时,上述方程有实解；

若a≠6时,有△=16a2-24(a-6)(a-2)≥0,解得12-63≤a≤12+63,

故所求a的取值范围是[12-63,12+63].…(10分)(3)当f(x)=2x+bx2时,方程f(x+2)=f(x)+f(2)⇔2[解析](1)利用f(x)=3x+2,通过f(t+2)=f(t)+f(2)推出方程无解,说明f(x)=3x+2不属于集合M. (2)由f(x)=lgax2+2属于集合M,推出lga(x+2)2+2=lgax2+2+lga6有实解,即(a-6)x2+4ax+6(a-2)=0有实解,若a=6时,若a≠6时,利用判断式求解即可．

(3)当f(x)=2x+bx2时,方程f(x+2)=f(x)+f(2)⇔3×2x+4bx-4=0,令g(x)=3×2x+4bx-4,则g(x)在R上的图象是连续的,当b≥0时,当b<0时,判断函数是否有零点,证明对任意实数b,都有f(x)∈M．

本题考查抽象函数的应用,函数的零点以及方程根的关系,考查转化思想以及计算能力．

19.[答案]解：(1)当x>1时,f(x)=x3+3x-3,f(2)=11.由,得．

所以y=f(x)在x=2处的切线方程为y=15(x-2)+11即15x-y-19=0．

(2)①当a≤-1时,得f(x)=x3+3x-3a,因为0'/>,

所以f(x)在[-1,1]单调递增,所以f(x)min=f(-1)=-4-3a．

②当a≥1时,得f(x)=x3-3x+3a,因为,

所以f(x)在[-1,1]单调递减,所以f(x)min=f(1)=-2+3a．

③当-1<a<1时,f(x)=x3+3x-3a,a<x<1x3-3x+3a,-1<x≤a由①②知：函数f(x)在(-1,a)单调递减,(a,1)单调递增,

所以f(x)min=f(a)=a3．

综上,当a≤-1,f(x)min=-4-3a；

当-1<a<1时,f(x)min=a3；

当a≥1时,f(x)min=-2+3a．

(3)当a>0,且任意x≥1有f(x+a)-f(1+a)≥15a2lnx,

即对任意x≥1有(x+a)3+3x-15a[解析](1)当x>1时,f(x)=x3+3x-3,f(2)=11.由,得由此利用导数的几何意义能求出y=f(x)在x=2处的切线方程．

(2)当a≤-1时,得f(x)=x3+3x-3a,由0'/>,得到f(x)min=f(-1)=-4-3a.当a≥1时,得f(x)=x3-3x+3a,由,得到f(x)min=f(1)=-2+3a.当-1<a<1时,f(x)=x3+3x-3a,a<x<1x3-3x+3a,-1<x≤a,由此能求出函数f(x)的最小值．

(3)当a>0,且任意x≥1有f(x+a)-f(1+a)≥15a2lnx,即对任意x≥1有(x+a)3+3x-15a2lnx-(a+1)3-3≥0.设g(x)=(x+a)3+3x-15a2lnx-(a+1)3-3,则g(1)=0,设,则0'/>,由此利用导数性质能求出结果．

本题考查切线方程、函数的最小值、实数的取值范围的求法,考查导数的几何意义、导数性质、函数最值、函数的单调性等基础知识,考查运算求解能力,是中档题．

20.[答案](Ⅰ)解：对于数列{an},an+m=an⋅am=53×(5×3n+m-1)≠an,所以{an}不是指数型数列．

对于数列{bn},对任意n,m∈N*,因为bn+m=4n+m=4n⋅4m=bn⋅b[解析](Ⅰ)利用指数数列的定义,判断即可；

(Ⅱ)利用a1=12,an=2anan+1+3an+1(n∈N*),说明数列{1an+1}是等比数列,然后证明数列{1an[解析]根据矩阵乘法法则计算．

本题考查了矩阵乘法计算,属于基础题．

22.[答案]解：∵f(λ)=λ-1-21λ-4=λ2-5λ+6,

由f(λ)=0,解得λ=2或3．

当λ=2时,对应的一个特征向量为α1=1[解析]令f(λ)=λ-1-21λ-4=λ2-5λ+6=0,解得λ=2或3.分别对应的一个特征向量为12；11.设35=m12+n11.解得m,n,即可得出．

本题考查了矩阵与变换、特征向量,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．

23.[答案]解：因为PA⊥PD,PA⊥AB,AD⊥