高中的常见函数图像与基本性质

..常见函数性质汇总及简单评议对称变换xxybOf<x>=b常数函数f<x>=b<b∈R>1、y=a和x=a的图像和走势2、图象及其性质：函数f<x>的图象是平行于x轴或与x轴重合〔垂直于y轴的直线xyOf<x>=kx+b一次函数f<x>=kx+xyOf<x>=kx+b1>、两种常用的一次函数形式:斜截式——点斜式——2、对斜截式而言,k、b的正负在直角坐标系中对应的图像走势：3、|k|越大,图象越陡；|k|越小,图象越平缓4、定义域：R值域：R单调性：当k>0时；当k<0时奇偶性：当b=0时,函数f<x>为奇函数；当b≠0时,函数f<x>没有奇偶性；反函数：有反函数〔特殊情况下：K=±1并且b=0的时候。补充：反函数定义：RR例题：定义在r上的函数y=f〔x;y=g〔x都有反函数,且f〔x-1和g-1<x>函数的图像关于y=x对称,若g〔5=2016,求f〔4=周期性：无5、一次函数与其它函数之间的练习1、常用解题方法：2点关于直线〔点对称,求点的坐标2点关于直线〔点对称,求点的坐标2、与曲线函数的联合运用反比例函数f<x>=<k≠0,k值不相等永不相交；k越大,离坐标轴越远>xyOf<x>=图象及其性质：永不相交,渐趋平行；当k>0时,函数f<x>的图象分别在第一、第三象限；当k<0xyOf<x>=双曲线型曲线,x轴与y轴分别是曲线的两条渐近线；既是中心对成图形也是轴对称图形定义域：值域：单调性：当k>0时；当k<0时周期性：无奇偶性：奇函数反函数：原函数本身补充：1、反比例函数的性质2、与曲线函数的联合运用〔常考查有无交点、交点围城图行的面积——入手点常有两个——⑴直接带入,利用二次函数判别式计算未知数的取值；⑵利用斜率,数形结合判断未知数取值〔计算面积基本方法也基于此3、反函数变形〔如右图1、y=1/〔x-2和y=1/x-2的图像移动比较2、y=1/<-x>和y=-〔1/x图像移动比较3、f<x>=<c≠0且d≠0>〔补充一下分离常数〔对比标准反比例函数,总结各项内容xyxyOf<x>=一般式：顶点式：两根式：图象及其性质：①图形为抛物线,对称轴为,顶点坐标为②当时,开口向上,有最低点当时。。。。。③当=>0时,函数图象与轴有两个交点〔；当<0时,函数图象与轴有一个交点〔；当=0时,函数图象与轴没有交点。④关系定义域：R值域：当时,值域为〔；当时,值域为〔单调性：当时；当时.奇偶性：b=/≠0反函数：定义域范围内无反函数,在单调区间内有反函数周期性：无补充：1、a的正/负；大/小与和函数图象的大致走向〔所以,a决定二次函数的2、3、二次函数的对称问题：关于x轴对称；关于y轴对称；关于原点对称；关于〔m,n对称4、二次函数常见入题考法：⑴交点〔交点之间的距离⑵值域、最值、极值、单调性⑶数形结合判断图形走势〔选择题指数函数xyOxyOf<x>=f<x>=图象及其性质：1、恒过,无限靠近轴；2、与关于轴对称；但均不具有奇偶性。3、在y轴右边"底大图高"；在y轴左边"底大图低"——靠近关系定义域：R值域：单调性：当时；当时。奇偶性：无反函数：对数函数周期性：无补充：1、2、图形变换Log21/x和Log2-xln〔x-1和lnx-1xxyOf<x>=f<x>=对数函数〔和指数函数互为反函数图象及其性质：①恒过,无限靠近轴；②与关于轴对称；③x＞1时"底大图低"；0＜x＜1时"底大图高"〔理解记忆定义域：R值域：单调性：当时；当时；奇偶性：无反函数：指数函数周期性：无补充：1、双钩函数〔变形式图象及其性质：①两条渐近线：②最值计算：定义域：值域：单调性：奇偶性：奇函数反函数：定义域内无反函数周期性：无注意:双沟函数在最值、数形结合、单调性的考察中用得较多,需特别注意最值得算法幂函数〔考察时,一般不会太难无论n取任何实数,幂函数图象必然经过第一象限,并且一定不经过第四象限。不需要背记,只要能够快速画出n=±1,±1/2,±3,,1/3,0,的图象就行注意：掌握y=x3的图像；掌握y=ax3+bx2+cx+d的图像<当a>0,当a<0时>；补充：利用数形结合,判断非常规方程的根的取值范围。例：P393,例题10函数图象变换一．平移变换二．对称变换①y＝f〔－x与y＝f〔x关于y轴对称；②y＝－f〔x与y＝f〔x关于x轴对称；③y＝－f〔－x与y＝f〔x关于原点对称；④y＝f－1〔x与y＝f〔x关于直线y＝x对称；⑤y＝|f〔x|的图象可将y＝f〔x的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方,其余部分不变．⑥y＝f〔|x|的图象：可将y＝f〔x,x≥0的部分作出,再利用偶函数关于y轴的对称性．三、伸缩变换①y＝Af〔x〔A＞0的图象,可将y＝f〔x图象上每一点的纵坐标伸〔A＞1缩〔0＜A＜1到原来的A倍,横坐标不变而得到．②y＝f〔ax〔a＞0的图象,可将y＝f〔x的图象上每一点的横坐标伸〔0＜a＜1缩〔a＞1到原来的,纵坐标不变而得到．四、函数及图象<大致图象>典型例题精讲例1：已知y＝f〔x的图象如图2—7所示,则下列式子中能作为f〔x的解析式是〔AA．B．x2－2|x|＋1C．|x2－1|D．解析：当f〔x＝时,其图象恰好是上图．例2：画出函数y＝lg|x＋1|的图象．解析：y＝lg|x＋1|．例3：要将函数y＝的图象通过平移变换得到y＝的图象,需经过怎样的变换？解析：y＝－1,先沿x轴方向向左平移1个单位,再沿y轴方向向上平移1个单位,即可得到y＝的图象．例4：方程kx＝有两个不相等的实根,求实数k的取值范围．解析：设y1＝kx①y2＝②方程①表示过原点的直线,方程②表示半圆,其圆心〔2,0,半径为1,如图2—9．易知当OA与半圆相切时,,故当0≤k＜时,直线与半圆有两个交点,即0≤k＜时,原方程有两个不相等的实根．例5：作函数f〔x＝x＋的图象．分析：f〔x＝x＋不能由已知函数图象变换得到,故需对函数f〔x的性质进行研究．解析：函数的定义域是〔－∞,0∪〔0,＋∞,∵f〔－x＝－f〔x,∴f〔x是〔－∞,0∪〔0,＋∞上的奇函数,又|f〔x|＝|x＋|＝|x|＋≥2,当且仅当|x|＝1时等号成立,∴当x>0时y≥2；当x<0时,y≤－2；当x∈〔0,1时函数为减函数,且急剧递减；当x∈［1,＋∞时函数为增函数,且缓慢递增,又x≠0,y≠0,∴图象与坐标轴无交点,且y轴是渐近线,作出第一象限的函数的图象,再利用对称性可得函数在定义域上的图象,如图2—10所示．评述：〔1熟悉各种基本函数图的"原型"是函数作图的一项基本功；先研究函数的性质,再利用性质作图则能减少作图的盲目性,提高图象的准确性．〔2与图象有关的"辅助线"要用虚线作,以起到定形、定性、定位、定量的作用．例6：f〔x是定义在区间［－c,c］上的奇函数,其图象如图所示．令g〔x＝af〔x＋b,则下列关于函数g〔x的叙述正确的是〔BA．若a<0,则函数g〔x的图象关于原点对称B．若a＝－1,－2<b<0,则方程g〔x＝0有大于2的实根C．若a≠0,b＝2,则方程g〔x＝0有两个实根D．若a≥1,b<2,则方程g〔x＝0有三个实根解析：将f〔x图象上每点的纵坐标变为原来的a倍,横坐标不变,再将所得图象向上〔b>0或向下〔b<0平移|b|个单位,得g〔x＝af〔x＋b的图象．例6：<全国Ⅱ>把函数y＝ex的图象按向量＝<2,3>平移,得到y＝f<x>的图象,则f<x>＝<C>ex－3＋2<B>ex＋3－2<C>ex－2＋3<D>ex＋2－3例7：<XX模拟>如图为函数y＝m＋的图象,其中m,n为常数,则下列结论正确的是<D><A>m<0,n>1<B>m>O,n>l<C>m>O,0<n<1<D>m<0,0<n<1例8：<XX模拟>函数y＝e－｜x－1｜的图象大致是<D>例9：在直角坐标系xOy中,已知△AOB三边所在直线的方程分别为x＝0,y＝0,2x＋3y＝30,则△AOB内部和边上整点〔即横、纵坐标均为整数的点的总数是〔BA．95 B．91 C．88 D．75解析：画出图象,补形做出长方形AOBC,共有整点数11×16＝176,而六点〔0,10,〔3,8,〔6,6,〔9,4,〔12,2,〔15,0在长方形的对角线上,所以符合题意的点数为〔176＋6×＝91．例10：将函数y＝logx的图象沿x轴方向向右平移一个单位,得到图象C,图象C1与C关于原点对称,图象C2与C1关于直线y＝x对称,那么C2对应的函数解析式是_____．解析：C:y＝log〔x－1；由－y＝log〔－x－1得C1:y＝log2〔－x－1；求C1的反函数得y＝－1－2x．例11：若函数y＝｜－x2＋4x－3｜的图象C与直线y＝kx相交于点M〔2,1,那么曲线C与该直线有个交点．解析：〔数形结合法作y＝｜－x2＋4x－3｜的图象,知其顶点在M〔2,1．过原点与点M〔2,1作直线y＝kx,如图．∴曲线C与直线y＝kx有四个交点．例12：作函数y＝〔|x－1|的图象．解析:〔1y＝故它在区间［1,＋∞上的图象,可由y＝2－x〔x≥0的图象沿x轴方向向右平移1个单位得到在区间〔－∞,1上的图象,可由y＝2x〔x<0的图象沿x轴方向向右平移1个单位得到．例13：已知函数y＝f〔x〔x∈R满足f〔a＋x＝f〔a－x,求证y＝f〔x的图象关于直线x＝a对称．证明:设p〔x0,y0是y＝f〔x图象上的任一点,则有y0＝f〔x0,设点P关于直线x＝a的对称点为p′〔x′,y′,则有,即由y0＝f〔x0y′＝f［a－〔a－x′］＝f〔x′．即点p′〔x′,y′也在y＝f〔x的图象上．∴y＝f〔