小学奥数容斥原理教案

小学奥数容斥原理教案【篇一：四年级奥数讲义：容斥原理 （1）】四年级数学讲义奥数：容斥原理 （1）教学目标：1、理解容斥原理，会画图分析其中关系，正确的找出答案。、培养学生的逻辑思维和数学思考能力。、培养学生良好的书写习惯。一、教学衔接二、教学内容（一）知识介绍容斥问题涉及到一个重要原理 ——包含与排除原理，也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。容斥原理：对 n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质 a分类与性质b分类（如图），那么具有性质 a或性质b的事物的个数=na＋nb－nab。（二）例题精讲 nanb例1、一个班有 48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。【思路导航】完成语文作业的有 37人，完成数学作业的有 42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。例2、某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有 25人，答对第二题的有 23人，两题都答对的有 15人。问多少个同学两题都答得不对？【分析与解答】已知答对第一题的有 25人，两题都答对的有 15人，可以求出只答对第一题的有 25－15=10人。又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。所以，两题都答得不对的有 36－33=3人。例3、某班有56人，参加语文竞赛的有 28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有 25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？【分析与解答】要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人。例4、1到100的自然数中，既不是 5的倍数也不是 6的倍数的数有多少个？例5、光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有 24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有 10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？【分析与解答】由题意知，24幅作品是一、二、三、四、六年级参展作品的总数，22幅是一、二、三、三、教学练习、五年级有 122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有 65人，数学优秀的有 87人。语文、数学都优秀的有多少人？、五（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加科技小组，有 19人两个小组都参加了。那么，有多少人两个小组都没有参加？、一个旅行社有 36人，其中会英语的有 24人，会法语的有 18人，两样都不会的有 4人。两样都会的有多少人？、在1到200的全部自然数中，既不是 5的倍数又不是 8的倍数的数有多少个？、科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有110件不是一年级的，有100件不是二年级的，一、二年级参展的作品共有 32件。其他年级参展的作品共有多少件？四、教学小结六、课后练习、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有 24人，会弹电子琴的有 17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共有多少人？、某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，结果 3人两项比赛都获奖了，有 27人两项比赛都没有获奖。已知作文比赛获奖的有14人，问数学比赛获奖的有多少人？、三年级一班参加合唱队的有 40人，参加舞蹈队的有 20人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有 14人。这两队都没有参加的有 10人。请算一算，这个班共有多少人？、在1到130的全部自然数中，既不是 6的倍数又不是 5的倍数的数有多少个？、六（ 1）儿童节那天，学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品，其中有 25幅画不是三年级的，有 19幅画不是四年级的，三、四两个年级参展的画共有 8幅。其他年级参展的画共有多少幅？【篇二：小学奥数之容斥原理】容斥原理（一）【例题分析】例1.有长8厘米，宽6厘米的长方形与边长 5厘米的正方形。如图放在桌面上，求这两个图形盖住桌面的面积？分析与解：阴影部分是直角三角形，是两个图形的重叠部分，它的面积是：方法一：方法二：方法三：（平方厘米）（平方厘米）（平方厘米）（平方厘米）答：盖住桌面的面积是 67平方厘米。例2.六一班参加无线电小组和航模小组的共 26人，其中参加无线电小组的有 17人，参加航模小组的有14人，两组都参加的有多少人？分析与解：把 17人和14人相加，是把两组都参加的人算了两次，所以减去总人数，就是两组都参加的人数（人）。也可以这样解：或（人）（人）答：两组都参加的有 5人。例3.六一班有学生 46人，其中会骑自行车的有 19人，会游泳的有25人，既会骑车又会游泳的有7人，既不会骑自行车又不会游泳的有多少人？分析与解：先求出46人中会骑车或会游泳的有多少人，从中减去会骑车或会游泳的人数，剩下的就是既不会骑车也不会游泳的人数。（人）（人）答：既不会骑车又不会游泳的有 9人。例4.某年级的课外小组分为美术、音乐、手工三个小组，参加美术小组有20人，参加音乐小组有24人，参加手工小组有 31人，同时参加美术和音乐两个小组有 5人，同时参加音乐和手工两个小组有6人，同时参加美术和手工两个小组的有 7人，三个小组都参加的有3人，这个年级参加课外小组的同学共有多少人？分析与解：图中的5、6、7人都是两两重叠的部分，图中的3人是三个重叠的部分，要从三个组的总人数中减去重复多余的部分。（人）答：这个年级参加课外小组的有 60人。分析与解：根据题意画出如下图要求全班有多少人，先要求出跑、跳、投至少有一项达到优秀的人数，加上三项都未达到优秀的，就是全班人数。（人）（人）答：全班有 42人。例6.分母是105的最简真分数有多少个？分析与解：这些分数是最简真分数，所以分子应小于105，只能是1—104中的自然数，而且分子与 105要互质。因为，所以分母不能是3的倍数或5的倍数或7的倍数。所以，要求有多少个最简真分数，实际上就是求 1—104这104个自然数中不能被 3、5、7整除的数有多少个。因此要先求出能被 3整除或能被 5整除或能被 7整除的数有多少个。能被 3 整除的数：能被 5 整除的数：能被 7 整除的数：能同时被 3 和 5 整除的数：能同时被 3 和 7 整除的数：能同时被 5 和 7 整除的数：（个）（个）（个）（个）（个）答：分母是 105的最简真分数有 48个。【模拟试题】（答题时间：30分钟）有三个面积各为50平方厘米的圆放在桌面上，两两相交的面积分别是8、10、12平方厘米，三个圆相交的面积是 5平方厘米，求三个圆盖住桌面的面积？某区有100名外语教师懂英语或日语，其中懂英语的有 75名，既懂英语又懂日语的有 20人。只懂日语的有多少名？某班数学测验时有 10人得优，英语得优有 12人，两门都得优有3人，两门都没得优的有 26人。全班有多少人？六年级一班春游，带矿泉水的有 18人，带水果的有 16人，这两种至少带一种的有 28人，求两种都带的有多少人？在1至100的自然数中，不能被 2整除的数或不能被 3整除或不能被5整除的数共有多少个？容斥原理（二）【例题分析】例1.有25人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到优秀。第一次达到优秀的有 10人，第二次达到优秀的有 13人，第三次达到优秀的有 15人，三次都达到优秀的只有 1人。只有两次达到优秀的有多少人？分析与解：“每人至少有一次达到优秀 ”说明没有三次都没达到优秀的。要求只有两次达到优秀的人数，就是求重叠两层的部分（图中阴影部分）。（人）答：只有两次达到优秀的有 11人。例2.在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有 6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有 3人，只要冰棍和雪碧的没有，只要汽水和雪碧的有 1人；三样都要的有 1人。问：共有几个小朋友去了冷饮店？分析与解：根据题意画图。方法一：方法二：（人）（人）答：共有10个小朋友去了冷饮