数学物理方法复习提纲

复变函数论复变函：若在复数平面上存在一个点，对中的每一z，按照一定的规律，有一个或多个复数与相对应则说在点E上定义了一个复变函数记作：w点E叫函数的定义域令：wu，并iy代入，则有：xu

初等复函数：指数函：e

z

xiy

x

iy

x

(cosy三角函：

coszeizeiz,,cosz1）因2)z所具实周22为无界函数。31

z)212

12s(z)so1212

cos12

szco1双曲线数：shz

11shzeez，chzze，thz22chz对数函：wuivLnzlnziArgz幂函数ze

e

Argz

（为复常数）一般指函数：

e

e

zln

e

（为复常数）复变函的导数：设w是在区上定义的单值函数，对的某点如果极限z0

wz

limz0

z

存在，则称函数在z处导，此极限叫作函w在z处的导数，表示为:limz0

wz

limz0

zdz

f复变函可导的充要件：复变函w导的充要条件是偏导数第1页

共页y)x,)x)x)，，，存在、连续，并且满足柯西-黎曼条件，即：yxy)x,)x)，解析函全纯函，正则数)：如果函数(z)在点及其邻域内处处可导，那么称f()0在z点解析如果()区域内每一点都解析那么称z)E内解析或称z)E0内的一个解析函数。注：f(z)在某点z解在该点可该点连该点有极限0区域解析区域可导，即解析函数是函数在一个区域上的性质，而不是在一些孤立点上的性质。解析函数在定义域内的和、差、积、商（分母不为零）仍然为解析函数.●设给定二元调和函u()作为解析函数fz)iv的实部由柯西-黎曼条件可求出相应的虚部，进而确定这个解析函数。设二元函v(y)的全微式为：

dxdy考虑柯西-黎曼条件可得：dvv(y)三种计算方：

dxdy（1）曲线分法：微分的线积分与路径无关，可选取特殊路径积分，使积分容易求出（2）凑全分显式：（3）不定分法

dxdy成全微分的显式，求(xy)。例题已知解析函数f()实ux,)

2

y

2

，求虚部和这个解析函数容易验u(xy)y为调和函数：

x,yx,y0由柯西-黎曼条件可得：

x),y)y

x),y)x所以有

dxdy2ydxxdy(1)曲线积分法：第页

共页

(,y)

(图取如图1示的积分路径，可求出积分v

(,0)(xy)()2xdyxdy(0,0)

(x(x其C为积分常数。(2)凑全微分显式法：所以有;xy

dxdyxdy)(3)不定积分法：

x,)

x

，

x)

2y把视为参数，

x,)

xy积分可得v)xy)v2

()偏导数vy与

x)

2y比较可得0)所以v

))可得v所以有：f(z)x,)iv,y)

2

y

2

)(2)

2

iC可把

z,y代入上式求出2i复变函积分:复变函数的分归为两个变函的曲线分：

f(z)dz

[u(,y)(xy)](dx)

(,y)dx(x,)

v(,y),)llll若曲l由参数方程xt)，(t)t给出2则dzdxidy

dtx

dtiy

dt，可得积分的计算公式第页

共页tttttt

fz)

[x)(,y)](idy)

t

{u[x(t),y(t)]iv[t),t)]}

dtl

lt

{u[x(t),y(t)][t),t)]}[x

iy

dtt

{u[x(t),y(t)]x

(t),t)]

{[x(),y()]

[x(),y()]y

)}t高阶导公式

t设f(z在区域E是解析的，在闭区E上是连续的l为的边界，对于区域E内的任一点z，)可以求导任意多次，阶导数可表示为：f

(n)

(

!f(i2l()n

上式可看作在柯西公式f()

fi2l

对求n导，其中等式右边在积分号内对f

关于

n

次导。幂级数

c(z)n0

n

(z)c(z)0100

n

n其中：系和固定点z都是复常数是一个复变量nc幂级数敛半径的比判别法达朗贝尔判法：Rc幂级数敛半径的根判别法柯西判别法Rlimcnn奇点法级数中到最近奇点的距离即为收敛圆的半径0收敛圆0泰勒级：理：函数()区域上是解析的为区域E内任一点，在区内的0C:中，)可以展开为泰勒级数：0f(z)(z)nnn

n

1!

f()(z)()00

n泰勒级数的收敛半径z到区域E的边界的最短距离0将函数开为泰勒级的方法1．接计算数cn

1n!

f

(n)

()：题.z为中心，将f(z)0

z

展开为泰勒级数。第页

共页000000解：f(z)

z

的各阶导数为f

()

()

z

cn

1f(nz0)n!

z

z

1n!所以e

zz!

nn!n2.换元法：例题.试分别以z及为中心将函数(z)0并指出其收敛半径.

zz

展开成Taylor级数，解：利用级数z

，z展开(z)zz以z中心，则有：f(z)(nzz)n

zf()的奇点是，从中0到z的距离为，所以收敛半R。03.在收敛圆内逐项求导(求分法例题以中心，将函数fz)0

1(1)

2

展开为Taylor级数解：已zn，，等式左边对z求导，右边对逐项求导可得：11()nzn(1(1n

n

，洛朗定：函数()环形区内解析则)可在环形区域内任一点10

展开为罗朗级数，其形式为：(z

c

(z)n

nn其中展开系数为：

cn

1i2

l

f)0

n

d积分路l为环形区域内绕z的任一简单闭合曲线。0罗朗级数中(z()称为展开式的正则部分，(z)12

c(z)n0

n

称为主要部n

n分。罗级数f(z)

c

n

()0

n

在环形域z内绝对一致收n罗朗级展开方法举z例题将函数f()在z中心的环形区0z展开为罗朗级数。z第页

共页ez1解：f()zz2

nz!nn

n!zzn在上式中，再l写n可得：()z2(n2)!例题已知函数(z

1z2

，以为中心将函数f(z)开成罗朗级数0解：已知f()

z

2

111z2z上式中的第二项

12z

有一个奇点，所以在z为圆心的圆周z内，0

12z

可以展开为泰勒级数

11z4

z(n()z)n

111所以有：fz)(z2z2zn

n

2

1n

(0z孤立奇若函数fz)在不可导无定义)，而在的任意小邻域内除外处处可00导，则称点是)的一个孤立奇点。0孤立奇的分类及其定(1)可去奇：极limf()存在，则称z为fz)的可去奇点。0zz(2)极点零点：不恒为零的解析函数()如果能表示成f(z0

)其为正整数)在z点解析，0

(z)0，那么z为f()阶零点。0零点判定理：果函数(z)在点解析，那么为f(z阶零0(f)00

(

)0

)0例如：z为f(zz

3

的一阶零点极点：如果函数f(z其孤立奇点邻域内的罗朗级数中的主要部分为有限项0f()

c()n

cm(z)m()m

(z)(z)()则称为函数()阶极点。上式也可表示为(z)0第页共页

(z)()0

，其中n010n010()

c

c

m

(

)

z

)

m

c(z

)

对于(z)，()0且z邻域内的解析函数0(3)本奇点：函数()其孤立奇点邻域内的罗朗级数中的主要部分有无限项0留数概：若点z是函数f(z)的一个孤立奇点，函数f()环形区域内解析，则在此0环形区域内，f(z)可展开成罗朗级数f(z)

c(z)n

n

()0

c(z)0

(z)010

1

(z)n0

n

n罗朗级数(

c()0

(z)0

项的系数

1i2

f()dz

叫作函数f(z)在点0的留数（残数，Re[fzz]。0留数定：设函数f()在简单闭合曲所围区域E内除有限个孤立奇点z,,外处12处解析，在闭区域E上z,z,外连续，则有1

f(z)dz2

k

Re[(),]k其中沿曲C的积分方向为逆时针方向。留数的算(1)若为f(z)的可去奇点为中心的罗朗级数中不含负幂次项，则s[f),]000(2).若点z为z)的一阶极点s[f(zz])f(z)]00z若函数z)可以表示为fz)

()(

的特殊形式，其中函数P()(z)都在点解析，点0z(z)的一阶零点（)0Pz，z必为f(00

()(

的一阶极点，则有公式Re[(z),z]lim[()f(z)]lim[0z

()()]0()(z))00z0(3).若z为z)的m阶极点，则函数(z)环形区域内的罗朗级数展开式0为：(z)

c(z)m(z)0

m

c()(z)0可容易得到计算f(z)在点z的留数的公式：0第页

共页llili00llili001dms[f(),]lim[()mf(z)](zdz(4).若z为z)的本性奇点，求留数采用罗朗级数展开法或直接计算围道积分。0●复数形式的傅里叶级数：

S(x)

i

，ck

l

fxe

dx，对于复数形式的傅里叶级数，尽管f)是变函数，但其傅立叶系却可能是复数。k容易证明：在区[l]上的函数{

i

:0,}有如下性质：

kel

(e

i

ml

)dx

kel

e

ml

dx

02l

kmkm数：如果一个函数x上满足下列条件：(1)

x()xx

0(2)

(a,都，都x)(x)a)这样的函

()称函数。0数等价的泛定义：若对于任意一个定义(的连续函数f)总有：fx)

()fx)dx数方分离变法解题的一步骤(1)代入试探u(x,t)X(xT(t)将偏微分方程的定解问题通过分离变量转化方程的定解问题。

为常微分(2)依据齐次边界条件，确定本征本征函数X()。n(3)求解关于Tt)的常微分方程的通解T(t)，把得到的通解与本征函数相乘得到本征解n(x,t)(xT(t)，这时本征x,t中还包含着任意常数。nnn(4)利用叠加原理，求出定解问题的u(t)(,t)。nn(5)应用本征函数的正交性以及初始条件确定任意常数。第页

共页l2lnC2kll2lnC2kl例题：细杆的导热题，杆为l，两保持为氏零度，初温度分为：u

t

xl)l

。解：本题的定解问题为：a2xt0)xt)(t)(txl)(t),)t应用分离变量法，x,t)X(x)T()，代入到泛定方程和边界条件可得：①

X)X0,(l0②

TT()0①式的本征n

(

nl

),(n

n)，本征解X(xAxnn)l②式的解为T()Bnn则本题的本征解u(x,t)X(x)Tt)nnnn

l

)t

sin

l

x其中待定常AB。n本题的(x,t)表示为本征(x,t)的线性叠加：nx,t)(x)nn

nl

)t

nl

x代入初始条件可得：

xlnu(x,0)sixl2ln展开系数为n

Cl(lsinll2l

0(2

3

(

)所以问题的解为u(,t

k

8k

3

sin

(2kl

xe

(2k

a

t用本征数展开法求非齐次程●齐次界条件和零始条件齐次定解条）下的齐次方程的解问题第页

共页lnnnnnnlnnnnnn例．设有如下定解问题2f(t(0xt0)(0)x)tt则用本征函数展开法求解的步骤如下：第一步.求解相应齐次边界条件的齐次方程的本征解2t0)V0(0)xxn由分离变量法（参考例1）可得本征解(xsinx()第二步.设非齐次方程的本征解(x,t)()(t)(t)sinnn表示为本征解的线性叠加：

nl

x非齐次方程的解可(x,t)(x,)t)nn

nl

x第三步.把非齐次方程中的自由项用本征解,()lf(xt()sinnn

l

x其中展开系数f(t)由本征

nl

x正交性求出如下f(tn

2l

l0

nf(,t)sinln第四把非齐次方程的(,t)()和(xt)f()sin入到定解lln问题中的泛定方程可得：a2f(x,t)nTx2()T()sinf()sinlllln第页

共页ttnntttnnt考虑到本征sin

nl

x正交性，由上式可得：Tn

2

n()l

2

T(t)(t)nn同理，把非齐次方程的V(x,t)()

nl

x代入到初始条件可得：nVsinxsinx0llnnTnn则可得关Tt)定解问题：nn)T()(t)l(0)0n上式可由拉普拉斯变换来求解，所得的解如下：T()f(t)n

lltanlan

t0

fn

an)(l

)d第五步.T(t)代(x,t)n

(,t)n

T()sin

l

x得到非齐次方程的定解问题的解为：l(t[ann

0

fn

)sin

anntxll由上面的推导可知解满足泛定方程，齐次边界条件和零初始条件。对于齐次边界条件和非零初始条件的非齐次方程的定解问题的求解，可由叠加定理化为齐次边界条件和非零初始条件的齐次方程，以及齐次边界条件和零初始条件的非齐次方程的定解问题的线性叠加。例．已知如下的次边界件和非零初条件的齐次方程的解问题Ua2f(x,t),t0)(0)),)(0x)ttU(x(xt)()，叠加定理可得如下两个关V(x,t)(x,)的定解问题：第页

共页xx2f(t(0x,t(0)x)tt2,(0xlt0)(t0)),x)tt关(x,t)(t)定解问题的线性叠加即为原来的定解问题。它们的求解可用前面介绍的特征函数展开法以及分离变量法求解。二阶线常微分方程标准形为：

2(x)2

p(x)

dy(x)dx

x(x例如：勒让德方程：

d(1)x(d2xn(2(12)

2

2

2

)y()0例如：贝塞尔方程：

2y()02二阶线性常微分方程中的函数(x)，(x)和(x在某个区[b]内为实函数，而对方程级数解法的讨论需要在复数平面上进行。不失一般性，我们讨论复变函(z二阶线性常微分方程

2wz)2

z)

dw(

z)()0

(1)在满足初始条件(z)，)下的级数解，其C为任意给定的复常数。00010施图姆刘维尔(SL)本征值题施图姆刘维尔(SL)型方程：式为

ddy[(x)])ydxdx

(x)(ax)的二阶常微分方程称为施图姆－刘维尔(型方程，其中：()为核函数离变量过程中引入的参数。

()为权函数为分第页

共页a(x)dxa()a(x)dxa(x)dxa()a(x)dx注：一般的二阶常微分方程)y

c()y0乘上函

()dx

就可以化成施图姆－刘维尔(型方程：ddx

[e

(x]

[(x)]y施图姆刘维尔(SL)本值问题：在一定的边界条件下，求解施图姆－刘维(SL)方程值(本征值以及相应的非零解(本征函数)。如：在施图姆－刘维尔SL)方程中：(1)取(x)

2

，()0)两边界b以及自然边界条件和y为有限值，则可构如下的勒让德方程本征值问题

dydydy[(1)](1)xdxdxdx2dx自然边界条件：y(有限有限(2)取(x)qx)

m1

2

)，两边界ab，以及自然边界条件y(和(1)为有限值，则可构成如下的连带勒让德方程本征值问题

md2ydy[(1)]))ydxdx22自然边界条件：y(限，(1)有限(3)取p(xx()

2x

，

(x)，两边界a0b以及边界条件y(0)有，y()，则可构成如下的贝塞尔方程本征值问题

dy2ydy2[]0x0dxdxxx有限，()方程的点如果方程(的系数函数p(z)(在选定点的邻域内都是解析的称0点z为方程(1)的常点。0●方程点邻域内的数解：定理：果()(z)在圆内是单值解析的，则方程在这圆内存在唯一的解析w(z满足初始条件()，)，其C为任意给定的复常数。001既然方程(1)在常点z的邻域R内存在唯一的解析(z)()表示为此邻域0第页

共页上的泰勒级数：(z()n0n

n

,(R)0其中系a,,a待定。012n(例如：勒让德方程y02122其中p)

2xn，p)，则x为其常点，根据常点邻域内级数解的定理，121勒让德方程在x的邻域内具有泰勒级数形式的解(x)akk●勒让德方程的导出勒让德方程来源于在球坐标系下用分离变量法求解偏微分方程。r图如图8-1为球坐标系的示意图，球坐标与直角坐标的关系为：

k

。

ii

zro三维拉普拉斯方程在球坐标系下的表达式为：

111u(r2))rr2sinr2sin2

0应用分离变量法求解，u(r(r)，代入方程可得：ddd2r)R)r2rddr2sin2dr2用乘以上式可得：R

第页

共页1d2(r))drdsin2d

0

1112(r))sinddsin2等式左端只与r有关，右端只与有关，要使等式成立只有左右两端都等于一个常数，令这一常数(n，则可得：

ddRdR(r)(rr(n0drdrdrd2)nnsindd12(sin)(sindd其中①式为欧拉型方程，r

t

，参考第七章例4可得其解解为：R(rr1

n

r2

n②式中等式左端只与

有关，右端只有关，由周期性条可令等式两端都等于常

2

(m

0,1,2,)

，则可得：d20Bmsind③

d)(n2ddd)(]0sindsin2上式③称n阶连带勒让德方程。在③式中作变量替换，令

，有，

)(x)则可得：dddxddx1d1dy)(2)2)]sindsindxdxdx则③式n阶连带勒让德方程可化为：dym22)]nn]0dxdx第页

共页nn亦即：

2)

ydy22dx1

2

]0其值为有限的解是连带勒让德多项式Pn

(x)。，在这种条件下(r无关，n阶连带勒让德方程可进一步简化为勒让德方程：

2

ydy)(ny02dx总结：球坐标系中三维拉普拉斯方程的解为：u(r(rnArr)mnmmn

n

rn

nm

r

)Pmsinnnm●勒让方程和自然界条件成的本征值题在球坐标系中分离变量已得勒让德方程：

2

ydy2dy(n)nyy02dxdx212dx2勒让德方程的解在边界有限值的自然边界条件勒让德项式的微分示（罗里格斯公式P()(xn!dx

2

n勒让德多项式为勒让德方

2

2)x2

(n足自然边界条件，即在两端点x为有限值的本征解。勒让德项式的积分示（拉拉斯积分：复变函数中解析函数的