优化设计习题题目练习

CHENGCHENGCHENGCHENG一、 填空题用最速下降法求fx

xx2

)x1

2最优解时，设x00.5,0.5T,第一步迭代的搜索方向为[103 -100]T。。的情况下，在任何局部最优解就是全域最优解。高--低--高。包含n个设计变量的优化问题，称为 n 维优化问题。

1xTHxBTxc的梯度为 。2G为nn对称正定矩阵，若n维空间中有两个非零向量d0d1,满足d0 Gd10，则d0d1共轭关系。下降方向，与梯度成直角的方向为函数值的方向。是优化设计问题的数学模型的基本要素。对于无约束二元函数fx

x ,x

点处取得极小值，其必要条件1 2 0 12 34是在x0

点的梯度为0,充分条件是在x0

点的海赛矩阵正定。K-T条件可以叙述为在极值点处目标函数的负梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。用黄金分割法求一元函数fxx210x36的极值点，初始搜索区间a,b10,10，经第一次区间消去后得到新区间【-2.36,10】。设计变量，目标函数，约束条件。牛顿法搜索方向dk(2f点附近位置。

xk)1f

xk ，其计算是，且要求初始在级极小将函数

x

x2x

10x

601

xTHxBTxc的形式1 2 12 1 2 2为 。，向量dd，当满足(d)THd0向量d和向量dH共1 2 i j 1 2轭。采用外点法求约束优化问题时，将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚子r数列，具_r0r1r2 0_特点。。21、对于一维搜索，搜索区间为a,b，中间插入两个点a

，b，

b，计算出fa1

1

[ab]。1

1 1 1 122、由于确定搜索方向和最佳步长的方法不一致，派生出不同的无约束优化问题数值求解方法。23、内点惩罚函数求解约束优化问题过程中，惩罚因子具体有趋近于零变化规律。24、寻出等式约束极值条件时，将等式优化问题转化为无约束问题的方法有消元法和拉格朗日乘子法。25、优化问题中二元函数等值线，从外层向内层函数值逐渐变小。26、优化设计中，可行设计点为可行域内的设计点。27、方向倒数定义为函数在某点处沿某一方向的变化率。28、设fx为定义在凸集R上具有连续二阶导数的函数，则fx在R上为凸函数充分必要条件是海赛矩阵GxR上处处半正定。29、在n维空间中互相共轭的非零向量是个数最多有n个。30、约束优化问题在可行域内对设计变量求目标函数的极小点。31、外点惩罚函数法的迭代过程在可行域外进行，惩罚项的作用是迫使迭代点逼近边界或等式约束曲面。二、 选择题下面 C 方法需要求海赛矩阵。最速下降法共轭梯度法牛顿型法D.DFP法对于约束问题fxx2x24x41 2 2Yxxx2101Y x2

1 23x1Y xx03 2根据目标函数等值线和约束曲线，判断x1,T ，x2

3,1T为 。2 2内点；内点 外点；外点 内点；外点 外点；内点内点惩罚函数用于求解 B 优化问题。无约束优化问题 只含不等式的约束优化问题只含等式的优化问题 含有不等式和等式的约束的优化问题拉格朗日乘子法师求解等式约束优化问题的一种经典法，它是一种 D 。降维法消元法数学规划法升维法对于一维搜索，搜索区间为a,b，中间插入两个点aba1 1 1

b，计算出1fa1

fb1

，则缩短后的搜索区间为 D 。,b,b ,b1 1 1 1 1 1D 不是优化设计问题数学模型的基本要素。设计变量约束条件目标函数最佳步长xkxkak件是 C 。

Hf xk ，下列不属于Hk

必须满足的条A.H

之间有简单的迭代形式 拟牛顿条件k与海赛矩阵正定 对称正定函数fx在某点的梯度方向为函数在该点的 A 。最速上升方向上升方向最速下降方向下降方向下面四种无约束优化方法中， C 在构成搜索方向时没有使用到目标函数一阶或二阶导数。梯度法 牛顿法变尺度法 共轭梯度法设fx为定义在凸集R上且具有连续二阶导数的函数，则fx在R上为凸函数的充分必要条件是海赛矩阵Gx在R上处处 B 。正定 半正定负定 半负定通常情况下，下面四种算法中收敛速度最慢的是 B 。牛顿法 梯度法共轭梯度法 变尺度法一维搜索试探方法中，黄金分割法比二次插值法的收敛速度 D 。慢 快一样 不确定下列关于最常用的一维搜索试探方法———黄金分割法的叙述，错误的是D ，假设要求在区间a,b插入两点aaa1 2 1

a。2其缩短率为0.618

baC.a2

b

a

1D.在该方法中缩短搜索区间采用的外推法与梯度成锐角的方法为函数值 A 方向，与负梯度成锐角的方向为函数值B 方向，与梯度成直角的方向为函数值的 C 方向。上升 下降不变 为零二维目标函数的无约束极小点就是 A 。等值线族的一个共同中心 梯度为0的点全局最优解 海赛矩阵正最速下降法相邻两搜索方向dk和dk+1必为向量 B 。相切 正交成锐角 共轭下列关于共轭梯度法的叙述，错误的是 A 。需要求海赛矩阵除第一步以外的其余各步的搜索方向是将负梯度偏转一个角共轭梯度法具有二次收敛性D.第一步迭代的搜索方向为初始点的负梯度下列关于内点惩罚函数法的叙述，错误的是 A 。可用来求解含不等式约束和等式约束的优化问惩罚因子是不断递减的正值C.初始点应该选择一个离约束边界较远的点D.初始点必须在可行域内设fx是定义在凸集D上具有连续二阶导数的函数，则fx在D上严格凸函数的充要条件是 A :Hesse矩阵处处半正定 B.Hesse矩阵处处正定C.Hesse矩阵处处半负定 矩阵处处负下列几种无约束问题求解方法中，哪种算法需要计算海赛矩阵 A 。牛顿法 梯度法 C.共轭梯度法 变尺度法关于正交方向和共轭方向之间的关系，下列说法正确的是 D 。共轭矩阵是正交矩阵的特殊情况 共轭矩阵是正交矩阵的推C.n维空间中相互共轭的非零向量个数可以为任一数量 D.多元函数的海赛矩阵是其 B 偏导数所形成的对称矩阵。一阶 三阶 Ak

，下列说法不正确的是 C 。有简单的迭代形式 应满足拟牛顿条件k与海赛矩阵正交 应为对称正定关于梯度，下列说法不正确的是 D 。与切线方向垂直 是等值面的切线方是函数变化率最大的方向 函数最速下降方向与梯度成锐角的方向为函数值 A 方向。上升 下降 不变 为零三、 判断题1、二元函数等值线密度的区域函数值变化慢。（ⅹ）2、海赛矩阵正定的充要条件是它的各阶主子式都大于零。（√）3、当迭代接近极值点时，最速下降法会出现锯齿现象，导致收敛速度慢。（√）4、外点惩罚函数法的惩罚因子降低系数越小，则迭代次数越多。（√）5、梯度法求解无约束优化问题的迭代过程中相邻两次迭代方向对海赛矩阵共轭。（ⅹ）6、数值迭代法求极值的核心就是建立搜索方向和计算最佳步长。（√）7、海赛矩阵负定的充要条件是它的各阶主子式都大于零。（ⅹ）8、拉格朗日乘子法师求解无约束优化问题的一种方法。（ⅹ）9、凸规划的任何局部最优解就是全局最优解。（√）10、一维搜索的二次插值法用到了点的函数值，一阶导数和二阶导数信息。（ⅹ）11、二元函数等值线稀疏的区域函数值变化慢。（√）12、海赛矩阵正定的充要条件是它的主子式都小于零。（ⅹ）13、外点惩罚函数法师只试用于不等式约束问题（ⅹ）14、变尺度法求解优化问题时需计算海赛矩阵（ⅹ）15、梯度法求解无约束优化问题的迭代过程中相邻两次迭代方向相互垂直。四、 问答题1、什么是一维搜索问题？答：当方向dk给定时，求最佳步长

就是求一元函数kf(xk1)f(xkk

dk)(k

)的极值问题，它称为一维搜索。2、试述两种一维搜索方向的原理，它们之间有何区别？答：区间消去法：搜索区间确定之后，采用区间消去法逐步缩短搜索区间，从而找到极小点的数值近似解。黄金分割法：所谓黄金分割是指将一段线段分成两端的方法，使整段与较长段的比值等于较长段与较短段的比值，即1::(1)。3、共轭梯度法是利用梯度求共轭方向的，那共轭方向与梯度之间有什么关系？答：P70CHENGCHENGCHENGCHENG4、惩罚函数法求解约束优化问题的基本原理是什么？答：惩罚函数求解约束优化问题的基本原理是将约束优化问题minf(x)

g (x)0jh(x)0

(j1,2,,m)(k1,2,,l)k中的不等式和等式约束优化函数经过加权转化后，和原目标函数结合成新的目函数 惩罚函数，即(x,r,r)f(x)rmG(g(x))rl H(

(x))1 2 1 j 2 kjk求解该新的目标函数的无约束极小值，以期得到原问题的约束最优解。5、与最速下降法和牛顿法比较，试述变尺度法的特点？答：P74--776、在变尺度法中，为使变尺度矩阵Hk必须附加哪些条件？

与aTHk k答：（1）为保证迭代公式具有下降的性质，要求海塞矩阵中的每一个矩阵都是对称正定的。要求海塞矩阵之间具有简单的形式：H H E。kk k要求海塞矩阵必须满足拟牛顿条件。7试述数值解法求最佳步长因子的基本思路?答：8、写应用数学规划法求解优化设计问题的数值迭代公式，并说明公式中各变量的意义，并说明迭代公式的意义?答：9、变尺度的搜索方向是什么？变尺度矩阵应满足什么条件？变尺度矩阵在极小点处逼近什么矩阵？并写出其初始形式?CHENG答：10、在变尺度法中，变尺度矩阵H为什么要求都是对称正定的？k答：因为若要求搜索方向dk

Hg为下降方向，即要求gTdkk k

0，也就是gTHgk k

0，这样gTHgk kk

0

应为对称正定。k11、什么是共轭方向？满足什么关系？共轭与正交是什么关系？答：P6712、请写出应用MATLAB优化工具箱处理约束优化设计问题的基本步骤?答：（1）编写定义目标函数的M文件——fun1.m编写定义约束方程函数的Mcon.m求解格式为：x0=[-1,1]Options=optimset('LargeScal''off')[x,fval]=fmincon(@fun1,x0,[],[],[],[],[],[],@con,options)13、试述求解无约束优化问题的最速下降法与牛顿型方法的优缺点？答：最速下降法：由于它采用了函数的负梯度方向作为下一步的搜索方向，所以收敛速度比较慢，越是接近极值点收敛越慢14、为何优化设计的可行设计域和可行设计点？答：15、无约束优化问题数值求解的一般步骤是什么？答：（1）编写M文件，——fun1.m，定义目标函数文件。（2）在命令窗口中调用无约束线性函数fminunc求解。求解格式为：x0=[-1,1]Options=optimset('LargeScale''off')[x,fval]=fminunc(@fun1,x0,options)五、 解答题CHENGCHENGCHENGCHENGCHENG试用牛顿法求fxx1

22x1

2x2

2的最优解，设初始点x02,T。设有函数

X

x22x22xx4x

，试利用极值条件求其极值点和极值。1 2 12 1 试用梯度法求目标函数f X 1.5x20.5x2xx2x

的最优解，设初始点1 2 12 1x02,4T

，迭代精度0.02（迭代一步）。求目标函数

X x22x2xx4x6x

10的极值和极值点。1 2 12 1 2 试证明函数f X 2x25x2x22x

2x

3在点1,12T处具1有极小值。设非线性规划问题

2 3 3

31 2minfX=x1

22x22s.tg1

Xx01gXx 02 2gXx2x2103 1 2用T条件验证x00

为其约束最优点。给定约束优化问题minfX=x1

32x2

221s.tgXx2x2501gXx2

12x2

24013gXx013gXx 04 2 x

3,3

TK-T条件成立。用共轭梯度法求函数

x,x3x2 x2xx2x

的极小点11 2 2 1 2 2 12 11已知目标函数为fX=X1

X，受约束于2gXx2x 01 1 2g