船舶结构力学课件2.2矩形板弯曲理论

矩形板的弯曲理2.2.12.2.2板的筒形弯2.2.32.2.42.2.5刚性板弯曲的能量解概船体板弯曲问主要应力：弯曲正 要变形：挠属薄板范

1

，舱壁 板的应力应变状TT

不计z（远小于另两方向正应力T zxT T T

z

不计z方向挤压，平断面假 T T应力应变关一般两个方向弯曲，较梁弯曲复杂；最简单情况筒形弯曲板的筒形弯筒形板的横弯曲（一般弯曲筒形弯曲条边长比载筒形板变形特取板条跨长？约束（（1）筒形板的横弯曲（一般弯曲与梁弯曲的异板条 (b)普通

令D为弯曲刚度（筒形刚度板条梁弯曲微分方程板条梁计取板条梁计算弯曲刚度查弯曲要素表，EI以弯曲刚度代替计算变形和应力关于量（（2）筒形板的复杂弯横骨架式甲板板和船底弯曲微分方程

NDwM,Dw N梁的复杂弯曲要素表（附录TDuTD2=+=+板条梁的总应弯曲应力与中面应力的代数（（2）筒形板的复杂弯板对中面力的敏感性中面力的影响，算三个结无中面力时，变形应力大无法承受中面压力支座无法趋近→板拉长→产生中面拉力不可忽视）→大挠度弯曲（（3）筒形板的大挠度弯考虑支座完全不可趋变形情况如ds

12其伸dsdx

12整个板条梁的伸l l2s2

w0考虑应力应变关系， 1 22E

w 上式联系了T和w的关系，但T未知，需结合复杂

q（3）筒形板的大挠度弯计算步计算U（泊松

U根据支座和上述计算值查曲U（3）筒形板的大挠度弯支撑系数K；K=1，0<K<1，K=0；一般取不需考虑弯曲产生中面力的条件：u≤0.5→仅受横荷重时最大挠度小于板厚的板的分刚性板的弯曲微分方程矩形板的一般弯曲（只有横荷重，不考虑中面力的影响没有中面力，也不考虑中面变形产生的中面力）坐标系统如z向z方向应力分量忽略不计→一个应力分量为不计板中面变形（刚性板特征应变与位移的关系（几何关系2w x

2wyz

xy

2w2xy 2w 2w

2w应变矢

2xy 应力与应变的关系（物理方程

应力由位移给出的

Ez 2w

2w 1

1

y2

Ez 2w

2w 1

1

x2

G

21

1

2w板单位宽度断面上的力和力

——〉单位宽度力和力 中面单位宽度力和力矩与应力的关（两剪应力在平衡条件中有作用 Mx

2t

x

t t2

t t

Ny

t

Mxy

M

t

xy

t

yx中面单位宽度力和力矩与挠度的关2w

2w

2w

y2

x

2w

2w

2wM

1212

1212

1 xy

2w

2w1xy

2xy 可记

MD

为弹性矩静力平衡条

合力矩为零(oy,ox轴z方向合力为零MxM

MMxy

NxNyNx

Ny

qx,y一般弯曲平衡弯曲微分方程式（联系挠度和外载4w

4w

4wD

2

qx,y 剪力和挠度的关系（式9-36弯矩扭矩和挠度的关系 3w 3wNx

D

xy2 3w 3wN

D

yx2x Mx y

12z Mt3 yMM Mxy

xy 2wx0,

a处，w

2wy0,

b处，w

x

0,w y0,

b处，w0y板的边缘（y=b)为边（弯矩，剪力，扭矩都零——〉剪力和扭矩条件和并 2w y2

2w 33w 2

3w 2w2w0xayb刚性板弯曲的已知外荷重，板的尺寸，材料，边界根据（943）求挠度，进而求应力 三角级数解四 支持板的弯根据边界条

2wx0,

a处，w

2wy0,

b处，w

w(x,y)

级数满足边界条件，代入微分方程式（9-4w

4w

4wD

qx,y 有

2

DAmn

a

b

qx,y

外载也写成双三角级数的形式（傅里叶变换qx,yq

其中qmn

4a

n

q0

y

a

b故 m

22

DAmn

a

b

qmn

所以

Amn

m

22D ab 则得挠曲面方程式（9-解答1：均布荷重 4a

n

q00

a

b m,

m,

2,4,6...,qmn

wx,y

2D

m1,3,5...

m

22mn

a

b 解答2：板上受集中力P，集中力作用于将集中力P化作分布力求q,则

d 4Pd

qmn

d

解答2：板上受集中力P，集中力作用于 4P

wx,y

4P

abD

m

22

b

应用单三角级数解一对边（x=0,a)支持,另一

x0,

2w0, w(x,y)m

fm

y

a其中fm(y)为y的任意函数，由平衡方程式及（y=0,b)界条件决4w

4w

4wD

qx,y 有f

y2m

f

y

qx,y24 a 24

a

qx,y

qm

y

qmy

a qaa

y

故

qyfma IVy2 fma

ya

fmyD 将关于x,y的偏微分方程化为变量y的常微分方程上式解答由它的一个特解以及齐次方fm2IVy2mfm2a

ym4a4

fmy的通解组

y

Ach

yBshm

my

myshm Fmy

解答1：一对边支持，另一对边刚性固定，均布荷重 y

A