复数项级数与函数项级数(与“收敛”有关的文档共48张)

复数项级数与函数项级数第一页，共48页。§4.1复数项级数一、复数序列二、复数项级数第二页，共48页。一、复数序列1.基本概念定义设为复数，称为复数序列。极限设

为一复数序列，又设

为一确定的复数，当

n

>

N时，总有

|

zn-

a

|

<

e

成立，或或称

a

为复数序列的极限，收敛于复数

a，则称复数序列记作使得如果对任意给定的

e>

0，相应地存在自然数N，第三页，共48页。一、复数序列2.复数序列极限存在的充要条件则

的充要条件是定理设证明必要性“”若则当时，第四页，共48页。则

的充要条件是一、复数序列2.复数序列极限存在的充要条件定理设证明充分性“”则当

时，若第五页，共48页。解由或发散，即得也发散。已知故序列收敛。附考察实序列

的收敛性。(其中见上例)根据复数模的三角不等式有第六页，共48页。注(1)序列收敛序列收敛；(2)例设讨论序列的收敛性。即序列收敛。解第七页，共48页。二、复数项级数1.基本概念定义设为一复数序列，(1)称为复数项级数，(3)如果序列收敛，即则称级数收敛，(4)如果序列不收敛，则称级数发散。简记为(2)称为级数的部分和；并且极限值

s

称为级数的和；第八页，共48页。二、复数项级数2.复数项级数收敛的充要条件级数

和

都收敛。则级数

的部分和即得级数

收敛的充要条件是

和

都收敛。则级数收敛的充分必要条件是定理设证明令

和

分别为级数和

的部分和，由于序列收敛的充要条件是和都收敛，第九页，共48页。二、复数项级数3.复数项级数收敛的必要条件则

收敛的必要条件是定理设等价于因此

收敛的必要条件是证明由于级数

收敛的充要条件是

和

都收敛，而实数项级数

和

收敛的必要条件是：第十页，共48页。级数收敛，解但级数发散，因此级数发散。(几何级数时收敛)(

p

级数时发散)第十一页，共48页。解由于级数和均为收敛，(绝对收敛)故有级数和均收敛，即得级数收敛。记为在复数项级数中是否也能引入绝对收敛的概念呢？第十二页，共48页。4.复数项级数的绝对收敛与条件收敛二、复数项级数(2)若

发散，

收敛，则称

条件收敛。由收敛，证明收敛，定理若收敛，则必收敛。又根据正项级数的比较法可得，和

均收敛，和均收敛，收敛。定义(1)若

收敛，则称绝对收敛。第十三页，共48页。解由于即绝对收敛，故收敛。第十四页，共48页。分析由于发散，(

p

级数，比阶法)因此不能马上判断

是否收敛。解故级数收敛。记为(莱布尼兹型的交错级数)收敛，收敛，第十五页，共48页。§4.2复变函数项级数一、基本概念二、幂级数三、幂级数的性质第十六页，共48页。一、基本概念1.复变函数项级数(2)称为区域

G

内(1)称为区域

G

内的复变函数序列。定义设复变函数在区域

G

内有定义，的复变函数项级数，简记为第十七页，共48页。一、基本概念2.复变函数项级数收敛的定义(1)称为级数的部分和。定义设为区域G

内的复变函数项级数，称级数在点收敛。z0则称级数在区域

D

内收敛。此时，称(2)如果对

G

内的某一点，有z0则为和函数，D

为收敛域。(3)如果存在区域D

G

，有第十八页，共48页。二、幂级数1.幂级数的概念其中，

为复常数。定义称由下式给出的复变函数项级数为幂级数：(

I

)(Ⅱ)只需将换成

即可应用到型幂级数。(

I

)z(2)对于型幂级数，在

点肯定收敛。(Ⅱ)特别地，当

时有(Ⅱ)注(1)下面主要是对型幂级数进行讨论，所得到的结论第十九页，共48页。二、幂级数2.阿贝尔

(

Abel

)

定理(1)如果级数在点收敛，则它在

上绝对收敛；对于幂级数，有定理(2)如果级数在点发散，则它在

上发散。则存在

M，使对所有的

n

有即得收敛。其中，当时，证明(1)由收敛，有第二十页，共48页。对于幂级数，有二、幂级数2.阿贝尔

(

Abel

)

定理(1)如果级数在点收敛，则它在

上绝对收敛；定理(2)如果级数在点发散，则它在

上发散。证明(2)反证法：与已知条件矛盾。已知级数在点发散，假设存在使得级数在点收敛，由定理的第

(1)

条有，级数在上绝对收敛；级数在点收敛，第二十一页，共48页。

利用阿贝尔定理，不难确定幂级数的收敛范围，对于任一个幂级数来说，它的收敛情况不外乎三种：iii)既存在使级数收敛的正实数,也存在使级数发散的正实数.设

(正实数)时,级数收敛,(正实数)时,级数发散.对所有的正实数都是收敛的.这时,根据阿贝尔定理可知级数在复平面内处处绝对收敛.ii)对所有的正实数除z=0外都是发散的.这时,级数在复平面内除原点外处处发散.第二十二页，共48页。二、幂级数3.收敛圆与收敛半径发散发散收敛收敛分析第二十三页，共48页。二、幂级数3.收敛圆与收敛半径发散发散收敛收敛定义如图设

CR

的半径为

R，(1)称圆域为收敛圆。(2)称

R

为收敛半径。R注意级数在收敛圆的边界上各点的收敛情况是不一定的。约定表示级数仅在z

=

0点收敛；表示级数在整个复平面上收敛。第二十四页，共48页。例考察级数的收敛性。收敛半径为(必要条件)例考察级数的收敛性。由收敛，因此级数在全平面上收敛，故级数仅在点收敛，收敛半径为对任意固定的解当时，有对任意的解都有收敛，第二十五页，共48页。级数的部分和为解级数发散。级数收敛；(1)当时，和函数为(2)当时，故级数收敛半径为▲第二十六页，共48页。二、幂级数4.求收敛半径的方法(1)比值法如果则收敛半径为对于幂级数，有推导考虑正项级数利用达朗贝尔判别法：当即时，级数收敛；当即时，级数发散。第二十七页，共48页。(2)根值法如果则收敛半径为二、幂级数4.求收敛半径的方法(1)比值法如果则收敛半径为对于幂级数，有(利用正项级数的柯西判别法即可得到)第二十八页，共48页。例求下列幂级数的收敛半径:(1)(并讨论在收敛圆周上的情形)(2)(并讨论时的情形)或解(1)因为第二十九页，共48页。所以收敛半径即原级数在圆内收敛,在圆外发散,收敛的级数所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.在圆周上,级数第三十页，共48页。说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点,也有级数的发散点.原级数成为交错级数,收敛.发散.原级数成为调和级数，解：(2)(并讨论时的情形)第三十一页，共48页。例求幂级数的收敛半径与收敛圆。由解收敛圆为收敛半径为例求幂级数的收敛半径与收敛圆。由解收敛圆为收敛半径为得得第三十二页，共48页。例求幂级数的收敛半径与收敛圆。收敛圆为故级数的收敛半径为由于解第三十三页，共48页。令则在内有三、幂级数的性质1.幂级数的运算性质P86第三十四页，共48页。2.幂级数的分析性质即(3)在收敛圆内可以逐项积分，即(1)函数在收敛圆内解析。(2)函数的导数可由其幂函数逐项求导得到，三、幂级数的性质设性质则第三十五页，共48页。3.幂级数的代换(复合)性质在把函数展开成幂级数时，上述三类性质有着重要的作用。又设函数在

内解析，且满足设级数

在内收敛，和函数为性质当时，有则三、幂级数的性质第三十六页，共48页。解方法一

利用乘法运算性质方法二

利用逐项求导性质第三十七页，共48页。例5把函数表成形如的幂级数,其中是不相等的复常数.解把函数写成如下的形式:代数变形,使其分母中出现凑出第三十八页，共48页。级数收敛,且其和为第三十九页，共48页。轻松一下吧……第四十页，共48页。附：人物介绍——阿贝尔挪威数学家

(1802～1829)阿贝尔N.H.Abel天才的数学家。关于椭圆函数理论的研究工作在当时是函数论的最高成果之一。第四十一页，共48页。附：人物介绍——阿贝尔很少有几个数学家能使自己的名字同近世数学中如此多的概念和定理联系在一起。阿贝尔群阿贝尔积分阿贝尔函数阿贝尔级数阿贝尔可和性阿贝尔积分方程阿贝尔部分和公式阿贝尔基本定理阿贝尔极限定理…………第四十二页，共48页。附：人物介绍——阿贝尔阿贝尔只活了短短的27年，一生中命途坎坷。他的才能和成果在生前没有被公正的承认。为了纪念阿贝尔诞辰

200

周年，挪威政府于

2003

年设立了一项数学奖

——

阿贝尔奖。每年颁发一次，奖金高达

80

万美元，是世界上奖金最高的数学奖。(返回)第四十三页，共48页。附：人物介绍——伽罗华天才的数学家。群论的创始人与奠基者。对函数论、方程式理论和数论等作出了重要贡献。法国数学家

(1811～1832)伽罗华ÉvaristeGalois第四十四页，共48页。伽罗华只活了短短