习题第1章 垂直关系的判定 Word版含解析

6．1垂直关系的判定时间：45分钟满分：80分班级________姓名________分数________一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)1．给出下列命题：①过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行；②过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；③过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直．其中正确命题的个数为()A．0B．1C．2D．3答案：B解析：过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，而过这条直线可作无数个平面与已知直线平行，所以命题①错误；过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线垂直，又过此点且在该平面内的直线有无数条，所以有无数条直线与已知直线垂直，命题②错误；易知命题③正确．2．在空间四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是()A．平面ABD⊥平面BDCB．平面ABC⊥平面ABDC．平面ABC⊥平面ADCD．平面ABC⊥平面BED答案：D解析：由已知条件得AC⊥DE，AC⊥BE，于是有AC⊥平面BED，又AC⊂平面ABC，所以有平面ABC⊥平面BED成立．3．如图所示，正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S－EFG中必有()A．SG⊥平面EFGB．SD⊥平面EFGC．GF⊥平面SEFD．GD⊥平面SEF答案：A解析：折叠后，有些线线的位置关系不发生变化，如SG⊥GF，SG⊥GE.所以SG⊥平面GEF.4．如图，点A∈α，点B∈α，点P∉α，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则动点C在平面α内的轨迹是()A．一条线段，但要去掉两个点B．一个圆，但要去掉两个点C．两条平行直线D．半圆，但要去掉两个点答案：B解析：连接BC，由于PC⊥AC，PB⊥AC，所以AC⊥平面PBC，所以AC⊥BC，说明动点C在以AB为直径的圆上，但不与点A，B重合．5．在四面体P－ABC中，PA＝PB＝PC＝AB＝BC＝CA，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，下列结论中不成立的是()A．BC∥PDFB．DF⊥面PAEC．BC⊥面PAED．AE⊥面APC答案：D解析：∵D，F分别为AB，AC的中点，∴DF∥BC，故BC∥面PDF，故A项正确，又AB＝AC，PB＝PC，E为BC的中点，∴AE⊥BC，PE⊥BC，∴BC⊥面PAE，又DF∥BC，∴DF⊥面PAE，故B、C项正确，由于AE与AP不垂直，故AE与面APC不垂直．6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1内运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P在()A．线段B1C上B．线段BC1上C．BB1中点与CC1中点的连线上D．B1C1中点与BC中点的连线上答案：A解析：易知BD1⊥平面AB1C，故P∈B1C.二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)7．在三棱锥P－ABC中，最多有__________个直角三角形．答案：4解析：不妨设PA⊥AB，PA⊥AC，则△APB，△PAC为直角三角形，由线面垂直的判定定理，可得PA⊥面ABC，由线面垂直的定义，可知PA⊥BC，若∠ABC＝90°，则BC⊥AB，∴BC⊥面PAB，即∠PBC＝90°，∴△ABC，△PBC为直角三角形，故直角三角形最多有4个．8．已知四棱锥P－ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，则平面PBD与平面PAC的位置关系是________．答案：平面PBD⊥平面PAC解析：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，在正方形ABCD中，BD⊥AC.又AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC.又BD平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC.9．已知a，b，c为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，给出下列命题：①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；②若aα，bβ，cβ，a⊥b，a⊥c，则α⊥β；③若a⊥α，bβ，a∥b，则α⊥β.其中正确的命题是________(填序号)．答案：③解析：如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，记平面ADD1A1为α，平面ABCD为β，平面ABB1A1为γ，显然①错误；②只有在直线b，c相交的情况下才成立；易知③正确．三、解答题(共35分，11＋12＋12)10．如图，在四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.求证：SD⊥平面SAB.证明：∵AB∥CD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，CD＝1，∴底面ABCD为直角梯形，AD＝eq\r(2－12＋22)＝eq\r(5).∵侧面SAB为等边三角形，∴SA＝SB＝AB＝2.又SD＝1，∴AD2＝SA2＋SD2，∴SD⊥SA.连接BD，则BD＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，∴BD2＝SD2＋SB2，∴SD⊥SB.又SA∩SB＝S，∴SD⊥平面SAB.11．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．(1)求证：PA∥平面BDE；(2)求证：平面PAC⊥平面BDE.证明：(1)连接OE.因为O是AC的中点，E是PC的中点，所以OE∥PA.又OE平面BDE，PA⃘平面BDE，所以PA∥平面BDE.(2)因为PO⊥底面ABCD，BD平面ABCD，所以PO⊥BD.因为四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC.又PO∩AC＝O，所以BD⊥平面PAC.因为BD平面BDE，所以平面PAC⊥平面BDE.12.如图所示，已知三棱锥P­ABC中，PC⊥底面ABC，AB＝BC，D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E.(1)求证：AP⊥平面BDE；(2)求证：平面BDE⊥平面BDF.证明：(1)∵PC⊥底面ABC，BD⊂平面ABC，∴PC⊥BD.由AB＝BC，D为AC的中点，得BD⊥AC.又PC∩AC＝C，∴BD⊥平面PAC，又PA⊂平面PAC，∴BD⊥PA.由已知DE⊥