物理学教程上册课后答案 五

第五章机械振动A5-1一个质点作简谐运动，振幅为A,在起始时刻质点的位移为-一，且向x轴正方向运2动，代表此简谐运动的旋转矢量为()题5.1图分析与解(B)图中旋转矢量的矢端在x轴上投影点的位移为一A/2,且投影点的运动方向指向Ox轴正向，即其速度的x分量大于零，故满足题意.因而正确答案为(B).5-2一简谐运动曲线如图(a)所示，则运动周期是()(A)2.62s(B)2.40s(C)2.20s(D)2.00s(a)z-ls(b)题5.2图分析与解由振动曲线可知，初始时刻质点的位移为A/2,且向x轴正方向运动.图(b)是其相应的旋转矢量图，由旋转矢量法可知初相位为■.振动曲线上给出质点从A/2处运动TOC\o"1-5"\h\zC4到.v=0处所需时间为1s,由对应旋转矢量图可知相应的相位差八,则3265力2几角频率A^/Ar=—rads'1,周期T=—=2.40s,故选(B).(A)2.62s(B)2.40s(C)2.20s(D)2.00s(a)z-ls(b)6co5-3两个同周期简谐运动曲线如图(a)所示，由的相位比趋的相位(\o"CurrentDocument"(A)落后兰(B)超前=(C)落后兀(D)超前兀22分析与解由振动曲线图作出相应的旋转矢量图(b)即可得到答案为(B)・

题5-3图5-4两个同振动方向、同频率、振幅均为A的简谐运动合成后，振幅仍为A,则这两个简谐运动的相位差为()(A)60：(B)90°(C)120c(D)180：分析与解由旋转矢量图可知两个简谐运动1和2的相位差为120°时，合成后的简谐运动3的振幅仍为A.正确答案为(C).题53图5-5若简谐运动方程为X=0.10cOs(207U+^),式中x的单位为m,，的单位为s.题53图(1)振幅、频率、角频率、周期和初相；(2)r=2s时的位移、速度和加速度.分析可采用比较法求解.将己知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式%=Acos(dX+(p)作比较，即可求得各特征量.运用与上题相同的处理方法，写出位移、速度、加速度的表达式，代入f值后，即可求得结果.解(1)将x=0.10cos(20”+0.25兀)(m)与x=Acos(<yf+(p)比较后可得：振幅A=0.i0m,角频率co=20兀radS',初相0=0.25冗，则周期T=2jt/(w=0.1s,频率z?=l/THz.(2)r=2s时的位移、速度、加速度分别为x=0.10cos(40兀，+0.25兀)=7.07xl0~2mv=dr/dr=-27Csiii(407C+0.25n)=-4.44m-s1a=d2x/d2Z=-40tc2cos（40兀+0.257：）=-2.79x102m・s'

5-6一远洋货轮，质量为m,浮在水面时其水平截面积为S.设在水面附近货轮的水平截面积近似相等，水的密度为p,且不计水的粘滞阻力，证明货轮在水中作振幅较小的竖直自由运动是简谐运动，并求振动周期.分析要证明货轮作简谐运动，需要分析货轮在平衡位置附近上卜•运动时，它所受的合外力F与位移工间的关系，如果满足F=—kx,则货轮作简谐运动.通过F=-kx即可求得振动周期『=2idat=k.证货轮处于平衡状态时［图（a）］，浮力大小为F=mg.当船上下作微小振动时，取货轮处于力平衡时的质心位置为坐标原点0,竖直向下为;I轴正向，如图（b）所示.则当货轮向下偏移x位移时，受合外力为YF=P+Ff其中F'为此时货轮所受浮力，其方向向上，大小为F'=F+p^Sx=mg+pgSx题5-6图则货轮所受合外力为£F=P—F'=-pgSx=-kx式中A=QgS是一常数.这表明货轮在其平衡位置上下所作的微小振动是简谐运动.由£F=md2x/d2r4得货轮运动的微分方程为d2x/d2f+pgSx/m=0令$=pgS/m，可得其振动周期为T=2E3=2兀』pgS5-7如图（a）所示，两个轻弹簧的劲度系数分别为k"、.当物体在光滑斜面上振动时.（1）证明其运动仍是简谐运动；（2）求系统的振动频率.（a）题5・7图分析从上两题的求解知道，要证明一个系统作简谐运动，首先要分析受力情况，然后看是否满足简谐运动的受力特征（或简谐运动微分方程）.为此，建立如图（b）所示的坐标.设系统平衡时物体所在位置为坐标原点O,Ox轴正向沿斜面向下，由受力分析可■知，沿轴,物体受弹性力及重力分力的作用，其中弹性力是变力.利用串联时各弹簧受力相等，分析物体在任一位置时受力与位移的关系，即可证得物体作简谐运动，并可求出频率证设物体平衡时两弹簧伸长分别为：V】、冶，则由物体受力平衡，有mgsin。=kji=k2x2（1）按图（b）所取坐标，物体沿A-轴移动位移X时，两弹簧又分别被拉伸工和X；,即x=X+x；.则物体受力为尸=〃麝1119一虹庇+乂）=〃?gsinQ-#i3+X）（2）将式（1）代入式（2）得由式（3）得x[=-F/k^xf2=-F/k2,而x=x；+Z,则得到F=-腐//（虹+k2）Jr=-kx式中k=k&M+k9为常数，则物体作简谐运动，振动频率讨论（1）由本题的求证可知，斜面倾角。对弹簧是否作简谐运动以及振动的频率均不产生影响.事实上，无论弹簧水平放置、斜置还是竖直悬挂，物体均作简谐运动.而旦可以证明它们的频率相同，均由弹簧振子的固有性质决定，这就是称为固有频率的原因.（2）如果振动系统如图（c）（弹簧并联）或如图（d）所示，也可通过物体在某一位置的受力分析得出其作简谐运动，旦振动频率均为v=-Lj（K+&）/〃?,读者可以一试.通过这些例

子可以知道，证明物体是否作简谐运动的思路是相同的.5-8一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A=2.0xl0-2m,周期7=0.50s.当f=0时，（1）物体在正方向端点：（2）物体在平衡位置、向负方向运动；（3）物体在x=-1.0xl0-2m处，向负方向运动：（4）物体在x=-1.0xl0-2m处，向正方向运动.求以上各种情况的运动方程.分析在振幅A和周期『己知的条件下，确定初相？是求解简谐运动方程的关键.初相的确定通常有两种方法.（1）解析法：由振动方程出发，根据初始条件，即，=0时，X=Xo和。=VQ来确定'值.62）旋转矢量法：如图（a）所示，将质点P在Qt轴上振动的初始位置州和速度vo的方向写旋转矢量图相对应来确定S旋转矢量法比较直观、方便，在分析中常采用.题5-8图解由题给条件知A=2.0xio--m,口=2/r=47lsT,而初相多可采用分析中的两种不同方法来求.解析法：根据简谐运动方程x=Acos（dX+0）,当，=0时有甚=Acos（仞+（P）,TOC\o"1-5"\h\zvo=—.当（1）x0=A时，cos%=1,则0=0；\o"CurrentDocument"兀兀（2）x0=0时，cos/=0,（p2=±—,因v0<0,取（p2=—\（3）x0=1.0xIO-2m时，cos%=0.5,=±y,由v0<0,取Q=\o"CurrentDocument"（4）=-l.OxlO-'m时，cos代=一0.5,9^=71土;,由v0>0,取=•旋转矢量法：分别画出四个不同初始状态的旋转矢量图，如图（b）所示，它们所对应的初相分别为饥=0,%=三,%=?，代=?・J。振幅A、角频率初相？均确定后，则各相应状态下的运动方程为x=2.0xlO-2cos4兀t(m)x=2.0xIO-2cos(4/rt+n/2)(m)x=2.0xKT?cos(4jrt+7t/3)(m)x=2.0x10~2cos(47rt+4k/3)(m)5-9有一弹簧，当其下端挂一质量为，〃的物体时，伸长量为9.8x10-%.若使物体上、下振动，且规定向下为正方向.(1)当f=0时，物体在平衡位置上方8.0x10--m处，由静止开始向下运动，求运动方程.(2)当f=0时，物体在平衡位置并以0.6m・s。的速度向上运动，求运动方程.分析求运动方程，也就是要确定振动的三个特征物理量A、/和饥其中振动的角频率是由弹簧振子系统的固有性质(振子质量〃？及弹簧劲度系数Q决定的，即口=两,k可根据物体受力平衡时弹簧的伸长来计算；振幅A和初相Q需要根据初始条件确定-(a)(b)题5-9图解物体受力平衡时，弹性力F与重力P的大小相等，即F=mg.而此时弹簧的伸长量△/=9.8x10-111.则弹簧的劲度系数A=F/Al=mg/Al.系统作简谐运动的角频率为CD—ylk/m=Jg/△/=10s-1(!)设系统平衡时，物体所在处为坐标原点，向下为x轴正向.由初始条件，=0时,XlO=8.0x10-2iikv10=0可■得振幅A=+(*0/时=8.0xl0-2ill；应用旋转矢量法可确定初相饥=兀[图(a)].则运动方程为&=8.0x10~2cos(10t+71)(m)(2)t=0时，am=0、v2o=0.6m-s4,同理可得A=+(%/时=6.0x10-2m；代=兀/2[图(b)].则运动方程为x2=6.0xl0~2cos(10t+0.5兀)(m)5-10某振动质点的x-f曲线如图（a）所示，试求：（1）运动方程；（2）点P对应的相位；（3）到达点P相应位置所需的时间.分析由巳知运动方程画振动曲线和由振动曲线求运动方程是振动中常见的两类问题.本题就是要通过x~t图线确定振动的三个特征量A、/和从而写出运动方程.曲线最大幅值即为振幅A；而/、代通常可■通过旋转矢量法或解析法解出，一般采用旋转矢量法比较方便.解（1）质点振动振幅A=0.10m,而由振动曲线可画出fo=0和h=4s时旋转矢量，如图（b）所示.由图可见初相伊0=—兀/3（或伊0=5兀/3）,而由）=才/2+才/3得口=5兀/24S-',则运动方程为题5-10图（2）图（a）中点P的位置是质点从A/2处运动到正向的端点处.对应的旋转矢量图如图（c）所示.当初相取中0=—兀/3时，点P的相位为外=啊+口如-0）=0（如果初相取成伊o=5兀/3,则点P相应的相位应表示为0=伊0+刃（。,一°）=2兀.（3）由旋转矢量图可得刃如-0）=兀/3,则fp=l.6s.5-11质量为10g的物体沿x的轴作简谐运动，振幅A=10cm,周期D4.0S,，=0时物体的位移为x°=-5.0cm,且物体朝x轴负方向运动，求（1）1.0s时物体的位移；（2）1.0s时物体受的力；（3）/=0之后何时物体第一次到达.r=5.0cm处；（4）第二次和第一次经过.v=5.0cm处的时间间隔.分析根据题给条件可以先写出物体简谐运动方程X=AC0S（S+9）.其中振幅A,角频率/=£均己知，而初相9可由题给初始条件利用旋转矢量法方便求出.有了运动方程，/时刻位移X和I时刻物体受力F=ma=-mccrx也就可以求出.对于（3）、（4）两问均

可通过作旋转矢量图并根据公式△?=仙很方便求解.解由题给条件画出，=0时该简谐运动的旋转矢量图如图（a）所示，可知初相中=；.而A=0.10m,(0=—=—S"1简谐运动方程为T22727、x=0.10cos(—r+—)111（i）r=i.Os时物体的位移x=0.10cos(l.0x；+?)m=-8.66x10-2m（2）r=1.0s时物体受力F=-moxx=-10xKT'x（：）'x（-8.66xIO-2）N=2.14xlOTN（3）设/=0时刻后，物体第一次到达a-=5.0cm处的时刻为L，画出仁0和1=0时刻的旋转矢量图，如图（b）所示，由图可知，4】与4的相位差为兀，由左（p=0At得△0兀C

L=s=2sco兀/2（4）设F0时刻后，物体第二次到达a-5.0cm处的时刻为L,画出仁七和，=L时刻的旋转矢量图，如图（c）所示，由图可知，4■与4］的相位差为苴，故有TOC\o"1-5"\h\z・3A2兀/34△，n==s=-sco兀/23(a)

题5-11图(a)5-12图（a）为一简谐运动质点的速度与时间的关系曲线，旦振幅为2cm,求（1）振动周期；（2）加速度的最大值；（3）运动方程.分析根据v-t图可知速度的最大值,由站x=Aco可求出角频率s,进而可求出周期T和加速度的最大值如ax=ACO-.在要求的简谐运动方程；i=Acos（cot+9）中，因为A和/己得出，故只要求初相位？即可.由。一，曲线图可以知道，当f=0时，质点运动速度S=瞄/'2=Aco/2,之后速度越来越大，因此可以判断出质点沿x轴正向向着平衡点运动.利用如=—J（ysin（p就可求出（p.解（1）由*»^=人切得切=l.5sT,贝ijT=2兀/co=4.2s=Aco2=4.5xW2m-s-2(3)从分析中己知vQ=-Aojsm=Aco/2,即sin^?=-l/2伊=一兀/6,—5兀/6因为质点沿x轴正向向平衡位置运动，则取=一5兀/6,其旋转矢量图如图（b）所示.则运动方程为x=2cos1.5，一——I6(cm)v/(cms-0t/s%=7m'6®5-12图运动方程为x=2cos1.5，一——I6(cm)v/(cms-0t/s%=7m'65-13有一单摆，长为1.0m，最大摆角为5。，如图所示.（1）求摆的角频率和周期；（2）设开始时摆角最大，试写出此单摆的运动方程：（3）摆角为3。时的角速度和摆球的线速度各为多少？题5-13图分析单摆在摆角较小时SV5。）的摆动，其角量。与时间的关系可表示为简谐运动方程6=/“cos（破+0）,其中角频率/仍由该系统的性质（重力加速度g和绳长/）决定，即刃=应7.初相伊与摆角仞质点的角速度与旋转矢量的角速度（角频率）均是不同的物理概念，必须注意区分.解（1）单摆角频率及周期分别为co=yjg/l=3.13s-1;T=2兀/69=2.01s（2）由，=0时Q=8gx=5°可得振动初相°=0,则以角量表示的简谐运动方程为^=—CO&3.13/

36（3）摆角为3。时，有cos（^+^）=6>/6^ax=0.6,则这时质点的角速度为dH'd/=仞+低）=一久—cos'（<yr+°）=一0.806^0=—0.218s-1线速度的大小为v=/|d^dr|=-0.218ms-1讨论质点的线速度和角速度也可•通过机械能守恒定律求解，但结果会有极微小的差别.这是因为在导出简谐运动方程时曾取sinQ^O,所以，单摆的简谐运动方程仅在。较小时成立.*5-14一飞轮质量为12kg,内缘半径，=0.6m,如图所示.为了测定其对质心轴的转动惯量，现让其绕内缘刃II摆动，在摆角较小时，测得周期为2.0s,试求其绕质心轴的转动惯量.题5-14图分析飞轮的运动相当于一个以刃II为转轴的复摆运动，复摆振动周期为T=2^J/mglc,因此，只要知道复摆振动的周期和转轴到质心的距离匕，其以刃II为转轴的转动惯量即可求得.再根据平行轴定理，可求出其绕质心轴的转动惯量.解由复摆振动周期T=2ti[j/mgL，可得J=mgrT2（这里/c.则由平行轴定理得J0=J-mr2mgrT2,—_-—一m广4/=2.83kg-m25-15如图（a）所示，质量为LOxio^kg的子弹，以500ms】的速度射入木块，并嵌在木块中，同时使弹簧压缩从而作简谐运动，设木块的质量为4.99kg,弹簧的劲度系数为8.0x103N-1H-1,若以弹簧原长时物体所在处为坐标原点，向左为x轴正向，求简谐运动方程.V"今k区"?A-///▲题5-15图分析可分为两个过程讨论.首先是子弹射入木块的过程，在此过程中，子弹和木块组成的系统满足动量守恒，因而可以确定它们共同运动的初速度。o,即振动的初速度.随后的过程是以子弹和木块为弹簧振子作简谐运动.它的角频率由振子质量/Hi+〃乙和弹簧的劲度系数k确定，振幅和初相可根据初始条件（初速度。o和初位移心）求得.初相位仍可用旋转矢量法求.解振动系统的角频率为co=Jk/+〃弓）—40s-1由动量守恒定律得振动的初始速度即子弹和木块的共同运动初速度V0为1A-1v0=——=l.Om-sm.+nuA_又因初始位移心=0,则振动系统的振幅为A=+（%/co）2=\vQ/co\=2.5xlO-2in图（b）给出了弹簧振子的旋转矢量图，从图中可知初相位％=兀/2,则简谐运动方程为x=2.5x10~2cos(40r+0.57r)(in)5-16如图（a）所示，一劲度系数为k的轻弹簧，其下挂有一质量为mi的空盘.现有一质量为mi的物体从盘上方高为h处自由落入盘中，并和盘粘在一起振动.问：（1）此时的振动周期与空盘作振动的周期有何不同？（2）此时的振幅为多大？题5-16图分析原有空盘振动系统由于下落物体的加入，振子质量由皿变为｝m+血,因此新系统的角频率（或周期）要改变.由于A=J焉+（%/建）',因此，确定初始速度所和初始位移.岛是求解振幅A的关键.物体落到盘中，与盘作完全非弹性碰撞，由动量守恒定律可确定盘与物体的共同初速度如，这也是该振动系统的初始速度.在确定初始时刻的位移n时,应注意新振动系统的平衡位置应是盘和物体悬挂在弹簧上的平衡位置.因此，本题中初始位移.岛，也就是空盘时的平衡位置相对新系统的平衡位置的位移.解（1）空盘时和物体落入盘中后的振动周期分别为T=2兀/co=2兀』削/kT'=2n/oj=2兀J。"+〃?J/)可见r>T,即振动周期变大了.（2）如图（b）所示，取新系统的平衡位置为坐标原点O.则根据分析中所述，初始位移为空盘时的平衡位置相对粘上物体后新系统平衡位置的位移，即%-1-

式中«=W为空盘静止时弹簧的伸长量，上=——g为物体粘在盘上后，静止时弹kk簧的伸长量.由动量守恒定律可得振动系统的初始速度，即盘与物体相碰后的速度网〃匕+m2rn{+m2式中V=yl^h是物体由力高下落至盘时的速度.故系统振动的振幅为人=Jxj+(o。/人=Jxj+(o。/捞=令K2khQq+mjg本题也可用机械能守恒定律求振幅A.5-17质量为0.10kg的物体，以振幅1.0x10-111作简谐运动，其最大加速度为4.0m・s」求：（1）振动的周期：（2）物体通过平衡位置时的总能量与动能：（3）物体在何处其动能和势能相等？（4）当物体的位移大小为振幅的一半时，动能、势能各占总能量的多少？分析在简谐运动过程中，物体的最大加速度由此可确定振动的周期「另外，在简谐运动过程中机械能是守恒的，其中动能和势能互相交替转化，其总能量E=M-/2.当动能与势能相等时，Ek=EP=kA=4.因而可求解本题.解（1）由分析可得振动周期T=2兀/口=2兀jA/cy”=0.314s（2）当物体处于平衡位置时，系统的势能为零，由机械能守恒可得系统的动能等于总能量，即Ek=丘=9汹初泌。*=2.0x10-3J（3）设振子在位移A。处动能与势能相等，则有您/2=林/4得气=±y/2A/2=±7.07x10-3m（4）物体位移的大小为振幅的一半（即x=A/2）时的势能为=-kx1=—k(—)=E/422⑵则动能为Er=E_E『=3E/4则动能为5-18一劲度系数R=312N・ll「的轻弹簧，一端固定，另一端连接一质量〃?°=0.3kg的物体，放在光滑的水平面上，上而放一质量为〃?=0.2kg的物体，两物体间的最大静摩擦系数//=0.5.求两物体间无相对滑动时，系统振动的最大能量.分析简谐运动系统的振动能量为E=Ek+Ep因此只要求出两物体间无相对滑动条件下，该系统的最大振幅即可求出系统振动的最大能量.因为两物体间无相对滑动,故可将它们视为一个整体，则根据简谐运动频率公式可得其振动角频率为co=I—.'+m然后以物体，〃为研究对象，它和，〃。一起作简谐运动所需的回复力是由两物体间静摩擦力来提供的.而其运动中所需最大静摩擦力应对应其运动中具有最大加速度时，即印1gm廿la由此可求出Amax.解根据分析，振动的角频率Ik(D=VmQ+m网（，〃0+m）pgark则最大能量E二»=顼（〃"叫性

maxcmax1-7」22k="〃。+〃‘）如言=9.62x10-3J

2k5-19已知两同方向、同频率的简谐运动的运动方程分别为X]=0.05cos(10f+0.75兀)(m)；x?=0.06cos(10l+0.25兀)(m).求：(1)合振动的振幅及初相；(2)若有另一同方向、同频率的简谐运动w=0.07cos(10f+%)(m),则％为多少时，X1+心的振幅最大？又代为多少时，X?+巧的振幅最小?题5-19图分析可采用解析法或旋转矢量法求解.由旋转矢量合成可知，两个同方向、同频率简谐运动的合成仍为一简谐运动，其角频率不变；合振动的振幅A二+浅+2A4CO血_0），其大小与两个分振动的初相差代-亿相关.而合振动的初相位（p=aictan^siii^+Asin/）/（Acos0+Acos^,）］解（1）作两个简谐运动合成的旋转矢量图（如图）.因为邱=饥=一兀/2,故合振动振幅为A=+A；+2„cos（代-但）=7.8xlO-2m合振动初相位0=atctai（0sin0+心地代）/（Acos0+&os牲）］=aictaiil1=1.48rad（2）要使由+为振幅最大，即两振动同相，则由△（p=2kii得伊3=（p、+2kn=2k兀+0.75兀，R=0,±1,±2,...要使.山+为的振幅最小，即两振动反相，则由△伊=（2#+1北得9-=%+（2&+1加=2如+1.2571,k=0,±1,±2,...5-20两个同频率的简谐运动1和2的振动曲线如图（a）所示