椭圆知识点与性质大全

椭圆知识点与性质大全椭圆知识点与性质大全椭圆知识点与性质大全椭圆与方程【知识梳理】1、椭圆的定义平面内，到两定点F1、F2的距离之和为定长2aF1F22a,a0的点的轨迹称为椭圆，其中两定点F1、F2称为椭圆的焦点，定长2a称为椭圆的长轴长，线段F1F2的长称为椭圆的焦距.此定义为椭圆的第必然义.2、椭圆的简单性质标准方程x2y21ab0y2x21ab0a2b2a2b2极点坐标Aa,0、B0,bAb,0、B0,a焦点坐标左焦点F1c,0，右焦点F2c,0上焦点F10,c，下焦点F20,c长轴与短轴长轴长2a、短轴长2b长轴长2a、短轴长2b有界性axa，bybaya，bxb，对称性关于x轴对称，关于y轴对称，同时也关于原点对称.a、b、ca2b2c2之间关系3、焦半径椭圆上任意一点P到椭圆焦点F的距离称为焦半径，且PFac,ac，特别地，若P(x0,y0)为椭圆x2y21ab0上的任意一点，F1(c,0)，F2(c,0)为椭圆的左右焦点，则|PF1|aex0，|PF2|aex0，其a2b2c中e.a4、通径过椭圆x2y21ab0焦点F作垂直于长轴的直线，交椭圆于A、B两点，称线段AB为椭圆的通径，且a2b2AB2b2.a5、焦点三角形P为椭圆x2y21ab0上的任意一点，F1(c,0)，F2(c,0)为椭圆的左右焦点，称PF1F2为椭圆的焦点三角a2b2形，其周长为：CFPF22a2c，若FPF，则焦点三角形的面积为：SFPFb2tan.2216、过焦点三角形直线l过椭圆x2y21ab0的左焦点F1，与椭圆交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，称ABF2为椭圆的过焦点三a2b2角形，其周长为：CABF24a，面积为SABF2cy1y2.高中数学7、点与椭圆的地址关系x2y22222Px0,y0为平面内的任意一点，椭圆方程为1(ab001，则P在椭圆上；若001，a2b20)：若x2y2x2y2abab则P在椭圆外；若x02y021，则P在椭圆内.a2b28、直线与椭圆的地址关系直线l:AxByC0，椭圆：x2y21(ab0)，则a2b2l与订交a2A2b2B2C2；l与相切a2A2b2B2C2；l与相离a2A2b2B2C2.9、焦点三角形外角均分线的性质（*）22点P(x,y)是椭圆x2y21(ab0)上的动点，F1,F2是椭圆的焦点，M是F1PF2的外角均分线上一点，且abF2MMP0，则OMa，即动点M的点的轨迹为x2y2a2xa.10、椭圆上任意两点的坐标性质Ax1,y1,Bx2,y2为椭圆x2y21ab0上的任意两点，且x1x2，则y12y22b22b222a2.ax1x2【实行1】直线l过椭圆x2y21ab0的中心，与椭圆交于Ax1,y1,Bx2,y2两点，P为椭圆上的任意一点，a2b2则kAPkBPb22（kAP,kBP均存在）.a【实行2】设直线l1：yk1xmm0交椭圆x2y21ab0于C、D两点，交直线l2：yk2x于点E．若E为a22bCD的中点，则k1k2b2a2.11、中点弦的斜率Mx0,y0y00为椭圆x2y21ab0内的一点，直线l过M与椭圆交于A,B两点，且AMBM，则直22ab线l的斜率kABb2x0.a2y012、互相垂直的半径倒数的平方和为定值若A、B为椭圆C：x2y21ab0上的两个动点，O为坐标原点，且OAOB．则11定值a2b2|OA|2|OB|2112b2．a高中数学【典型例题】例1、直线ykx1与椭圆x2y21恒有公共点，则m的取值范围是__________．5m【变式1】已知方程x2y21表示椭圆，则k的取值范围__________．k53ky2x21的两个焦点坐标分别为__________．【变式2】椭圆2m2m例2、已知圆A:x32y2100，圆A内必然点B3,0，圆P过点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程.【变式1】已知圆O1:x12y21，圆O2:x12y29,动圆M分别与圆O1相外切，与圆O2相内切.求动圆圆心M所在的曲线的方程.【变式2】已知ABC的两个极点坐标为A(4,0),B(4,0)，ABC的周长为18，则极点C的轨迹方程为__________．【变式3】已知动圆P过定点A3，0，且在定圆B：x32y264的内部与其相内切，求动圆的圆心P的轨迹方程．高中数学例3、若P是椭圆x2y21上的点，F1和F2是焦点，则43（1）PF2PF1的取值范围为__________．（2）PF1PF2的取值范围为__________．22（3）PF1PF2的取值范围为__________．【变式1】点P(x,y)是椭圆x2y21上的一点，F1,F2是椭圆的焦点，M是PF1的中点，且PF12，O为94坐标原点，则OM_______.x2y21(ab0)上的动点，F1,F2是椭圆的焦点，M是F1PF2的外角均分线【变式2】点P(x,y)是椭圆22ab上一点，且F2MMP0，则动点M的轨迹方程为________．x2y2P是椭圆上动点，求PAPF的最大值与最例4、已知椭圆1内有一点A2,1，F为椭圆的左焦点，2516小值__________．x2y2的左、右两个焦点分别为【变式】若椭圆1121l与椭圆订交于AB2B167的周长为__________．例5、F1,F2是椭圆x2y21的焦点，点P为其上动点，且F1PF260，则F1PF2的面积是__________．4【变式】焦点在轴x上的椭圆方程为x2y21(a0)，F1、F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点B，使得a2F1BF2，那么实数a的取值范围是________.2高中数学例6、已知椭圆x2y21，211且被P均分的弦所在的直线的方程；（1）求过点P，22）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过A(21)，引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程.（4）椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足kOPkOQ1，2求线段PQ中点M的轨迹方程．x2y2l：y4xm，椭圆C上有不同样的两点关例7、已知椭圆C：1，试确定m的取值范围，使得关于直线43于该直线对称．高中数学例8、已知椭圆4x2y21及直线yxm．（1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为210，求直线的方程．5例9、已知定点A2,0，动点B是圆F:(x2)2y264（F为圆心）上一点，线段AB的垂直均分线交BF于P.（1）求动点P的轨迹方程；（2）直线y3x1交P点的轨迹于M,N两点，若P点的轨迹上存在点C，使OMONmOC,求实数m的值；高中数学例10、已知椭圆x2y21（ab0），过点Aa,0，B0,b的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为3．a2b262（1）求椭圆的方程；（2）斜率大于零的直线过D1,0与椭圆交于E，F两点，若ED2DF，求直线EF的方程；（3）可否存在实数k，直线ykx2交椭圆于P，Q两点，以PQ为直径的圆过点D(1,0)？若存在，求出k的值；若不存在，请说明原由．高中数学例11、若AB是经过椭圆x2y2F1,F2分别为椭圆的左、右焦点，求12516值.【变式1】已知直线l与椭圆x2y21交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为3，求AOB的面积的最32大值.【变式2】斜率为1的直线l与椭圆x2y21交于A、B两点，O为坐标原点，求AOB面积取最大值时直线l的42方程.【变式3】已知定点A(a,0)和椭圆x22y28上的动点P(x,y)（1）若a2且|PA|32，计算点P的坐标；2（2）若0a3且|PA|的最小值为1，求实数a的值.高中数学【变式4】如图，椭圆的中心在原点，A2,0,B0,1是它的两个极点，直线ykx(k0)交线段AB于点D，交椭圆于E,F两点.yBF（）若ED6DF，求直线的斜率k；DAx1（2）求四边形AFBE的面积S的最大值.E【变式5】椭圆x2y21b0的一个焦点是F1,04b2（1）求椭圆的方程；（2）已知点P是椭圆上的任意一点，定点M为x轴正半轴上的一点，若PM的最小值为8，求定点M的坐标；5（3）若过原点O作互相垂直两条直线，交椭圆分别于A,C与B,D两点，求四边形ABCD面积的取值范围.高中数学【变式6】在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点3,0,3,0的距离之和为4，设点P的轨迹为曲线C，直线l过点E(1,0)，且与曲线C交于A,B两点.（1）求曲线C的方程；（2）以AB为直径的圆可否经过坐标原点？若能经过，求此时直线l的方程，若不能够，说明原由.（3）AOB的面积可否存在最大值？若存在，求出头积的最大值，以及此时的直线方程，若不存在，请说明原由.例12、已知椭圆x22y2a2(a0)的一个极点和两个焦点构成的三角形的面积为4．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线yk(x1)与椭圆C交于A、B两点，试问，可否存在x轴上的点Mm,0，使得对任意的kR，高中数学MAMB为定值，若存在，求出M点的坐标，若不存在，说明原由.【变式1】过椭圆x2y21长轴上某一点Ss,0（不含端点）作直线l（不与x轴重合）交椭圆于M,N两点，若82点Tt,0满足：OSOT8，求证：MTSNTS.【变式2】已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点1,3在椭圆C上．2（1）求椭圆C的方程；（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作方向向量d2,122的直线l交椭圆C于A、B两点，求证：PAPB为定值．高中数学3】如图，A为椭圆x2+y2【变式221ab0上的一个动点，弦AB,AC分别过椭圆的的左右交点F1,F2.当abyACx轴时，恰好AF13AF2A（1）求c的值BF1F2xCa（2）若AF11F1B，AF22F2C，试判断12可否为定值？若是，求出定值；若不是，说明原由.【变式4】线段A,B分别在x轴，y轴上滑动，且AB3，M为线段AB上的一点，且AM1，M随A,B的滑动而运动（1）求动点M的轨迹方程E；高中数学（2）过N(3,0)的直线交曲线E于C,D两点，交y轴于P，PC1CN，PD2DN，试判断12可否为定值？若是，求出定值；若不是，说明原由.22【变式5】如图，已知椭圆C：x2y21，其左右焦点为F11,0及F21,0，过点F1的直线交椭圆C于A,Bab两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D,E两点，且AF1、F1F2、AF2构成等差数列.yA（1）求椭圆C的方程；（2）记△GF1D的面积为S1，△OED（O为原点）的面积为S2．GDOxF1EF2试问：可否存在直线AB，使得S1S2？说明原由．B【变式6】已知椭圆C的方程为x2y21(a0)，其焦点在x轴上，点Q(2,7)为椭圆上一点．a2222（1）求该椭圆的标准方程；高中数学（2）设动点P00)满足OPOM2ON，其中M、N是椭圆C上的点，直线OM与ON(x,y的斜率之积为1，求证：x022y02为定值；2（3）在（2）的条件下研究：可否存在两个定点A,B，使得PAPB为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明原由．例13、椭圆的一个极点A(0,1)，焦点在x轴上，右焦点到直线xy220的距离为3.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线ykxm(k0)订交于不同样两点M,N，当AMAN时，求实数m的取值