哈尔滨某大学结构力学IT5

分支稳定和极限分析§7-1两类稳定问题的基本概念§7-2简单结构稳定分析§7-3基本假设与基本概念§7-4极限平衡法比例加载时的若干定理§7-5结论与讨论1.两类稳定问题的基本概念薄壁、高强、受压结构，设计不当容易产生部件或整个结构丧失稳定。因此，结构设计除关心强度、刚度外，对易失稳的结构还要进行稳定验算。结构稳定分静力和动力稳定两大类，本课程只讨论静力稳定问题。例如图示刚架，当荷载达到临界值时，受微小干扰将失稳又如下图所示园拱和窄条梁也存在失稳问题刚性小球平衡状态稳定平衡状态不稳定平衡状态随遇平衡状态结构平衡状态的分类根据结构经受任意微小外界干扰后，能否恢复初始平衡状态，可对平衡状态作如下分类：

稳定的平衡状态——外界干扰消除后结构能完全恢复初始平衡位置，则初始平衡状态是稳定的。

不稳定平衡状态——外界干扰消除后结构不能恢复初始平衡位置，则初始平衡状态是不稳定的。经简化抽象，可能出现受干扰后可在任何位置保持平衡的现象，称此现象为随遇平衡状态。根据受力状态稳定问题分类：1.完善体系：理想中心受压杆，无初曲率或弯曲变形完善体系从稳定到不稳定，其受力、变形状态将变化，也即随荷载变大有分叉点，称分支点稳定。分支点失稳失稳前后平衡状态的变形性质发生变化结构2.非完善体系

受压杆有初曲率或受偏心荷载，为压弯联合受力状态FP(a)非完善体系，一般受力、变形性质不发生改变。但随着荷载增大存在一极值荷载（此后变形增大荷载反而减少），这类稳定现象称极值点稳定。极值点失稳失稳前后变形性质没有变化FPcrcr突跳失稳稳FPcrcr由受压变变成受拉拉，系统统产生翻翻转突跳失稳稳的力-位移关系系示意图图突跳失稳稳稳定问题题的分析析方法在稳定分分析中，，有基于于小变形形的线性性理论和和基于大大变形的的非线性性理论：：线性理论论中变形形是一阶阶微量，，计算中中将略去去高阶微微量使计计算得以以简化，，其结果果与大变变形时的的实验结结果有较较大偏差差。非线性理理论中考考虑有限限变形对对平衡的的影响，，其结果果与实验验结果吻吻合的很很好，但但分析过过程复杂杂。由于实际结构构刚度都很大大，变形和杆杆件尺寸相比比十分微小，，因此作受力力分析列平衡衡方程时都忽忽略变形影响响。因此线弹弹性材料力-位移成正比，，叠加原理适适用。2.简单结构稳定定分析1)稳定问题分析析基本方法一一：静力法通过考虑失稳稳状态下的平平衡关系，利利用两类稳定定问题的特征征，确定临界界荷载的方法法——静力法。在作稳定分析析时，必须考考虑变形的影影响，这时叠叠加原理不再再适用。2-1-1)分析步骤设定约束所允允许的可能失失稳状态建立平衡方程程用分支点稳定定的平衡两重重性（可在两两状态平衡））建立特征方方程，也称稳稳定方程求特征方程的的非零解，从从而得到临界界荷载。2-1)分支点稳定静力法2-1-2）例一试试用静力法分分析图示结构构，求临界荷荷载。稳定方程非零解稳定方程按静力法，线线性与非线性性理论所得分分支点临界荷荷载完全相同同，但线性理理论分析过程程简单。小结非线性理论结果表明，达临界荷载后，要使AB杆继续偏转（角增大），必须施加更大的荷载（增加）。而线性理论结果表明，不管转角多大，荷载均保持为临界荷载值，也即随遇平衡，前者与实验吻合，后者实际是一种虚假的现象。例二完善体体系如图所示示，试按线性性理论求临界界荷载FPcr。已知：k1=k,k2=3k。设体系发生如如下的变形取B’C’为隔离体，由由MB’=0,得或再由整体平衡衡MA=0,得因为y1、y2不能全部为零零，因此稳定方程将k1、k2代入（3）式，展开后后得由上式可求得得：因此代回式（1）或（2）的失稳形态为2-1-3）材料力学中中不同支承中中心受压杆的的FPcr为求解的例子EI，lFPFPcr如何转换成弹弹性支承中心心受压柱？k1=？2-1-4）简单结构中中心受压杆FPcr的分析方法边界条件是什什么？根据形常数FPcrEI，l如何转换成弹弹性支承中心心受压柱？k1=？边界条件是什什么？FPcrEI，lEI，lEA=∞如何转换成弹弹性支承中心心受压柱？k=？边界条件是什什么？EI，lEI，lFPcr如何转换成弹弹性支承中心心受压柱？k1=？k2=？边界条件是什什么？可见简单结构构中受压杆件件的稳定分析析，主要是要要将杆件简化化为相应的弹弹性支撑的单单杆问题。实际工程结构构的稳定性分分析复杂得多多，一般进行行计算机分析析。稳定平衡状态态不稳定平衡状状态随遇平衡状态态能量取极小值值2-2)分支点稳定能量法2-2-1)刚性小球的稳稳定能量准则则能量取极大值值能量取驻值与材料力学压压杆稳定问题题一样，在结结构分支点失失稳问题中，，临界状态的的能量特征为为：首先引入两个个定义。定义：应变能能Vε加外力（外荷荷载）势能VP为体系的总势势能，记作V。2-2-2)弹性结构的稳稳定能量准则则定义：从变形形位置退回无无变形位置过过程中，外荷荷载所做的功功，称为外力力势能，记作作VP。体系总势能V取驻值。下面讨论由此此特征确定临临界荷载的方方法——能量法。2-2-3)能量法分析步步骤(1)设定一种满足足位移约束条条件的可能失失稳变形状态态（也称失稳稳构(位)形）；(2)计算体系的应应变能Vε、外力势能VP，从而获得总势势能V=Vε+VP；(3)从总势能的驻驻值条件建立立稳定性分析析的特征方程程；(4)由特征方程解解得临界荷载载。l例1.求图示有初偏偏离角体系的的临界界荷载2-2-4)能量法举例可能失稳分析受力FN如何求?变形能V外力势能VP体系的总势能能V=V+VP如何计算?应变能等于于外力功.根据定义可可得由体系的总总势能的驻驻值条件得得：则：如果=0：令：To41令：得：因此为求极值设：跳转1当按线性理论计算时，是微量，线性理论计计算结果比比非线性理理论计算结结果大，因因而是偏于于危险的。。To38不同的初偏偏角将影响响临界荷载载，初偏离离增大时减减小，这表表明制造或或安装误差差对稳定性性都是不利利的。非线性理论论计算结果果存在极值值点失稳，，这一结果果与实际吻吻合。小结非完善体系系的临界荷荷载只能由由非线性理理论确定。。在线性理论（微小）前提下，是单调增加的，不存在极值点。lEIyx设：例2.求图示一端端固定一端端自由简支支梁的临界界荷载。满足位移约束条件变形能V外力势能VP体系的总势势能V=V+VP由体系的总总势能的驻驻值条件得得：因为a0则：返回以图示柱为为例，取隔隔离体列弯弯矩方程得得特解通解利用边界条条件：解方程可得得稳定方程返回可得试总结中心心压杆稳定分析的的要点3-1)材料力学内内容回顾——结构内实际际最大应力力——材料容许应应力——极限应力（脆性）（塑性）——安全系数对塑性材料料制成的结构构不经济3.基本假设与与基本概念念弹性分析法法（容许应应力法）材料的本构构关系（应应力—应变关系））塑性金属线性强化理想弹塑性性刚线性强化化刚塑性3-2)基本假定假定材料具具有相同的的拉、压力力学性能以以及理想弹弹塑性的应应力-应变关系。。假定结构上上所受荷载载是按荷载载参数P以同一比例例由小变大大逐步加载载的，同时时荷载参数数P单调增加，，不出现卸卸载情形，，这种加载载方式称为为比例加载载。假定在弹塑塑性阶段横横截面应变变仍符合平平截面假定定。3-3)基本概念等面积轴形心轴---弹性弹塑性屈服弯矩Ms塑性极限弯矩Mu纯弯梁由弹弹性到塑性性的过程分分析极限荷载FPu-弹性塑性分析法法（极限应应力法）极限荷载——结构在极限限状态时所所能承受的的荷载强度条件：：k—安全系数F—实际荷载FPu—极限荷载问题：按塑塑性分析设设计与按弹弹性分析设设计相比，，在结构破坏坏时，何者者的应力大大？将结构进入入塑性阶段段并丧失承承载能力时时的状态，，作为结构构破坏的标标志，称为为极限状态。To55屈服弯矩MS，按按定定义义为为极限限弯弯矩矩（（整整个个截截面面都都屈屈服服））Mu抗弯弯截截面系系数数（1）由由中性性轴轴等等分分截截面面积积To51外边边到到形形心心轴轴（2）极极限限弯弯矩矩Mu塑性截面系数（）

（屈服弯矩）截面面形形状状系系数数：：矩形形1.5圆形形1.7To51非纯纯弯弯、、双双对对称称轴轴截截面面梁梁的的情情况况实验验和和理理论论分分析析结结果果都都表表明明，，对对于于细细长长梁梁，，切切应应力力对对极极限限承承载载力力影影响响很很小小，，可可不不予予考考虑虑。。例如如简简支支梁梁截面出现塑性铰破坏坏机机构构—结构构由由于于出出现现塑塑性性铰铰而而变变成成瞬变变或或可可变变时时的的体体系系。。静定定梁梁，，塑塑性性铰铰出出现现在在弯弯矩矩（（绝绝对对值值））最最大大处处。。ABFP1）普普通通铰铰不不能能承承受受弯弯矩矩，，塑塑性性铰铰能能承承受受Mu塑性性铰铰———能承承受受弯弯矩矩并并能能单单方方向向转转动动的的铰铰。。塑性性铰铰与与普普通通铰铰的的区区别别：：2）普普通通铰铰为为双双向向铰铰，，塑塑性性铰铰为为单单向向铰铰。。若梁梁的的左左半半部部分分截截面面高高度度增增加加一一倍倍（（变变截截面面梁梁）），，塑塑性性铰铰出出现现在在何何处处？？4.极限限平平衡衡法法及及比比例例加加载载时时的的若若干干定定理理结构构达达极极限限状状态态时时应应该该满满足足以以下下条条件件：：平衡衡条条件件结构构整整体体或或任任何何部部分分均均应应是是平平衡衡的的。。内力力局局限限条条件件极限限状状态态时时结结构构中中任任一一截截面面弯弯矩矩绝绝对对值值不不可可能能超超过过其其极极限限弯弯矩矩Mu，亦即即|M|≤≤Mu。单向向机机构构条条件件结构构达达极极限限状状态态时时，，对对梁梁和和刚刚架架必必定定有有若若干干（（取取决决于于具具体体问问题题））截截面面出出现现塑塑性性铰铰，，使使结结构构变变成成沿沿荷荷载载方方向向能能作作单单向向运运动动的的机机构构（（也也称称破破坏坏机机构构））。。试求等截截面单跨跨超静定定梁的极极限荷载载FPl/2ABl/2C4-1）极限平平衡法—从极限状状态由平平衡求FPuA处出现塑塑性铰时时：弹性解得得弯矩图图ABC能继续承承荷A、C处都出现现塑性铰铰：静力法ABC列静力平平衡方程程，可得得虚功法或或机动法法极限状态态沿加载方方向虚位位移根据刚体体虚位移移原理，，主动力力虚功总总和为零零l/2ABl/2Cl/2ABl/2C试求图示示变截面面单跨超超静定梁梁的极限限荷载虚功法的的虚功方方程为当时，

时，其可能的极限状态和虚位移图如下所示试求图示示变截面面单跨超超静定梁梁的极限限荷载虚功法的的虚功方方程为时，其可能的极限状态和虚位移图如下所示当时，A、B、D都为塑性铰

小结结任何结构构（静定定、超静静定）的的极限荷荷载只需需分析破破坏机构构(collapsemechanism)，由平衡条条件（静静力平衡衡方程或或虚功方方程）即即可求出出。超静定结结构的温温度改变变、支座座移动等等外因只只影响结结构弹塑塑性变形形的过程程（或称称历程）），并不不影响极极限荷载载值。亦亦即仅计计算极限限荷载时时，可不不考虑温温度改变变、支座座移动等等外因的的作用。。4-2)比例加载载时有关关极限荷荷载的若若干定理理4-2-1）两个定定义：4-2-2）几个定定理：满足单向向破坏机机构和平平衡条件件的荷载载称为可破坏荷荷载，记作FP+。满足内力力局限条条件和平平衡条件件的荷载载称为可接受荷荷载，记作FP-