哈尔滨某大学结构力学IT8

第二章变形体虚位移原理弹性力学基本概念—预备知识变形体虚位移原理和势能原理虚位移原理和势能原理的应用11/28/20221哈尔滨工业大学土木学院王焕定预备知识（回顾）线弹性平面问题的平衡方程

小变形平面问题的几何方程

线应变：角应变：11/28/20222哈尔滨工业大学土木学院王焕定线弹性平面问题物理方程平面应力：平面应变：平面应力：平面应变：预备知识（回顾）11/28/20223哈尔滨工业大学土木学院王焕定平面问题应力边界条件在应力边界上：

平面问题物理量的矩阵表示应力矩阵应变矩阵体积力矩阵表面力矩阵位移矩阵已知位移矩阵弹性矩阵预备知识（回顾）11/28/20224哈尔滨工业大学土木学院王焕定

平面问题物理量的矩阵表示

取决于材料性质各相同性、线性弹性时

引入两个算子矩阵微分算子矩阵方向余弦矩阵平面应力平面应变：预备知识（回顾）11/28/20225哈尔滨工业大学土木学院王焕定基本方程矩阵表示平衡方程几何方程物理方程边界条件杆系问题的基本方程（作业）平衡方程如何建立？几何方程如何建立？内力和变形间关系如何？由微段的平衡条件建立

由微段的变形条件建立以上内容必须通过自己动手达到熟练掌握11/28/20226哈尔滨工业大学土木学院王焕定变形体虚位移原理和势能原理一、变形体虚位移时外力功计算二、变形体虚位移原理表述和证明三、一些名词含义的解释四、势能驻值原理和最小势能原理11/28/20227哈尔滨工业大学土木学院王焕定变形体虚位移原理和势能原理变形体虚位移时外力功计算内部微元体的受力分析10其余类推11/28/20228哈尔滨工业大学土木学院王焕定变形体虚位移原理和势能原理变形体虚位移时外力功计算内部微元体的位移分析虚位移算子符号能写出各点的位移吗？提示：连续函数台劳级数展开11/28/20229哈尔滨工业大学土木学院王焕定变形体虚位移原理和势能原理变形体虚位移时外力功计算内部微元体的外力功计算8y方向的力所做的功等于多少？请大家自行写出内部微元体x向外力的总虚功11/28/202210哈尔滨工业大学土木学院王焕定变形形体体虚虚位位移移原原理理和和势势能能原原理理变形形体体虚虚位位移移时时外外力力功功计计算算内部部微微元元体体的的外外力力功功计计算算原形刚性位移变形位移11/26/202211哈尔尔滨滨工工业业大大学学土土木木学学院院王王焕焕定定变形形体体虚虚位位移移原原理理和和势势能能原原理理变形形体体虚虚位位移移时时外外力力功功计计算算边界界微微元元体体的的外外力力功功计计算算设A点虚位移为11/26/202212哈尔尔滨滨工工业业大大学学土土木木学学院院王王焕焕定定变形形体体虚虚位位移移原原理理和和势势能能原原理理变形形体体虚虚位位移移时时外外力力功功计计算算边界界微微元元体体的的外外力力功功计计算算不管管是是否否平平衡衡均均一一样样11/26/202213哈尔尔滨滨工工业业大大学学土土木木学学院院王王焕焕定定变形形体体虚虚位位移移原原理理和和势势能能原原理理变形形体体虚虚位位移移时时外外力力功功计计算算变形形体体的的外外力力总总虚虚功功计计算算11/26/202214哈尔滨工工业大学学土木木学院王王焕定定变形体虚虚位移原原理和势势能原理理变形体虚虚位移时时外力功功计算矩阵表示示变形体体的外力力总虚功功18174811/26/202215哈尔滨工工业大学学土木木学院王王焕定定变形体虚虚位移原原理和势势能原理理虚位移原原理的表表述与证证明虚位移原原理的表表述受给定外力作用，变形连续体处于平衡状态的充分必要条件为：对任意虚位移（具有任意、独立性），外力所做的总虚功恒等于变形体所接受的总虚变形功，也即恒满足如下虚功方程26能说出虚位移原理和虚功原理的表述有何区别吗？11/26/202216哈尔滨工工业大学学土木木学院王王焕定定变形体虚虚位移原原理和势势能原理理虚位移原原理的表表述与证证明虚位移原原理的必必要性证证明必要性需需证明变变形体平平衡，虚虚功方程程成立。。1511/26/202217哈尔滨工业业大学土土木学院王王焕定变形体虚位位移原理和和势能原理理虚位移原理理的表述与与证明虚位移原理理的必要性性证明必要性需证证明变形体体平衡，虚虚功方程成成立。15=0格林公式11/26/202218哈尔滨工业业大学土土木学院王王焕定变形体虚位位移原理和和势能原理理虚位移原理理的表述与与证明虚位移原理理的充分性性证明充分性需证证明虚功方方程恒成立立，变形体体必平衡。。设变形体不平衡，每瞬时均考虑惯性力则动平衡。也即此时，“体积力”为：因为“平衡衡”，由必要性可可得：11/26/202219哈尔滨工业业大学土土木学院王王焕定变形体虚位位移原理和和势能原理理虚位移原理理的表述与与证明虚位移原理理的充分性性证明充分性需证证明虚功方方程恒成立立，变形体体必平衡。。因为虚功方程恒恒成立，由由此可得：：因为虚位移的任意性和独立性，由此可得：这表明在虚功方程恒成立时变形体必无加速度11/26/202220哈尔滨工业业大学土土木学院王王焕定变形体虚位位移原理和和势能原理理虚位移原理理的表述与与证明虚位移原理理的几点说说明1）适用于一一切可变形形物体（可可变性固体体、流体等）。2）虚功原理理和虚位移移原理是不不同的。前前者只是必要性命题题，而后者者则是充分分必要的命命题。3）王光远院院士与我曾曾经证明，，当不是取取微元体进行研究时时，不能证证明变形体体平衡。4）我们还曾曾经证明，，当虚位移移不具有完完全任意和独立性时时，也不能能证明变形形体平衡。。11/26/202221哈尔滨工业业大学土土木学院王王焕定变形体虚位位移原理和和势能原理理虚位移原理理的表述与与证明虚位移原理理的几点说说明5）只需将面面积分改成成体积分，，线积分改改成面积分，即可得得到三维问问题的虚功功方程。6）利用虚位位移原理做做近似分析析时，是应应用原理的充分性，，认为是用用必要性时时错误的。。7）像虚功原原理证明中中一样，外外力总虚功功可分解成荷载与切切割面内力力的总虚功功的和。此此时格林公式实质质是切割面面内力总虚虚功为零。。8）格林公式式也可理解解成是变形形体虚功原原理的变形。请大家自行行考虑如何何从虚功方方程出发，，用平衡和边边界条件推推得格林公公式。——作业11/26/202222哈尔滨工业业大学土土木学院王王焕定变形体虚位位移原理和和势能原理理一些名词含含义的解释释1）任何满足足几何方程程和位移边边界条件的的位移，称作可能位位移，记作作[d]k。2）由可能位位移通过几几何方程求求得的应变变，称作可能应变，，记作[]k。3）由可能应应变通过物物理方程求求得的应力力，称作可能应力，，记作[]k。4）可能应力力在可能应应变时所作作的功，也也即所储存的应变能能，称作可可能应变能能，记作Uk。11/26/202223哈尔滨工业业大学土土木学院王王焕定变形体虚位位移原理和和势能原理理一些名词含含义的解释释5）从可能位位移退回到到初始（也也称自然））状态时，，外力所作的的功，称作作外力势能能，记作Pf。6）可能应变变能和外力力势能的总总和，称作作对应可能位移[d]k的总势能，，简称总势势能，记作作k。7）可能位移移和真实位位移的偏差差，称作位位移的变分，记作[d]。由此可得应应变、应力力的变分。。8）可能位移移总势能和和真实总势势能的偏差差，其中与位移变分分成线性关关系的部分分，称作势势能的一阶变分，，记作。位移变分二二次式部分分称作势能的的二阶变分分，记作2。余类推。11/26/202224哈尔滨工业业大学土土木学院王王焕定变形体虚位位移原理和和势能原理理势能驻值原原理和最小小势能原理理势能驻值原原理的表述述：某一变形可可能状态为为真实位移状态的的充分必要要条件是，，相应于此此位移状态态的变形体势势能取驻值值。也即势势能对位移移的一阶变变分恒等于零零。为了证明上上述原理，，先证明如如下的格林公式：：式中满足平衡条件，和间满足几何方程，还满足位移边界条件。11/26/202225哈尔滨工业大大学土木学学院王焕定定变形体虚位移移原理和势能能原理势能驻值原理理和最小势能能原理格林公式的证明：格林公式证毕毕11/26/202226哈尔滨工业大大学土木学学院王焕定定变形体虚位移移原理和势能能原理势能驻值原理理和最小势能能原理势能驻值原理理的证明：变形体的总势势能可表为：：式中势能的一一阶变分为：：将位移的一阶阶变分理解为为虚位移，则由变形体体虚位移原理的虚虚功方程可证证势能一阶变变分为零，能能保证平衡。。因此，势能能原理结论正正确。1611/26/202227哈尔滨工业大大学土木学学院王焕定定变形体虚位移移原理和势能能原理势能驻值原理理和最小势能能原理最小势能原理理：线性、弹性变变形体的总势势能可表为：：由此可证明，，对于一切位位移变分，势势能的二阶变变分恒大大于等等于零零（仅仅在位位移变变分为为零时时才等等于零零）。。因此此势能能取最最小值值。从势能能原理理证明明可见见，它它和虚虚位移移原理理等价价。都都等价于于平衡衡条件件.11/26/202228哈尔滨滨工业业大学学土土木学学院王王焕焕定虚位移移原理理和势势能原原理的的应用用里兹法法里兹法法基本本思路路:选取满满足位位移边边界条条件的的函数数作为为“基基函数数”，，将一个个无限限自由由度的的位移移设为为若干干基函函数的的线性性组合，，从而把把无限限自由由度化化为有有限个个自由由度问问题。。以所设设位移移作为为可能能位移移，令体系系的总总势能能一阶变分分恒等等于零零使系系统近近似平平衡，，从而求求得组组合系数。。代回所所设位位移场场，可可进一一步确确定任任意点点的位移，，利用用几何何、物物理方方程，，还可可求得得应变变和应应力等。。上述近近似方方法即即为里兹法法。11/26/202229哈尔滨滨工业业大学学土土木学学院王王焕焕定虚位移移原理理和势势能原原理的的应用用里兹法法里兹法法的解解题步步骤:1）选取满满足位位移边边界条条件的的函数数作为为“基基函数数”2）设近近似位位移场场为基基函数数的线线性组组合3）将所所设位位移场场代入入势能能表达达式，，从而而将势势能表为组组合系系数的的函数数4）令势势能一一阶变变分（（对组组合系系数偏偏导））为零零，建立求求组合合系数数的线线性代代数方方程组组，并并求所所需量量11/26/202230哈尔滨滨工业业大学学土土木学学院王王焕焕定虚位移移原理理和势势能原原理的的应用用里兹法法例一一：试试求图图示悬悬臂梁梁挠曲曲线并并计算算B点挠度度1）选取满满足位位移边边界条条件（A点挠度度转角角为零零）的函数数作为为“基基函数数”2）对于于所选选的挠挠曲线线，其其虚位位移、、虚曲曲率，，可能能位移移对应应的弯弯矩等等如下下所示示：11/26/202231哈尔尔滨滨工工业业大大学学土土木木学学院院王王焕焕定定虚位位移移原原理理和和势势能能原原理理的的应应用用里兹兹法法例例一一：：试试求求图图示示悬悬臂臂梁梁挠挠曲曲线线并并计计算算B点挠挠度度3）外外力力的的总总虚虚功功为为：：4）总总虚虚变变形形功功为为：：11/26/202232哈尔尔滨滨工工业业大大学学土土木木学学院院王王焕焕定定虚位位移移原原理理和和势势能能原原理理的的应应用用里兹兹法法例例一一：：试试求求图图示示悬悬臂臂梁梁挠挠曲曲线线并并计计算算B点挠挠度度5）当当v仅取取一一项项时时，，由由虚虚功功方方程程可可得得：：当v仅取取二二项项时时，，由由虚虚功功方方程程可可得得：：当v取三三项项时时，，由由虚虚功功方方程程可可得得：：11/26/202233哈尔尔滨滨工工业业大大学学土土木木学学院院王王焕焕定定虚位位移移原原理理和和势势能能原原理理的的应应用用里兹兹法法例例一一：：试试求求图图示示悬悬臂臂梁梁挠挠曲曲线线并并计计算算B点挠挠度度5）当当v仅取取一一项项时时，，弯弯矩矩为为：：当v仅取取二二项项时时，，弯弯矩矩为为：：当v取三三项项时时，，弯弯矩矩为为：：里兹兹法法位位移移精精度度高高于于内内力力精精度度当试试函函数数组组合合包包含含真真解解时时，，结果果为为精精确确解解，，否否则则为为近近似似解解11/26/202234哈尔尔滨滨工工业业大大学学土土木木学学院院王王焕焕定定虚位位移移原原理理和和势势能能原原理理的的应应用用里兹法例二：试求图示桁架结点位移并计算各杆内力(各杆EA相同)设D点水平位位移为u，竖向位移移为v。在此位移移下，体体系的应应变能U为：体系的外外力势能能为：体系的总总势能为为：11/26/202235哈尔滨工工业大学学土木木学院王王焕定定虚位移原原理和势势能原理理的应用用根据势能能原理，，真实位位移应使使总势能能最小，，因此由由势能对对位移的的偏导数数为零可可得由此可解解得11/26/202236哈尔滨滨工业业大学学土土木学学院王王焕焕定虚位移移原理理和势势能原原理的的应用用由位移移可求求得各各杆变变形（（伸长长）如如下：：由此可可解得得各杆杆的轴轴力为为：从这个个例子子你能能得到到什麽结结论？？（可参参考龙龙书14章）11/26/202237哈尔滨滨工业业大学学土土木学学院王王焕焕定虚位移移原理理和势势能原原理的的应用用例三：用原理推导等直杆AB杆端位移和杆端力关系取试函函数如如下：：11/26/202238哈尔滨滨工业业大学学土土木学学院王王焕焕定虚位移移原理理和势势能原原理的的应用用例三：用原理推导等直杆AB杆端位移和杆端力关系杆内任任意一一点的的挠度度v可用结结点位位移作作参数数，用用试函函数的的组合合来得得到，，从试试函数数示意意图可可见，，此时时位移移边界界条件件自动动满足足由此位位移引引起的的杆件件应变变能U为：11/26/202239哈尔滨滨工业业大学学土土木学学院王王焕焕定虚位移移原理理和势势能原原理的的应用用由此位位移引引起的的杆件件外力力势能能可用用下式式求得得由势能能原理理，总总势能能对位位移的的偏导导数等等于零零（这这都是是数学学推演演，请请大家家自己己看龙龙先生生的教教程））可得得将应变变能和和外力力势能能相加加，可可得杆杆件总总势能能为：：式中[k]、{R}见下一一页。。11/26/202240哈尔滨工业业大学土土木学院王王焕定虚位移原理理和势能原原理的应用用

由势能原理所推得的“刚度方程”式中刚度矩矩阵为11/26/202241哈尔滨工业业大学土土木学院王王焕定虚位移原理理和势能原原理的应用用

由势能原理所推得的“刚度方程”式中等效荷荷载矩阵为为希望大家自自行推导上述结结果不难验证，，此结果和由叠叠加得到的转角角位移方程一样样。杆端力矩阵等效结点力矩阵11/26/202242哈尔滨工业业大学土土木学院王王焕定势能原理在在平面问题题中的应用用设可能位移移为试用势能原理求图示平面应力问题的位移。显然此位移移自动满足足位移边界界条件。当当只取一项项时由此可得应应变能为11/26/202243哈尔尔滨滨工工业业大大学学土土木木学学院院王王焕焕定定势能能原原理理在在平平面面问问题题中中的的应应用用由此可得应变能为应力边界的位移为由此可得外力势能为11/26/202244哈尔尔滨滨工工业业大大学学土土木木学学院院王王焕焕定定势能能原原理理在在平平面面问问题题中中的的应应用用由此可得总势能为由最小势能原理可得11/26/202245哈尔尔滨滨工工业业大大学学土土木木学学院院王王焕焕定定势能能原原理理在