第5章刚体力学基础-5.1-3力矩动能

第5刚体力学基础动量5.2力矩刚体绕定轴转动微分方程5.3绕定轴转动刚体的能定理5.2力矩刚体绕定轴转动微分方程5.3绕定轴转动刚体的能定理这些物体的运动--刚体的有质无大有质有大有质有大大小和状不是特殊的质刚体的平动和定轴--1刚体的平（可归结为质点运)1刚体的平（可归结为质点运)AB刚体的分定轴转动和非定轴转动刚体的定轴刚体内各点都绕同一直 (转轴)转动,而转轴固定不动 描述刚体绕定轴转

dd 刚体定轴转动的特点 刚体上每一质点均作圆周运运动圆面刚体上一质点运动的由

相同

v

刚体绕定轴若常数, 若常数，刚体绕定轴做匀变速转动。 0t0匀变速

t1t200

2

绕定轴转动刚体内各点的速度和加速OvθM刚运动OvθM刚由角量与线量关vrM

ar dvr 刚体作定轴转动时,角速度ωω逆时针转动,θω沿转轴向上,ω0顺时针转动,θω沿转轴向下,ω0设ω1,ω2同向，Δω=ω2-ω1。 Δω>α>

Δω<α<加速转 转vr 角量vr v anva 例1一飞轮的半径为0.2m,转速为150转／分经30s均匀后停止求:(1)角加速度和飞轮转的(2)t6s时的角速度;飞轮边缘上一点的线0

2π150（）

2 2

5πrads00

2

-t

05ππrads2 飞轮在30s

2

-2 转过的角度

0

N75π37.5 (2t6s时的角速度0t4πrad/s飞轮边缘上一线速切向加速

vr2.5m/sar0.105ms2法向加速度：an

/rr2

31.6ms例2设圆柱型电机转子由经300s后达求:转子在这段时间内转过的圈数因角加速度α随时间而增大设由定义,

dd1 1 ct2两边积

ctd 所

在t300s18000rmin180002π600πrads-1c22600π πradst 300 75任意时刻的角1ct21πt2 t2rads1 由角速度的定

d

πt得到：d0

tt2dt0

dt t转子300s内转N

2π例3r=0.5m的飞轮以α=3rad/s2的恒定角速度由开始转动，试计算它边缘上一点M在2s末时的速度、切向加速度和法向加速度；问位于半径中点处速度、切向加速t6.00边缘上一点M在2s末时的速度的vr0.506.003.00ms1 M点2s末时的切 1.50msn n

0.5(6.00)2

18.0ms（3）半径中点rr2vr0.256.001.50ms1r

0.253.000.75msnan

0.25(6.00)

9.0ms5.2力矩刚体绕定轴转动微分方程绕定轴转动刚体的能定理获得加力力对参考点定义 Mr 力矩大小为

rFF

m md力矩方向为：由右手法则单位：.注：(1)相同的力对不同的参考点的力矩不同(2)空间矢。力对于定轴的力若力F不在转动平面FF1F2⊥转轴，对定轴转动有贡MrrF1r

转轴FF 转 平面 r沿Z轴分量,F对Z轴的力矩MZZMZr O

F1F Frsin

平 F2d（d：力臂思考OMZF2rO力矩：全面考虑力的3要 （大小、方向、作用点MZMZ1MZ2MZ3刚体绕定轴转动微分方程（转动定律

dmk上的外力d

，内力fk

Fkfk 在圆轨迹切线方 m mr

两边乘以rk，并对整个刚体求 (mr2) k

fk (mr2)

fk 其中FkrkMz称为合外力矩；kfkrkk

内力矩令J

mr2，称为刚体对z轴的转动惯量 JzM

d MzJ刚刚体绕定轴转动时，刚体对该轴的转动惯量与角加速度的乘积等于作用在刚体上所有外刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力 MJ—刚体绕定轴转动微分方程，或转动定律转动第二MF刚体的转动惯性mαaMJJFmam两个定律在形式上对应,都是反映瞬时效应转动惯

iJmriiJr2dm确定转动惯量的三个要素(3)转轴的位J与刚体的总质量例如,求等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动MLMLOx取微小段细棒dm

Jr2dmLLJx2dxx2 dx1MLLL JJRmO解：取微RmOdm

Jr2dmLJL

R2dm

20

R2dlR20

dl2πR

dmds

m2πrdr2mr R2RrmOmJRrmOm0 R2mr3drmR2 R2 J与转轴的位置有MLMLOx JL/2x2dxL/

MLOxMLOx平行轴zMLC zMLCz' czJz'L

刚体绕任意轴的转转动惯量J的计按定义计例1求长为L质量为m的均匀细棒对图中不解取如图坐标，dmBxLLJ L

x2dxmL2/L 2

x2dxmL2/12CCBxL2 JC＋m mL2 mL2

mL2J2 用平行轴定理、迭 L质量 JL

1 L2L3L1mR

(棒对边缘轴(圆盘对中心轴oJL2

2J0

m0d2(圆盘对棒边缘轴J1mL21mR2m(LR)2 M..ROJJ大J如三线扭摆法例求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动O JO R20mRJ是可加的,若为薄圆筒（不计厚度）结转动定律的应用rF例1一轻绳绕在半径r=20cm的飞轮边缘，在绳端施以F=98N的拉力，飞轮的转动J=0.5kgm2,飞轮与转轴rF求:(1)飞轮的角加速如以重为P=98N的物体挂绳端,试计算飞轮的角加速度

由公

J

rFrFT两者区别mgT两者区别a

mgrJmr

980.510

例2一定滑轮质m，半r,不能伸长的轻绳两边分m1m2的物体挂于滑轮上,m1m2,绳与滑轮间无相对滑动。设轮轴光滑无摩擦,滑轮的 mm1解:以m1,m2,m为研究对象,受力分析 T2m2g

1ra1a2a

2

m2

mm

0

mm1m

mm1m

例3一根长为l、质量为m的均匀细直棒,其一端有一固定的光滑水平轴,因而可以在竖直平面内转动。最初棒在竖直位置,由于微小扰动,在重力作用下由llOP开llOP求:它由此下至摆角角加速度和角速度解:取棒为研究对象，棒下摆为加速过程,外力矩为重力对当棒处在下摆角时,重力矩M1mglsin2棒绕轴O的转动惯量

lllOPJ1ml3M1mglsinM1mglsin2棒处于θ角时：

J1ml3 3g313 13而d

dddddddd3gsind2l两边积分

d

3gsind2l角速度

l5.2力矩刚体绕定轴转动微分方程5.3绕定轴转动刚体的能定5.35.3定轴转动刚体的动zOPvkΔm1,Δm2,,zOPvk v1,v2,,vk,,Δmk的动能E1Δmv

1Δm

刚体的总EE

1Δm

k12

2Δmk

2

质点的动11J2

2绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转力矩的力的空间累积过程—力矩的空间OdOdrFr.PdAFdrFcos（力矩做功的微分形式对一有限 1

M

AM(2合力矩A

Md

(Mi)d

Mid

i力矩的绕定轴转动的刚体的内力矩作功之和力矩的功pdAMd 力矩的功率可以写成力矩与角速度的乘积绕定轴刚体的动能定理（合力矩功的效果元功dAMJJ(Jd)dJddk kd(12

J2)对于一有限2 2 11A dA11

J) AEk2绕定轴转动刚体的动能定理绕绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量刚体是质点系，为什么我们忽略内力做功刚体的内力做功之和为Epmi

质心的

C

m

mghc

h

定轴转动刚体的机

E12

例1l,m的均匀细直棒，可O在竖直平面内转动,初始时它在水平位解M

1 mmlx由动能A

Md

l2 而J

1ml mmlx l

(3gsin)1/l此题也可用机械能守恒定律方便求解方法二细棒＋地球,系统机械能守选定末状态时重力势能为势能零点水平位置：末状态

EP11

Ek1

1mglsinCE2EP

Ek

J2 2

mglsin 1J3gsinl3gsinl M mh例2一个质量为M,半径