专题35 立体几何中的探索性问题求解策略-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】（原卷版）

专题35立体几何中的探索性问题求解策略【高考地位】立体几何中的探索性问题是高考几何的一个难点，尤常见于新高考的多选题中，其题目特点是灵活性较强，需要相对丰富的空间想象能力及计算能力，对所研究几何体进行深入的剖析与推理，其常见类型有两种：一、空间中位置关系的探索；二、空间角的探索.类型一空间中位置关系的探索方法一几何法万能模板内容使用场景不规则几何体或不好建立坐标系的几何体解题模板第一步确认几何体类型；第二步通过补形、延展、分割等将所求问题平面化；第三步利用所探索的点线面相关的条件，结合判定定理及性质定理进行推理与计算.例1已知正四棱锥的所有棱长均为，，分别是，的中点，为棱上异于，的一动点，现有以下结论：①线段的长度是；②周长的最小值为；③存在点使得平面；④始终是钝角.其中不正确的结论共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【来源】河北省沧州市2021届高三三模数学试题【变式演练1】（多选）在直角三角形ABC中，∠B＝，AC＝2BC＝4，D为线段AC的中点，如图，将△ABD沿BD翻折，得到三棱锥P﹣BCD（点P为点A翻折到的位置），在翻折过程中，下列说法正确的是（）A．△PBD的外接圆半径为2B．存在某一位置，使得PD⊥BDC．存在某一位置，使得PB⊥CDD．若PD⊥DC，则此时三棱锥P﹣BCD的外接球的体积为【来源】山东省百师联盟2021届高三二轮联考数学试题（二）方法二向量法万能模板内容使用场景求参数（或范围）方便或可以建立坐标系解题模板第一步观察几何体特征，确定坐标系；第二步分别求出组成的几何体的体积；第三步根据公式求解结果.例2、3．已知长方体中，，点在线段上，平面过线段的中点以及点、，现有如下说法：（1），使得；（2）若，则平面截长方体所得截面为平行四边形；（3）若，，则平面截长方体所得截面的面积为以上说法正确的个数为（）A． B． C． D．【来源】全国一卷2021届高中毕业班考前热身联合考试理科数学试题例3、（多选）在棱长固定的正方体中，点E，F分别满足，，则（）A．当时，三棱锥的体积为定值B．当时，存在使得平面C．当时，点A，B到平面的距离相等D．当时，总有【来源】江苏省苏州市2021-2022学年高三上学期期初调研数学试题【变式演练2】（多选）在棱长为1的正方体中，点E为线段上一动点（不包含端点），则下列说法正确的有（）A．平面B．的最小值为C．存在点E使得D．点D到平面的距离为【来源】全国新高考2021届高三数学方向卷试题（A）【变式演练3】如图所示，在四棱锥中，平面，，，，为的中点．（1）求证平面；（2）若点为的中点，线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请确定的位置；若不存在，请说明理由．【来源】湖北省恩施州2021-2022学年高三上学期第一次教学质量监测数学试题类型二空间角的探索方法一几何法万能模板内容使用场景不规则几何体或不好建立坐标系的几何体解题模板第一步确认几何体类型；第二步通过垂线法、垂面法等作出角；第三步利用所探索的点线面相关的条件，结合判定定理及性质定理进行推理与计算.例3．如图，矩形中，已知为的中点．将沿着向上翻折至得到四棱锥．平面与平面所成锐二面角为，直线与平面所成角为，则下列说法错误的是（）A．若为中点，则无论翻折到哪个位置都有平面平面B．若为中点，则无论翻折到哪个位置都有平面C．D．存在某一翻折位置，使【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2021届高三下学期5月高考押题卷文科数学试题【变式演练4】（多选）在棱长为1的正方体中，点满足，，，则以下说法正确的是（）A．当时，平面B．当时，存在唯一点使得与直线的夹角为C．当时，长度的最小值为D．当时，与平面所成的角不可能为【来源】湖北省恩施州2021-2022学年高三上学期第一次教学质量监测数学试题方法二向量法万能模板内容使用场景求不确定点或面的问题解题模板第一步确定空间直角坐标系；第二步通过条件进行推理，引入变量表示所需点的坐标；第三步利用所探索的点线面相关的条件，结合向量计算确认参数的值或范围.例4．如图1，菱形中，动点，在边，上(不含端点)，且存在实数使，沿将向上折起得到，使得平面平面，如图2所示.（1）若，设三棱锥和四棱锥的体积分别为，，求；（2）试讨论，当点的位置变化时，二面角是否为定值，若是，求出该二面角的余弦值，若不是，说明理由.【来源】重庆市南开中学2021届高三下学期第六次质量检测数学试题【变式演练5】如图，在半径为的半球O中，平行四边形是圆O的内接四边形，，点P是半球面上的动点，且四棱锥的体积为．（1）求动点P的轨迹T围成的面积；（2）是否存在点P使得二面角的大小为？请说明理由．【来源】山西省临汾市2021届高三下学期二模数学（理）试题【高考再现】1．（2018年全国卷Ⅲ文数高考试题）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由．【反馈练习】1．（多选）已知梯形，，，，是线段上的动点；将沿着所在的直线翻折成四面体，翻折的过程中下列选项中正确的是（）A．不论何时，与都不可能垂直B．存在某个位置，使得平面C．直线与平面所成角存在最大值D．四面体的外接球的表面积的最小值为【来源】广东省佛山市五校联盟2021届高三5月数学模拟考试试题2．（多选）已知某正方体的平面展开图如图所示，点，分别是棱，的中点，是棱（不包含端点）上的动点，则下列说法正确的是（）A．四面体的体积为定值B．存在点使得平面C．存在点使得平面D．当为棱的中点时，平面截正方体所得上、下两个几何体的体积之比为【来源】2021新高考高考最后一卷数学第三模拟3．（多选）在棱长为1的正方体中，已知E为线段的中点，点F和点P分别满足，，其中，则下列说法正确的是（）A．当λ=时，三棱锥P-EFD的体积为定值B．当µ=时，四棱锥P-ABCD的外接球的表面积是C．的最小值为D．存在唯一的实数对，使得EP⊥平面PDF【来源】广东省2022届高三上学期新高考普通高中联合质量测评摸底数学试题4．如图，矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，，点在线段上.给出下列命题：①直线直线；②直线与平面所成角的正弦值的取值范围是；③存在点，使得直线平面；④存在点，使得直线平面.其中所有真命题的序号是______.【来源】四川省大数据精准联盟2021届高三第三次统一监测文科数学试题5．七面体玩具是一种常见的儿童玩具．在几何学中，七面体是指由七个面组成的多面体，常见的七面体有六角锥､五角柱､正三角锥柱､Szilassi多面体等．在拓扑学中，共有34种拓扑结构明显差异的凸七面体，它们可以看作是由一个长方体经过简单切割而得到的．在如图所示的七面体中，平面（1）在该七面体中，探究以下两个结论是否正确．若正确，给出证明；若不正确，请说明理由：①平面；②平面；（2）求该七面体的体积．【来源】广东省珠海市第二中学2021届考前模拟数学试题6．如图，为正三角形，半圆以线段为直径，是圆弧上的动点（不包括，点）平面平面．（1）是否存在点，使得？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由；（2），求直线与平面所成角的正弦值．【来源】百强名校2021届高三5月模拟联考（A卷）理科数学试题7．在滨海文化中心有天津滨海科技馆，其建筑有鲜明的后工业风格，如图所示，截取其中一部分抽象出长方体和圆台组合，如图所示，长方体中，，圆台下底圆心为的中点，直径为2，圆与直线交于，圆台上底的圆心在上，直径为1.（1）求与平面所成角的正弦值；（2）求二面角的余弦值；（3）圆台上底圆周上是否存在一点使得，若存在，求点到直线的距离，若不存在则说明理由.【来源】天津市河东区2021届高三下学期一模数学试题8．如图，已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面，且，，，且（1）设点M为棱中点，求证平面；（2）线段上是否存在一点N，使得直线与平面所成角的正弦值等？若存在，试求出线段的长度；若不存在，请说明理由．【来源】湖北省新高考联考协作体2021-2022学年高三上学期新起点考试数学试题9．如图，在三棱柱中，平面，，E，F分别为，的中点．（Ⅰ）在四边形内是否存在点G，使平面平面？若存在，求出该点的位置；若不存