习题《2曲边梯形的面积与汽车行驶的路程》同步练习及答案

曲边梯形的面积、汽车行驶的路程同步练习一、选择题1．和式eq\i\su(i＝1,5,)(yi＋1)可表示为()A．(y1＋1)＋(y5＋1)B．y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋1C．y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋5D．(y1＋1)(y2＋1)…(y5＋1)[答案]C[解析]eq\i\su(i＝1,5,)(yi＋1)＝(y1＋1)＋(y2＋1)＋(y3＋1)＋(y4＋1)＋(y5＋1)＝y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋5，故选C.2．在求由x＝a，x＝b(a<b)，y＝f(x)(f(x)≥0)及y＝0围成的曲边梯形的面积S时，在区间[a，b]上等间隔地插入n－1个分点，分别过这些分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是()①n个小曲边梯形的面积和等于S；②n个小曲边梯形的面积和小于S；③n个小曲边梯形的面积和大于S；④n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定A．1个 B．2个C．3个 D．4个[答案]A[解析]n个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为S.∴①正确，②③④错误，故应选A.3．在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上的近似值等于()A．只能是左端点的函数值f(xi)B．只能是右端点的函数值f(xi＋1)C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1])D．以上答案均不正确[答案]C[解析]由求曲边梯形面积的“近似代替”知，C正确，故应选C.4．求由抛物线y＝2x2与直线x＝0，x＝t(t>0)，y＝0所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t]等分成n个小区间，则第i－1个区间为()\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(i－1,n)，\f(i,n))) \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(i,n)，\f(i＋1,n)))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(t(i－1),n)，\f(ti,n))) \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(t(i－2),n)，\f(t(i－1),n)))[答案]D[解析]在[0，t]上等间隔插入(n－1)个分点，把区间[0，t]等分成n个小区间，每个小区间的长度均为eq\f(t,n)，故第i－1个区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(t(i－2),n)，\f(t(i－1),n)))，故选D.5．由直线x＝1，y＝0，x＝0和曲线y＝x3所围成的曲边梯形，将区间4等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的右端点)是()\f(1,19) \f(111,256)\f(110,270) \f(25,64)[答案]D[解析]s＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))3＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,4)))3＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))3＋13))×eq\f(1,4)＝eq\f(13＋23＋33＋43,44)＝eq\f(25,64).6．在等分区间的情况下，f(x)＝eq\f(1,1＋x2)(x∈[0,2])及x轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是()\o(lim,\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,[)eq\f(1,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(i,n)))2)·eq\f(2,n)]\o(lim,\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,[)eq\f(1,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2i,n)))2)·eq\f(2,n)]\o(lim,\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1＋i2)·\f(1,n)))\o(lim,\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,[)eq\f(1,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(i,n)))2)·n][答案]B[解析]将区间[0,2]进行n等分每个区间长度为eq\f(2,n)，故应选B.二、填空题7．直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2＋1围成的曲边梯形，将区间[0,2]5等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为________、________.[答案]8．已知某物体运动的速度为v＝t，t∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．[答案]55三、解答题9．求直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成曲边梯形的面积．[分析]按分割，近似代替，求和，取极限四个步骤进行．[解析]将区间[0,2]分成n个小区间，则第i个小区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2(i－1),n)，\f(2i,n))).第i个小区间的面积ΔSi＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2(t－1),n)))·eq\f(2,n)，∴Sn＝eq\i\su(i＝1,n,f)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2(i－1),n)))·eq\f(2,n)＝eq\f(2,n)eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(4(i－1)2,n2)＝eq\f(8,n3)eq\i\su(i＝1,n,)(i－1)2＝eq\f(8,n3)[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＝eq\f(8,n3)·eq\f((n－1)n(2n－1),6)＝eq\f(8(n－1)(2n－1),6n2).S＝eq\o(lim,\s\do4(n→∞))Sn＝eq\o(lim,\s\do4(n→∞))eq\f(8(n－1)(2n－1),6n2)＝eq\f(8,3)，∴所求曲边梯形面积为eq\f(8,3).[点评]注意求平方和时，用到数列中的一个求和公式.12＋22＋…＋n2＝eq\f(n(n＋1)(2n＋1),6).不要忘记对Sn求极限．10．汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程s＝vt.如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝t2＋2(单位：km/h)，那么它在1≤t≤2(单位：h)这段时间行驶的路程是多少？[分析]汽车行驶路程类似曲边梯形面积，根据曲边梯形面积思想，求和后再求极限值．[解析]将区间[1,2]等分成n个小区间，第i个小区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(i－1,n)，1＋\f(i,n))).∴Δsi＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(i－1,n)))·eq\f(1,n).sn＝eq\i\su(i＝1,n,f)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(i－1,n)))·eq\f(1,n)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(i－1,n)))2＋2))＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f((i－1)2,n2)＋\f(2(i－1),n)＋3))＝eq\f(1,n)3n＋eq\f(1,n2)[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＋eq\f(1,n)[0＋2＋4＋6＋…＋2(n－1)]＝3＋eq\f((n－1)(2n－1),6n2)＋eq\f(n－1,n).s＝eq\o(lim,\s\do4(n→∞))sn＝eq\o(lim,\s\do4(n→∞))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3＋\f((n－1)(2n－1),6n2)＋\f(n－1,n)))＝eq\f(13,3).∴这段时间行驶的路程为eq\f(13,3)km.11．求物体自由落体的下落距离：已知自由落体的运动速度v＝gt，求在时间区间[0，t]内物体下落的距离．[分析]eq\x(选定区间)→eq\x(分割)→eq\x(近似代替)→eq\x(求和)→eq\x(取极限)[解析](1)分割：将时间区间[0，t]分成n等份．把时间[0，t]分成n个小区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(i－1,n)t，\f(it,n)))(i＝1,2，…，n)，每个小区间所表示的时间段Δt＝eq\f(it,n)－eq\f(i－1,n)t＝eq\f(t,n)，在各小区间物体下落的距离记作Δsi(i＝1,2，…，n)．(2)近似代替：在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程．在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(i－1,n)t，\f(it,n)))上任取一时刻ξi(i＝1,2，…，n)，可取ξi使v(ξi)＝geq\f((i－1),n)t近似代替第i个小区间上的速度，因此在每个小区间上自由落体Δt＝eq\f(t,n)内所经过的距离可近似表示为Δsi≈geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(i－1,n)t))·eq\f(t,n)(i＝1,2，…，n)．(3)求和：sn＝eq\i\su(i＝1,n,Δ)si＝eq\i\su(i＝1,n,g)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(i－1,n)·t))·eq\f(t,n)＝eq\f(gt2,n2)[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝eq\f(1,2)gt2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n))).(4)取极限：s＝eq\o(lim,\s\do4(n→∞))eq\f(1,2)gt2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n)))＝eq\f(1,2)gt2.12．求由直线x＝1、x＝2、y＝0及曲线y＝eq\f(1,x2)围成的图形的面积S.[解析](1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个点，将它等分成n个小区间：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(n＋1,n)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,n)，\f(n＋2,n)))，…，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(n＋n－1,n)，2))，记第i个区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(n＋i－1,n)，\f(n＋i,n)))(i＝1,2，…，n)，其长度为Δx＝eq\f(n＋i,n)－eq\f(n＋i－1,n)＝eq\f(1,n).分别过上述n－1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形(如下图)，它们的面积记作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，则小区边梯形面积的和为S＝eq\i\su(i＝1,n,Δ)Si.(2)近似代替记f(x)＝eq\f(1,x2).当n很大，即Δx很小时，在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(n＋i－1,n)，\f(n＋i,n)))上，可以认为f(x)＝eq\f(1,x2)的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它等于f(eq\r(\f(n＋i－1,n)·\f(n＋i,n)))．从图形上看，就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边．这样，在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(n＋i－1,n)，\f(n＋i,n)))上，用小矩形面积ΔSi′近似地代替ΔSi，即在局部小范围内“以直代曲”，则有ΔSi≈ΔSi′＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(n＋i－1,n)·\f(n＋i,n))))Δx＝eq\f(n2,(n＋i－1)(n＋i))·eq\f(1,n)＝eq\f(n,(n＋i－1)(n＋i))(i＝1,2，…，n)．(3)求和小曲边梯形的面积和Sn＝eq\i\su(i＝1,n,Δ)Si≈eq\i\su(i＝1,n,Δ)Si′＝eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(n,(n＋i－1)(n＋i))＝eq\f(n,n(n＋1))＋eq\f(n,(n＋1)(n＋2))＋…＋eq\f(n,(n＋n－1)(n＋n))＝neq\f(1,n)－eq\