组合 教案(绝对经典)

第3讲

组合组合(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素为一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示．(3)组合数的计算公式：C＝＝＝，由于0！＝1，所以C＝1.(4)组合数的性质：①C＝C；②C＝C＋C.[难点正本疑点清源]1．排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关是排列，如果与顺序无关即是组合．2．求解排列、组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．”题型一简单组合问题例1从7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数．(1)A，B必须当选；(2)A，B不全当选.解(1)由于A，B必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可，有C＝120(种)．(2)全部选法有C种，A，B全当选有C种，故A，B不全当选有C－C＝672(种)．探究提高组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．【训练1】现有一批产品共10件，8件为正品，两件是次品。（1）一次抽取三件产品，有多少种抽法；（2）一次抽取三件产品中恰好有一件次品，有多少种抽法；（3）一次抽取三件产品中至少有一件次品，有多少种抽法；答案：(1)

2、3、题型二分组分配问题（平均分组；部分平均分组；非平均分组）例2九本不同的书：（1）分成三份，一份两本，一份三本，一份四本，有多少种分法；（2）平均分成三份，有多少种分法；（3）分成三份，一份两本，一份两本，一份五本，有多少种分法；【训练2】1、六本不同的书分给甲、乙、丙三人：（1）如果甲1本，乙2本，丙3本有多少种分法；（2）如果一人1本，一人2本，一人3本有多少种分法；（3）平均分成三份，有多少种分法；（4）如果每人两本，有多少种分法；题型三

相同元素分配问题例3、有10名三好学生名额，分配到高三年级的6个班，每班至少一个名额，有多少种分法。答案：相同元素分配问题：隔板法【训练3】（1）12个相同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种（2）12个相同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子中，要求每个盒子中的小球数不小于其编号数，问不同的放法有多少种？答案：（1）

（2）（3）、6本相同的数学书和3本相同的语文书分给9个人,每人1本,共有不同分法

答案：（4）、2本相同的数学书和3本相同的语文书分给6个人,每人至多1本共有不同分法

答案：题型四

多面手问题例4

有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名是英、日语均精通，从中找出8人，使他们可以组成翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单可以开出几张？答案：【训练4】1、题型五

取鞋问题（成双问题先组后拆）例5

从不同号码的10双靴中任取4只，求满足下列要求的情况数：（1）四只恰成2双（2）四只没有成双（3）四只恰好有2只成双（1）

（2）

（3）题型六

空位连续问题例6

（1）、（2）（3）（4）答案：（1）

（2）先把8辆车排好：种，此时有9个空位，再把4个空位连在一起插入9个空位中有：种，

（3）

（4）12题型七

几何问题例7（1）平面内不同的10个点可以确定多少条线段；多少条有向线段；答案：（2）空间8个点最多可确定

个平面；

个四面体；答案：（3）以正方形的四个顶点，四边中点，中心共9个点中的3个点可以作

个三角形；答案：（4）以正方体的8个顶点为顶点的三棱锥有

个；答案：题型八

台阶问题例8小明走16级台阶，要求一步只能迈两级或三级台阶，共有多少种走法。解：0次3级：1种；1次3级：不可能；2次3级即5次2级：=213次3级：不可能；4次3级即2次2级：=15；

所以共37种【训练8】答案：；另解：3个2级4个1级：=35题型九分球入盒问题例9将5个小球放入3个盒子中，在下列条件下分别有多少种投放方法。（1）小球不同，盒子不同，盒子不空；（2）小球不同，盒子不同，盒子可空；（3）小球不同，盒子相同，盒子不空；（4）小球不同，盒子相同，盒子可空；（5）小球相同，盒子不同，盒子不空；（6）小球相同，盒子不同，盒子可空；（7）小球相同，盒子相同，盒子不空；（8）小球相同，盒子相同，盒子可空；（1）

（2）35（3）

（4）（5）隔板法：C=6

（6）隔板法：（7）有3,1,1；2,2,1共2种。（8）有3,1,1；2,2,1；4,1,0；

3,2,0；

5,0,0共5种。【训练9】1、4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有2个盒不放球，共有几种放法？解(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有＝144(种)．(2)确定2个空盒有C种方法．4个球放进2个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有CCA种方法；第二类有序均匀分组有·A种方法．故共有C(CCA＋·A)＝84(种)．2、将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为

(

)A．18

B．24

C．30

D．36答案C

排除法：题型十错位排列问题例10将数字1,2,3,4,填入标号为1,2,3,4的四个方格里，每格填一