初等变换与初等矩阵

初等变换与初1、定义与性2、几个矩阵分解3、矩阵的等矩阵的初等变换于解线性方程组的3类同解变形，利用初等变换将矩阵A化成形状“简单”的矩阵B，以通B探讨或解决A有关的问题或某些性质是矩阵问题的常用方法.1、定义与性分别称以下3类变换为矩阵的第1、2、3类行(row)或1、对调矩阵中任意两行(或列)的位置rij(cij)表示对调一个矩阵的irij(cij)表示对调一个矩阵的ij(列)的第1类行(列)初等变换2、以一非零常数乘矩阵某一用ri(α)(或ci(α))表示以α≠0乘矩阵第i行(列)的第2类 记 ri→αri(ci→αci3、将矩阵某行(或列)的数量倍数加到另一rij(kcij(k)表示k乘矩阵irij(kcij(k)表示k乘矩阵i行(列)后到第j行(列)的第3类行(列)初等变定义把行初等变换与列初等变换统称为初等变

1

2A

2

1 1

1 2

2

1

1 5

6 2

1 3 定定BA是等价(或相抵)矩阵matrix)，B～自反对称传递自反对称传递A～B～AA～A～BB～CA～就称这两个线性方程组等就称这两个线性方程组等矩阵称为相应的行(列)初等矩分别记第1、2、3矩阵称为相应的行(列)初等矩分别记第1、2、3类行列初等矩阵Rij,Ri(αRijkCij,Ci(α),Cij(k)01101101R

i

jRi(

1 11Ci() 11

i 1 1 iRij(k)

Cji(k)

11

j 00010010000010001000 00E0

00 0 1

(k)

0000k 000k 1 0 0

R3(k001001

011

00E0

0 00 0 1

010010

00001

R23

0

a14

14 R23A

0

a22

a23

a2431 32

3400a10 00a10

aaa34aaa

a22

a23

a24a01a00 01a00

a42

a43

44

a42

a43

a44

a14

14

a21

a22

a23

a24

0

24

0

34

34a41

a42

a43

a44

a43

a42

a4400E0

0 00 0 1

1 0000

0 00k0k 1

R3(k

a14

a11

a14aR(k)A

a21

a22

a23

a24 21 22

24

0

ka32

34

34

1

a42

a43

a44 42 43

44AR(k

a21

a22

a23

a14 a24

a11aa21a

a12a22

ka23

a14a24a a31

a034 a0

0 0

a32

ka33

a34aa41

a42

a43

a44

1

a42

ka43

a4400E0

0 00 0 1

(k)

0000

0 00101 1

R(k)A

a21

a22

a23

a14a24

0

34 a21 a31

1a41a22a32

a42

a43

a44a23a33

a41

a42

a43

a44ka1400E0

0 00 0 1

(k)

0000

0 00101 1

a14

0AR14(k)

a21

a22

a23

a24

0aa aa

a33

34

0

a42

a43

a44

1a11

a14a21

ka24

a22

a23

a24 31 34 32 33 34a41

ka44

a42

a43

a44定理1对mn矩阵A,做一次行(列)初等变换，所得的矩阵B，等于以一个相应m阶行(n阶列)初等矩定理2初等矩阵都是可逆阵，且其逆阵亦为同类型初等矩阵，RRRR

,R1()

(1)iiii

RkR RkR

i类似地iCRCR

,C1(

Ci

(1)

CkC CkC

定理3定理3阵阵2几个矩阵分解引理

m

推论1任一m

矩阵A，必可通过有限次初等变换，成为简化梯矩阵 单位阵E根据引理及推论可推出如下定定理4任一mn矩阵A，必可分解成若干个行初等矩阵与一个简化梯矩阵的积，简化梯矩阵的非零总数为r，r不超过P35例

1

1

r23(1) 0046700 1 0046700由定理1可写

T

根据定理2及行初等矩阵逆矩阵的公式A 13可以进一步将T矩阵通过行初等变换化为简化梯矩阵于是

可分解成行初等矩阵与简化梯矩阵的AR12( 根据引理的推论2，可定理5任一n阶可逆阵，必可写成行初等矩阵之积

7A 3372 372 E

(

)R

5

(1

(2)

32

3

2

P52例将矩阵A写成行初等矩阵与梯矩阵之积其 4A 961 2061先将A用初等行变换化成梯矩阵UR23(2)R13

其 U00

4 16 6E R1(2)R21(3)R2(4)R31(4)R32(1)R3(6

将（1）代入（2），再分别在等式两边取矩阵的逆，可将A写AR12(2)R13(3)R23(2)R3(6)R32(1)R31(4)R2(4)R21(3)R1注一个可逆阵分解成行初等矩阵的乘积，对理解矩乘法有益。设A是n阶可逆阵，B

n接上面的 4 96 206可以将上式写A

R12记A

其 L33

0 011L是个对角线元全为1的下三角阵，称为单位下三角阵且式（3）称为矩阵的LU分解另外，梯矩阵，我们可反用对角阵与矩阵相乘的“左行”规则。将

0

3/ 2U 1 0

1/4

060 00 060 00

1于是A又可写A

其中L是单位下三角阵，D是对角阵，U1是三角阵，（4）式称为矩阵的LDU分解定义若一个矩阵具有如下特征就称之为阶梯(形)矩零行(即其元素全为零的行)位于全部非零行的下方(如果矩阵有零行的话);非零行的首非零(即位于最左边的非零列标随定义若阶梯矩阵具有如下特征就称之为简化梯矩非零行的首非零元为非零行的首非零元所在列的其余元素皆为例0000C

311300200000442 0 都是阶梯矩阵,但只有B是简化梯矩 3 矩阵 1 4 都不是阶梯矩矩阵初等变换举21

1

1 4 12346 6 346

1942 94

21 22 1 2 6 9

定理任

1 4

1 4

非零矩阵等变换等变换

2 0

1 0

0 536

26

3 43 1 1 1 1 140

1310011001 3

阶梯矩阵~

13

简化梯矩阵 行阶梯形矩简行阶梯形矩简化梯矩

0一个矩阵经行初等变换所化成的阶梯矩阵显然不定定位于左上角的子块是一个r阶单位其余的子块(若有的话)都是零矩阵 0 01 1例如 0 1 0 0 都是标准形矩定理任意非零矩阵都可经初等变换化为标准形矩

4

c

3

3 0 矩阵化为标准形的步

4（1）对矩阵作行初

c

3 变换使之化为简化梯

3 阵 0 （2）再对简化梯矩阵c

0列初等变换化为标准

3c2

0 注矩阵不同，但标准形可能相注

0矩阵的等 分定理对任一mn矩阵A,必可经过有限次初等变换，化成如下形式的mn矩阵：Ir O

称为A的等价标准 亦即，对亦即，对任mnA必可找到初等阵R1R2…Rs及C1C2…Cl，RRRACCIrOOO OOrrA而定的不超min(mn)的非负整数，并约r=0时,I0为零矩阵.定对任mnA,必可找m阶可逆R定n阶可逆阵C，RAC

Ir OOO OO rA而定的不超过min(mn)的非负整数每个mn矩阵都有唯一确定的等价标准形R、C皆为可逆阵，故存R-1C-1A=R-1NC-若分别记可逆R-1C-1A=R-1NC-对任mnA，必可找到可逆阵P、QA=P

成立上式为矩阵A的[等价]标准形分解将矩阵等价标准形分解的一般结论用于非阵，还可得出一些有用的结论.定设A，B为n阶方阵，若ABI(或BAI)，则称A、定均为非阵，且他们互为逆矩阵，即BA=I(或AB=I证明由A=PNQ，对矩阵A，存在n阶非阵P、使成

APIrOO

OQOO

(rABIIr O

Ir OQB

PP QB

O OO O IrOO

OQBOO

P由此可断rn从A=PInQ=是非阵之积，故A为非阵AB=I的两边A-1左乘，可B=A-1,所以B也是非阵，且有B-1=(A-1)-1=A.即必有BA=I，定理证毕.注为了说明方阵B是方阵A的逆阵，仅需验证ABI或BA=I中任一成立即可.注定n阶矩阵A为可逆阵的充分必要条件是A可表定定n阶矩阵A为非阵的充分必要条件是可通过对A作有限次行(列)初等变换后化成单位阵.定 证明充分性A可通过有限次行初等变换化成单位阵，即存在有限个初等阵R,…,R使R…RA 若记R=R 则因RA= 故A为非阵 必要性由非阵A可写成有限个初等阵的乘(不妨均看作为行初等阵)AR1RtR1Rt所以Rt-1R1-1A=因Rt-1，R1-1均为行初等阵这就表明A可经有限次(t次)行初等变换化为单位用初等变换来解释GJ消元法解该方程组先写出方程组的增广矩 2方程组系数矩

方程组数项