2016届高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档71不等关系与不等式

学必求其心得，业必贵于专精§7.1不等关系与不等式1．两个实数比较大小的方法(1）作差法错误!（a，b∈R)；（2）作商法错误!(a∈R,b>0）．2．不等式的基本性质性质性质内容特别提示对称性a〉b?b〈a?传达性a〉b，b〉c?a>c?可加性a〉b?a＋c〉b＋c?错误!?>注意c的符可乘性acbc错误!?ac〈bc号同向可加错误!?a＋c〉b＋d?学必求其心得，业必贵于专精性同向同正错误!?ac〉bd?可乘性a>b〉0?an〉bn可乘方性（n∈N,n≥1）a，b同为正a〉b>0?错误!>错误!数可开方性（n∈N，n≥2）3.不等式的一些常用性质（1）倒数的性质a>b，ab〉0?错误!〈错误!。②a〈0<b?错误!<错误!。③a>b〉0，0〈c〈d?错误!>错误!.0<a〈x〈b或a<x<b〈0?错误!<错误!〈错误!。(2）有关分数的性质若a〉b>0，m〉0，则①错误!〈错误!;错误!〉错误!（b－m〉0）．②错误!〉错误!;错误!<错误!(b－m>0)．【思虑辨析】判断下面结论可否正确(请在括号中打“√”或“×”）学必求其心得，业必贵于专精1）a〉b?ac2>bc2.（×)2）a>b〉0，c〉d〉0?错误!>错误!。(√）3）若ab>0,则a〉b?错误!〈错误!。(√)4）若错误!〉1,则a〉b.（×）(5）若a〉b〉1，c<0,则logb（a－c）〉loga（b－c）．(√)（6）若错误!〈错误!〈0，则｜a|>|b｜。（×）1．(2014·四川)若a〉b>0，c〈d<0，则必然有(）A。错误!>错误!B.错误!〈错误!C.错误!>错误!D。错误!〈错误!答案D解析令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2，a则c＝－1，错误!＝－1，因此A，B错误；错误!＝－错误!,错误!＝－错误!，因此错误!<错误!,因此C错误．应选D.2．设a<b〈0，则以下不等式中不行立的是( )学必求其心得，业必贵于专精A.错误!>错误!B.错误!〉错误!aba错误!C．|｜〉－D。－〉答案B解析由题设得a〈a－b〈0，因此有错误!<错误!建立，即错误!>错误!不行立．3．限速40km/h的路标，指示司机在前面路段行驶时,应使汽车的速度v不高出40km/h,写成不等式就是____________．答案v≤40km/h4．已知a1≤a2，b1≥b2，则a1b1＋a2b2与a1b2＋a2b1的大小关系是________________．答案a1b1＋a2b2≤a1b2＋a2b1解析∵a1b1＋a2b2－(a1b2＋a2b1）a1（b1－b2）＋a2（b2－b1）(b1－b2）(a1－a2)，a1≤a2,b1≥b2，(b1－b2）(a1－a2)≤0,a1b1＋a2b2≤a1b2＋a2b1。学必求其心得，业必贵于专精题型一用不等式(组）表示不等关系例1某商人若是将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提升售价，减少进货量的方法增加利润．已知这种商品的单价每提升1元，销售量就相应减少10件．若把抬价后商品的单价设为x元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？解若抬价后商品的单价为x元，则销售量减少错误!×10件,因此，每天的利润为（x－8）[100－10（x－10)］元，则“每天的利润不低于300元”能够表示为不等式x－8）［100－10（x－10)］≥300.思想升华关于不等式的表示问题，要点是理解题意，分清变化前后的各种量,得出相应的代数式,尔后,用不等式表示．而关于涉及条件很多的实责问题,则经常需列不等式组解决．已知甲、乙两种食品的维生素A，B含量以下表：甲乙维生素A(单6070位/kg）00学必求其心得，业必贵于专精维生素B（单8040位/kg）00设用甲、乙两种食品各xkg，ykg配成至多100kg的混杂食品，并使混杂食品内最少含有56000单位维生素A和62000单位维生素B,则x，y应满足的所有不等关系为________．答案错误!题型二比较大小例2（1)已知a1，a2∈(0,1），记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是（）A．M<NB．M〉NC．M＝ND．不确定(2)若a＝错误!，b＝错误!，c＝错误!，则（)A．a〈b〈cB．c〈b〈aC．c〈a〈bD．b<a〈c答案(1）B（2)B解析(1)M－N＝a1a2－（a1＋a2－1）a1a2－a1－a2＋1a1（a2－1）－（a2－1)(a1－1）(a2－1)，学必求其心得，业必贵于专精又∵a1∈(0,1），a2∈(0，1）,a1－1〈0,a2－1〈0.(a1－1)(a2－1）〉0，即M－N〉0.∴M〉N。(2)方法一易知a，b，c都是正数，错误!＝错误!log8164<1,因此a>b；错误!＝错误!＝log6251024〉1，因此b>c。即c〈b<a.方法二关于函数y＝f（x）＝错误!，y′＝错误!，易知当x〉e时，函数f(x)单调递减．因为e〈3〈4〈5,因此f(3）〉f（4）>f(5)，即c〈b〈a.思想升华比较大小的常用方法(1)作差法：一般步骤：①作差;②变形；③定号；④结论．其中要点是变形,常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式也许完好平方式．当两个式子都为正数时，有时也能够先平方再作差．(2)作商法：学必求其心得，业必贵于专精一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．(3）函数的单调性法:将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值,依照函数单调性得出大小关系．（1)若是

a〈b<0，那么以下不等式建立的是（

）A。错误!<错误!

B．ab<b2C．－ab<－a2

D．－错误!〈－错误!（2)（2013·课标全国Ⅱ)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则（）A．a〉c>bB．b〉c>aC．c>b>aD．c>a>b答案（1）D(2）D解析(1)关于A项，由a<b〈0，得b－a>0，ab〉0，故错误!－错误!＝错误!〉0,错误!〉错误!，故A项错误；关于B项，由a<b〈0，得b（a－b)>0,ab>b2，故B项错误;关于C项，由a〈b<0，得a(a－b）〉0，a2〉ab，即－ab〉－a2，故C项错误；关于D项,由a<b<0，得a－b<0，ab>0，故－错误!－(－错误!)＝错误!〈0,－错误!<－错误!建立．故D项正确．学必求其心得，业必贵于专精2)因为log32＝错误!<1，log52＝错误!<1,又log23〉1，因此c最大．又1〈log23〈log25，因此错误!>错误!，即a〉b,因此c>a>b，选D。题型三不等式性质的应用例3已知a>b>0,给出以下四个不等式：22ab－1332①a〉b；②2〉2;③a－b>错误!－错误!；④a＋b>2ab.其中必然建立的不等式为(）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④答案A解析方法一由a〉b>0可得a2〉b2，①建立；由a>b〉0可得a>b－1，而函数f（x）＝2x在R上是增函数，∴f(a）〉f(b－1），即2a>2b－1，②建立；a〉b〉0,∴a〉错误!，∴（a－b)2－(错误!－错误!）2＝2ab－2b＝2错误!（错误!－错误!）〉0,∴错误!>错误!－错误!，③建立;若a＝3,b＝2，则a3＋b3＝35，2a2b＝36,a3＋b3<2a2b，④不行立．应选A。学必求其心得，业必贵于专精方法二令a＝3，b＝2，22ab－133能够获取①a>b，②2>2，③错误!>错误!－错误!均建立,而④a＋b〉2a2b不行立，应选A.思想升华(1)判断不等式可否建立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．(2）在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题周边的性质，并应用性质判断命题真假，自然判断的同时还要用到其他知识,比方对数函数、指数函数的性质等．（1）设a,b是非零实数,若a〈b，则以下不等式建立的是( )A．a2〈b2B．ab2<a2bC.错误!〈错误!D.错误!<错误!（2)已知a，b，c∈R，有以下命题：①若

a>b,则

22ac>bc；②若

22ac>bc，则

a>b；③若

a〉b，则

cca·2〉b·2.其中正确的选项是________．(填上所有正确命题的序号）答案(1）C(2）②③解析（1)当a<0时，a2〈b2不用然建立，故A错．因为ab2－a2b＝ab(b－a)，b－a>0，ab符号不确定，学必求其心得，业必贵于专精因此ab2与a2b的大小不能够确定，故B错．1因为ab2－错误!＝错误!〈0,1因此ab2〈错误!，故C正确．项中错误!与错误!的大小不能够确定．（2)①若c＝0则命题不行立．②正确．③中由2c〉0知建立．不等式变形中扩大变量范围致误典例:设f（x）＝ax2＋bx,若1≤f（－1)≤2,2≤f（1)≤4，则f(－2)的取值范围是________．易错解析解题中多次使用同向不等式的可加性,先求出a,b的范围，再求f（－2)＝4a－2b的范围，以致变量范围扩大．解析方法一设f(－2)＝mf(－1)＋nf（1）(m、n为待定系数）,则4a－2b＝m(a－b）＋n(a＋b),即4a－2b＝（m＋n)a＋（n－m)b，于是得错误!解得错误!f(－2）＝3f(－1)＋f（1）．又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1）≤4，学必求其心得，业必贵于专精5≤3f(－1）＋f（1)≤10,即5≤f(－2)≤10。方法二由错误!得错误!f(－2）＝4a－2b＝3f（－1）＋f（1）．又∵1≤f(－1）≤2,2≤f（1）≤4，5≤3f(－1)＋f（1)≤10，故5≤f(－2)≤10。方法三由错误!确定的平面地域如图阴影部分，当f（－2)＝4a－2b过点A(错误!，错误!）时,获取最小值4×错误!－2×错误!＝5，当f（－2）＝4a－2b过点B(3，1)时，获取最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f（－2)≤10。答案［5，10］温馨提示(1)此类问题的一般解法:先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后经过”一次性“使用不等式的运算求得整体范围；（2）求范围问题若是多次利用不等式有可能扩大变量取值范围.学必求其心得，业必贵于专精方法与技巧1．用同向不等式求差的范围．错误!?错误!?a－d〈x－y〈b－c.这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到．2．倒数关系在不等式中的作用．错误!?错误!〈错误!；错误!?错误!〉错误!.3．比较法是不等式性质证明的理论依照,是不等式证明的主要方法之一．比差法的主要步骤:作差-—变形——判断正负．在所给不等式完好部是积、商、幂的形式时，可考虑比商．4．求某些代数式的范围可考虑采用整体代入的方法．失误与防范1．a>b?ac>bc或a<b?ac〈bc，当c≤0时不行立．12．a〉b?a〈错误!或a<b?错误!>错误!，当ab≤0时不行立．3．a〉b?an〉bn关于正数a、b才建立．4.错误!>1?a>b，关于正数a、b才建立．5．注意不等式性质中“?"与“?”的差异,如：a>b，b〉c?a>c,其中a〉c不能够推犯错误!。6．比商法比较大小时，要注意两式的符号。学必求其心得，业必贵于专精A组专项基础训练(时间：45分钟)1．“a＋c>b＋d”是“a〉b且c>d”的（）A．必要不充分条件B．充分不用要条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件答案A解析由同向不等式的可加性知“a〉b且c〉d”?“a＋c〉b＋d”,反之不对．2．若错误!〈错误!<0，则以下结论不正确的选项是(）A．a2<b2B．ab〈b2C．a＋b<0D．｜a|＋|b|>｜a＋b｜答案D解析∵错误!〈错误!〈0，∴b〈a〈0.a2<b2，ab〈b2，a＋b<0,｜a|＋｜b｜＝｜a＋b|。3．已知x>y>z，x＋y＋z＝0,则以下不等式中建立的是（）A．xy>yzB．xz>yz学必求其心得，业必贵于专精C．xy>xz

D．x|

y｜>z｜y｜答案C解析因为x〉y>z，x＋y＋z＝0，因此3x>x＋y＋z＝0,3z<x＋y＋z＝0，因此x〉0,z<0。因此由错误!可得xy>xz。αβα的取值范围是（）错误!错误!错误!A．(0，错误!）B．（－错误!，错误!)C．(0，π)D．(－错误!，π）答案D解析由题设得0<2α〈π,0错≤误!≤错误!，∴－错误!≤－错误!≤0，∴－错误!〈2α－错误!<π.5．设a〉1,且m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a－1),p＝loga（2a),则m，n，p的大小关系为(）A．n>m〉pB．m>p>nC．m〉n>pD．p>m>n答案B解析因为a〉1，因此a2＋1－2a＝（a－1）2〉0，即a2＋1〉2a，又2a>a－1，学必求其心得，业必贵于专精因此由对数函数的单调性可知loga(a2＋1）〉loga(2a)〉loga（a－1），即m>p>n。6．已知a〈0，－1〈b〈0，那么a，ab，ab2的大小关系是__________．(用“>"连接)答案ab>ab2>a解析由－1〈b<0,可得b<b2<1.又a〈0，∴ab〉ab2>a。7．设a〉b〉c〉0，x＝a2＋b＋c2，y＝错误!，z＝错误!,则x，y，z的大小关系是________．(用“〉"连接）答案z〉y>x解析方法一y2－x2＝2c（a－b）〉0，∴y〉x.同理，z〉y，∴z〉y〉x.方法二令a＝3，b＝2，c＝1,则x＝错误!，y＝错误!，z＝错误!,故z>y>x。8．已知a，b,c，d均为实数，有以下命题①若ab>0，bc－ad>0，则错误!－错误!>0；②若ab〉0，错误!－错误!>0，则bc－ad>0；③若bc－ad〉0,错误!－错误!〉0，则ab〉0。其中正确的命题是________．学必求其心得，业必贵于专精答案①②③解析∵ab〉0,bc－ad>0，∴错误!－错误!＝错误!>0，∴①正确；ab〉0，又错误!－错误!>0,即错误!>0,∴bc－ad〉0，∴②正确;cbc－ad>0，又a－错误!〉0,即错误!>0,∴ab>0,∴③正确．故①②③都正确．9．若实数a≠1,比较a＋2与错误!的大小．解∵a＋2－错误!＝错误!＝错误!，∴当a〉1时，a＋2>错误!;当a〈1时，a＋2〈错误!.10．甲乙两人同时从宿舍到教室，甲一半行程步行，一半行程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步；若是两人步行、跑步速度均相同，则谁先到教室？解设行程为s,跑步速度为v1，步行速度为v2，t甲＝错误!＋错误!＝错误!，s＝错误!·v1＋错误!·v2?t乙＝错误!，∴错误!＝错误!≥错误!＝1。学必求其心得，业必贵于专精t甲≥t乙，当且仅当v1＝v2时“＝”建立．由实质情况知v1>v2，∴t甲〉t乙．∴乙先到教室．B组专项能力提升(时间：20分钟)11．若a>b>0，则以下不等式中必然建立的是(）A．a＋错误!〉b＋错误!B。错误!>错误!C．a－错误!〉b－错误!D。错误!〉错误!答案A解析取a＝2，b＝1，消除B与D；别的,函数f（x）＝x－错误!是(0，＋∞)上的增函数，但函数g（x)＝x＋错误!在(0,1]上递减,在[1，＋∞)上递加，因此，当a〉b〉0时，f(a)>f(b)必然建立，即a－错误!〉b－错误!a＋错误!〉b＋错误!，但g（a）>g（b）未必建立,应选A。112．已知a＝log32，b＝ln2，c＝52，则a，b，c的大小关系为________．(用“<"连接）答案c<a<b解析a＝log32＝错误!,0<ln2<1,ln3〉1，∴a〈ln2＝b，即a〈b，a＝错误!，c＝错误!，学必求其心得，业必贵于专精0<log23<2而错误!〉2，0〈log23〈5，a>c，c<a〈b。13．设x，y为实数，满足3≤xy2≤8,4≤错误!≤9,则错误!的最大值是________．答案27解析由4≤错误!≤9，得16≤错误!≤81。又3≤xy2≤8，∴错误!≤错误!≤错误!，2≤错误!