八年级第十三章轴对称知识点及典型例题

12/12第十三章《轴对称》一、知识点归纳（一）轴对称和轴对称图形1、有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．2、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。（对称轴必须是直线）3、对称点：折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。4、轴对称图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。5．画一图形关于某条直线的轴对称图形步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。（二）、轴对称与轴对称图形的区别和联系区别：轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．联系：1：都是折叠重合2;如果把成轴对称的两个图形看成一个图形那么他就是轴对称图形，反之亦然。（三）线段的垂直平分线（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．（证明是必须有两个点）因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．（四）用坐标表示轴对称1、点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（，y）；2、点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（x，）；(五）关于坐标轴夹角平分线对称点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y＝x对称的点的坐标是（y，x）点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y＝－x对称的点的坐标是（－y，－x）（六）关于平行于坐标轴的直线对称点P（x，y）关于直线x＝m对称的点的坐标是（2m－x，y）；点P（x，y）关于直线y＝n对称的点的坐标是（x，2n－y）；(七）等腰三角形1、等腰三角形性质：性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一）2、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.（八）等边三角形1、定义：三条边都相等的三角形，叫等边三角形。它是特殊的等腰三角形。2、性质和判定：（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60º。（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。（3）有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形。（4）在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半。（九）其他结论（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（3）常用辅助线：=1\*3①三线合一；=2\*3②过中点做平行线二、专题训练考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识1．下列几何图形中，\o\(○,1)线段\o\(○,2)角\o\(○,3)直角三角形\o\(○,4)半圆，其中一定是轴对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．图9-19中，轴对称图形的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个3．正n边形有条对称轴，圆有条对称轴考点二、轴对称变换及用坐标表示轴对称在平面镜里看到背后墙上电子钟示数为12:50这时的实际时间应该是：一辆小汽车在水面上的倒影如图，那么从倒影中看出这个小车的车牌号是3、在健美操训练房的墙壁上有一面大镜,小明、小颖、珍珍三人正在训练,从镜中看,小明在小颖的右后方,而珍珍在小颖的左前方，你能说出他们实际所站的方位吗?4、已知点P（－2，3）关于y轴的对称点为Q（a，b），则的值是。5、将点A（3,2）沿x轴向左平移4个单位长度得到点A’,点A’关于y轴对称点的坐标是。6、已知点P（3，-1）关于x轴对称点Q的坐标是（，1），则.7、已知点A（-1，-2）和B（5,2），将点A向平移个单位长度后得到的点与B点关于x轴对称。8、点A(-2，6)关于直线3对称的点A’的坐标是。考点三、作一个图形关于某条直线的轴对称图形典例：1、如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用两种方法分别在下图方格内涂黑两个小正方形，使它们成为轴对称图形．2、如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有个．3、如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△为等腰三角形，则点C的个数是。考点四、线段垂直平分线的性质典例1、如图是中边的垂直平分线。（1）若8厘米，10厘米，则的周长为；1题（2）若△的周长=20，8，则△的周长为。1题2、如图，△的边的垂直平分线与边的垂直平分线的交点M恰好在上，且16，则;△的面积=△面积。ANBDC2题M3、如图，△中，∠90°，为∠平分线，⊥ANBDC2题M（2）如果△面积为6，4，求.(3)如果16，3：5，求的长.3题3题FFEDCBAG4题4题4、如图，在△中，∠=90°，∠的平分线交于D.过C点作⊥于G，交于E.过D点作⊥于F.下列结论：4题①∠∠；②︰︰；③∠2∠；④；⑤.其中正确结论的序号是()A．①③④B．①②⑤C．③④⑤D．①③⑤考点五、等腰三角形的特征和识别典例1、如图所示，△中，，∠80°，则∠B的度数是。1题1题已知等腰三角形的一个内角为80°，则另两个角的度数是_．3、已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的一个底角的度数是4、已知等腰三角形的两边为3和4，则周长为。若两边为3和6，则周长为。ABCDE5、已知等腰三角形的周长为28ABCDEFFEADBC8题6题8题6题9题9题6、如图，△中，∠A的度数7、在等腰△中，，其周长为20，则边的取值范围是（）A．1＜＜4B．5＜＜10C．4＜＜8D．4＜＜10FEDCBA8、如图，C、E和B、D、F分别在∠的两边上，且，若∠FEDCBAA．80°B．90°C．100°D．108°9、如图，，则∠A的度数（）A．30°B.40°C.36°D.46°10、如图在△的边的延长线上，D点在边上，交于点F，，.求证：△是等腰三角形.11题11题11、如图，是△的角平分线，⊥交的延长线于D，∥交于E，求证：．12、在图中，直线与线段相交于点O，∠1=∠2=45°．（1）如图，若=，请写出与的数量关系和位置关系；（2）将图中的绕点O顺时针旋转得到下图，其中=．求证：=，⊥；考点六、等边三角形的特征和识别典例1、下列推理中，错误的是()A．∵∠A＝∠B＝∠C，∴△是等边三角形B．∵＝，且∠B＝∠C，∴△是等边三角形ABCDEMC．∵∠A＝60°，∠B＝60°，∴△是等边三角形D．∵＝，∠ABCDEM2、如图，等边三角形中，D是的中点，E为延长线上一点，且＝，⊥，垂足为M。求证：M是的中点。3题3题3、已知：如图，△为正三角形，D是延长线上一点，连结，以为边作等边三角形，连结，用你学过的知识探索、、三条线段的长度有何关系?试写出探求过程．如图，在等边△的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由A向B和由C向A爬行，经过t分钟后，它们分别爬行到D、E处，请问（1）在爬行过程中，和始终相等吗？

（2）如果将原题中的“由A向B和由C向A爬行”，改为“沿着和的延长线爬行”，与交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，蜗牛爬行过程中∠的大小保持不变．请利用图（2）情形，求证：∠=60°；

（3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着的延长线爬行，连接交于F”，其他条件不变，如图（3），则爬行过程中，始终等于是否正确．

考点七、30°所对的直角边是斜边的一半1、如图：△中，∠A=15°，∠90°，B在的垂直平分线上，=34，则=()第3题图A.15B.17C.16D.以上全不对第3题图如图，∠30°，P是∠平分线上一点，∥，⊥，28,则如图，，⊥于E，⊥于F，∠120o，6，则在中，，的垂直平分线交于点F,交于点．如果1，求的长考点八、折纸问题1、有一本书折了其中一页的一角，如图：测得3020，∠60°，折痕的长2、如图1，将矩形沿对称轴折叠，在对称轴处剪下一块，余下部分的展开图为()AEBDC3、将一矩形纸片按如图方式折叠，、为折痕，折叠后AEBDCA.大于90°B.等于90°C.小于90°