平面向量的数量积习题(精品绝对好)

平面向量的数量积习题(精品绝对好)平面向量的数量积习题(精品绝对好)平面向量的数量积习题(精品绝对好)资料仅供参考文件编号：2022年4月平面向量的数量积习题(精品绝对好)版本号：A修改号：1页次：1.0审核：批准:发布日期：平面向量的数量积()作业姓名成绩A组专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2012·辽宁)已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x等于 ()A．－1 B．－eq\f(1,2) \f(1,2) D．12．(2012·重庆)设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|等于()\r(5)\r(10)C．2eq\r(5)D．103．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)，\f(7,3))) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,3)，－\f(7,9)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，\f(7,9))) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,9)，－\f(7,3)))4．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝eq\r(10)，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))等于 ()A．－eq\f(3,2) B．－eq\f(2,3) \f(2,3) \f(3,2)二、填空题(每小题5分，共15分)5．已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝eq\r(10)，则|b|＝________.6．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝________.7．已知a＝(2，－1)，b＝(λ，3)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________．三、解答题(共22分)8．(10分)已知a＝(1,2)，b＝(－2，n)(n>1)，a与b的夹角是45°.(1)求b；(2)若c与b同向，且a与c－a垂直，求c.9．(12分)设两个向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．B组专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝1，则BC等于 ()\r(3) \r(7) C．2eq\r(2) \r(23)2．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是()A．－4B．4C．－2D．23．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则eq\f(|PA|2＋|PB|2,|PC|2)等于()A．2 B．4 C．5 D．10二、填空题(每小题5分，共15分)4．设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，则|a|＝________.5．如图，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(2)，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\r(2)，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))的值是________．6．在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足eq\f(|\o(BM,\s\up6(→))|,|\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(|\o(CN,\s\up6(→))|,|\o(CD,\s\up6(→))|)，则eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))的取值范围是________．三、解答题7．(13分)设平面上有两个向量a＝(cosα，sinα)(0°≤α<360°)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；(2)当向量eq\r(3)a＋b与a－eq\r(3)b的模相等时，求α的大小．平面向量的数量积()作业答案姓名成绩A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2012·辽宁)已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x等于 ()A．－1 B．－eq\f(1,2) \f(1,2) D．1答案D解析a·b＝(1，－1)·(2，x)＝2－x＝1⇒x＝1.2．(2012·重庆)设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|等于 ()\r(5)\r(10)C．2eq\r(5)D．10答案B解析∵a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，由a⊥c得a·c＝0，即2x－4＝0，∴x＝2.由b∥c，得1×(－4)－2y＝0，∴y＝－2.∴a＝(2,1)，b＝(1，－2)．∴a＋b＝(3，－1)，∴|a＋b|＝eq\r(32＋－12)＝eq\r(10).3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)，\f(7,3))) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,3)，－\f(7,9)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，\f(7,9))) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,9)，－\f(7,3)))答案D解析设c＝(x，y)，则c＋a＝(x＋1，y＋2)，又(c＋a)∥b，∴2(y＋2)＋3(x＋1)＝0.①又c⊥(a＋b)，∴(x，y)·(3，－1)＝3x－y＝0.②联立①②解得x＝－eq\f(7,9)，y＝－eq\f(7,3).4．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝eq\r(10)，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))等于 ()A．－eq\f(3,2) B．－eq\f(2,3) \f(2,3) \f(3,2)答案D解析由于eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|·cos∠BAC＝eq\f(1,2)(|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AC,\s\up6(→))|2－|eq\o(BC,\s\up6(→))|2)＝eq\f(1,2)×(9＋4－10)＝eq\f(3,2).二、填空题(每小题5分，共15分)5．(2012·课标全国)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝eq\r(10)，则|b|＝________.答案3eq\r(2)解析∵a，b的夹角为45°，|a|＝1，∴a·b＝|a|·|b|cos45°＝eq\f(\r(2),2)|b|，|2a－b|2＝4－4×eq\f(\r(2),2)|b|＋|b|2＝10，∴|b|＝3eq\r(2).6．(2012·浙江)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝________.答案－16解析如图所示，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(MB,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))·(eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(MB,\s\up6(→)))＝eq\o(AM,\s\up6(→))2－eq\o(MB,\s\up6(→))2＝|eq\o(AM,\s\up6(→))|2－|eq\o(MB,\s\up6(→))|2＝9－25＝－16.7．已知a＝(2，－1)，b＝(λ，3)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________．答案(－∞，－6)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6，\f(3,2)))解析由a·b<0，即2λ－3<0，解得λ<eq\f(3,2)，由a∥b得：6＝－λ，即λ＝－6.因此λ<eq\f(3,2)，且λ≠－6.三、解答题(共22分)8．(10分)已知a＝(1,2)，b＝(－2，n)(n>1)，a与b的夹角是45°.(1)求b；(2)若c与b同向，且a与c－a垂直，求c.解(1)a·b＝2n－2，|a|＝eq\r(5)，|b|＝eq\r(n2＋4)，∴cos45°＝eq\f(2n－2,\r(5)·\r(n2＋4))＝eq\f(\r(2),2)，∴3n2－16n－12＝0，∴n＝6或n＝－eq\f(2,3)(舍)，∴b＝(－2,6)．(2)由(1)知，a·b＝10，|a|2＝5.又c与b同向，故可设c＝λb(λ>0)，(c－a)·a＝0，∴λb·a－|a|2＝0，∴λ＝eq\f(|a|2,b·a)＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2)，∴c＝eq\f(1,2)b＝(－1,3)．9．(12分)设两个向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．解∵e1·e2＝|e1|·|e2|·cos60°＝2×1×eq\f(1,2)＝1，∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2teeq\o\al(2,1)＋7teeq\o\al(2,2)＋(2t2＋7)e1·e2＝8t＋7t＋2t2＋7＝2t2＋15t＋7.由已知得2t2＋15t＋7<0，解得－7<t<－eq\f(1,2).当向量2te1＋7e2与向量e1＋te2反向时，设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2t＝λ，,λt＝7))⇒2t2＝7⇒t＝－eq\f(\r(14),2)或t＝eq\f(\r(14),2)(舍)．故t的取值范围为(－7，－eq\f(\r(14),2))∪(－eq\f(\r(14),2)，－eq\f(1,2))．B组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．(2012·湖南)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝1，则BC等于 ()\r(3) \r(7) C．2eq\r(2) \r(23)答案A解析∵eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝1，且AB＝2，∴1＝|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(BC,\s\up6(→))|cos(π－B)，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(BC,\s\up6(→))|cosB＝－1.在△ABC中，|AC|2＝|AB|2＋|BC|2－2|AB||BC|cosB，即9＝4＋|BC|2－2×(－1)．∴|BC|＝eq\r(3).2．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是()A．－4B．4C．－2D．2答案A解析a·b为向量b的模与向量a在向量b方向上的投影的乘积，得a·b＝|b||a|·cos〈a，b〉，即－12＝3|a|·cos〈a，b〉，∴|a|·cos〈a，b〉＝－4.3．(2012·江西)在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则eq\f(|PA|2＋|PB|2,|PC|2)等于 ()A．2 B．4 C．5 D．10答案D解析∵eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CP,\s\up6(→))，∴|eq\o(PA,\s\up6(→))|2＝eq\o(CA,\s\up6(→))2－2eq\o(CP,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CP,\s\up6(→))2.∵eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CP,\s\up6(→))，∴|eq\o(PB,\s\up6(→))|2＝eq\o(CB,\s\up6(→))2－2eq\o(CP,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CP,\s\up6(→))2.∴|eq\o(PA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(PB,\s\up6(→))|2＝(eq\o(CA,\s\up6(→))2＋eq\o(CB,\s\up6(→))2)－2eq\o(CP,\s\up6(→))·(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＋2eq\o(CP,\s\up6(→))2＝eq\o(AB,\s\up6(→))2－2eq\o(CP,\s\up6(→))·2eq\o(CD,\s\up6(→))＋2eq\o(CP,\s\up6(→))2.又eq\o(AB,\s\up6(→))2＝16eq\o(CP,\s\up6(→))2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2eq\o(CP,\s\up6(→))，代入上式整理得|eq\o(PA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(PB,\s\up6(→))|2＝10|eq\o(CP,\s\up6(→))|2，故所求值为10.二、填空题(每小题5分，共15分)4．(2012·安徽)设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，则|a|＝________.答案eq\r(2)解析利用向量数量积的坐标运算求解．a＋c＝(1,2m)＋(2，m)＝(3,3m)．∵(a＋c)⊥b，∴(a＋c)·b＝(3,3m)·(m＋1,1)＝6m＋3＝0，∴m＝－eq\f(1,2).∴a＝(1，－1)，∴|a|＝eq\r(2).5．(2012·江苏)如图，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(2)，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\r(2)，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))的值是________．答案eq\r(2)解析方法一坐标法．以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(eq\r(2)，0)，E(eq\r(2)，1)，F(x,2)．故eq\o(AB,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，0)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(x,2)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，1)，eq\o(BF,\s\up6(→))＝(x－eq\r(2)，2)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，0)·(x,2)＝eq\r(2)x.又eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\r(2)，∴x＝1.∴eq\o(BF,\s\up6(→))＝(1－eq\r(2)，2)．∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，1)·(1－eq\r(2)，2)＝eq\r(2)－2＋2＝eq\r(2).方法二用eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))表示eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))是关键．设eq\o(DF,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))，则eq\o(CF,\s\up6(→))＝(x－1)eq\o(AB,\s\up6(→)).eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AD,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→)))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))2＝2x，又∵eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\r(2)，∴2x＝eq\r(2)，∴x＝eq\f(\r(2),2).∴eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)－1))eq\o(AB,\s\up6(→)).∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(BC,\s\up6(→))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)－1))\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(BC,\s\up6(→))))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(BC,\s\up6(→))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)－1))\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)－1))eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)－1))×2＋eq\f(1,2)×4＝eq\r(2).6．(2012·上海)在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足eq\f(|\o(BM,\s\up6(→))|,|\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(|\o(CN,\s\up6(→))|,|\o(CD,\s\up6(→))|)，则eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))的取值范围是________．答案[1,4]解析利用基向量法，把eq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))都用eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))表示，再求数量积．如图所示，设eq\f(|\o(BM,\s\up6(→))|,|\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(|\o(CN,\s\up6(→))|,|\o(CD,\s\up6(→))|)＝λ(0≤λ≤1)，则eq\o(BM,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(DN,\s\up6(→))＝eq\o(CN,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝(λ－1)eq\o(CD,\s\up6(→))，∴eq\o(AM,\s\u