力学与结构课件幻灯片T6

第6章

超静定结构的内力计算

目录.ppt力法位移法力矩分配法习题本章内容

教学要求：本章要求学生了解简单超静定结构的计算原理。掌握超静定结构的受力特性和超静定次数的判断。能用力法、位移法、力矩分配法求解简单超静定结构。力法一、超静定结构超静定结构，如图6.1所示，又称静不定结构。它是工程实际中常用的一类结构。其几何组成特征是具有多余约束的几何不变体系；其静力解答特征是它的支座反力和各截面的内力不能完全由静力平衡条件求出，必须补充变形条件。图6.1超静定结构超静定结构的类型主要有以下几种。(1)超静定梁，如图6.2所示。(2)超静定刚架，如图6.3所示。(3)超静定拱，如图6.4所示。图6.2超静定梁图6.3超静定刚架图6.4超静定拱力法(4)超静定桁架，如图6.5所示。(5)超静定组合结构，如图6.6所示。图6.5超静定桁架图6.6超静定组合结构超静定结构的计算方法很多，依据基本未知量选择的不同可以分为两类：一类是以多余未知力为未知量的力法，即本节将要介绍的；另一类是以结点位移为未知量的位移法。其他的计算方法大多由这两种方法派生而来，比如力矩分配法等。二、超静定次数的确定超静定结构多余约束力的数目，称为超静定次数。结构的超静定次数可以这样来确定：如果结构去掉个多余约束后即变为静定结构，则该结构的超静定次数就为。解除超静定结构多余约束的方法主要有如下几种：(1)去掉一根支杆或切断一根链杆，相当于解除一个约束(如图6.7(a)、(b)所示)。力法(2)去掉一个固定铰支座或切开一个单铰，相当于解除两个约束(如图6.7(c)、(d)所示)。(3)去掉一个固定支座或切断一根梁式杆件，相当于解除三个约束(如图6.7(e)、(f)所示)。(4)将固定支座改为固定铰支座或将梁式杆件中某截面加一单铰(刚结改成铰结)，相当于解除一个约束(如图6.7(g)、(h)所示)。注意：(1)不能去掉必要约束，使剩余结构成为几何可变体系；(2)应把多余约束全部去掉，不能只是去掉其中的一部分。运用该方法确定超静定结构的超静定次数时，应尽量使解除多余约束后的静定结构为我们所熟悉的简支梁、悬臂梁等形式。

图6.7解除超静定结构多余约束力法

【例6.1】确定如图6.8(a)所示结构的超静定次数。图6.8超静定结构解此结构去掉与地面相连的三根支杆后，桁架内部可看做两刚片(如图6.8(b)所示)用四根链杆相连，是一次超静定结构。欲使其成为静定结构，在这四根链杆中任意去掉一根都可以。形成的静定结构如图6.8(c)所示，被截断的杆件的作用力以一对多余未知力X1代替。三、力法的基本原理与力法的典型方程现以一个二次超静定刚架为例，说明力法的基本原理以及如何建立多次超静定结构的力法方程；再进一步推广到次超静定结构，得到力法典型方程。如图6.9所示的刚架为二次超静定结构，分析时必须解除两个多余约束。现去掉铰支座A，相应的代以多余约束力X1，X2得到如图6.9(b)所示的基本体系，由于原结构在支座A处没有水平位移和竖向位移，因此，基本结构在荷载和多余未知力X1、X2的共同作用下，铰支座A处也没有水平位移和竖向位移。即A点沿X1和X2方向的位移：力法△1＝0，△2＝0图6.9力法解二次超静定刚架力法设各单位未知力X1=1、X2=1和荷载分别作用于基本结构上，A点沿X1方向的位移分别为δ11、δ12、△1P；沿X2方向的位移分别为δ21、δ22、△2P(如图6.9(c)、(d)、(e))所示。根据叠加原理，上述位移条件可表示为：这就是二次超静定结构的力法方程式。对于n次超静定结构，相应地有n个多余未知力，而对每一个多余未知力结构总有一个已知的位移条件与之相对应，故可建立一个含有n个未知量的方程组，从而可以求解出n个多余约束力。(6-1)力法

式(6-1)通常称为力法典型方程，其物理意义是：基本结构在多余未知力和荷载共同作用下，多余约束处的位移和原来超静定结构相应的位移相等。在上述方程中，主对角线上未知力的系数δii(i=1，2，…，n)称为主系数，它代表单位未知力Xi=1单独作用在基本结构上时，在i处沿Xi自身方向上所引起的位移，其值恒为正。其余的系数δij(i≠j)称为副系数，它代表基本结构在未知力Xi处，由未知力Xj=1单独作用时引起的沿Xi方向的位移。自由项△iP表示外荷载(或温度改变、支座移动)作用下，基本结构沿未知力Xi方向所引起的位移。副系数δij(i≠j)和自由项△iP的值可以为正、负或零。根据位移互等定理，副系数存在以下关系：δij=δji

典型方程中的各系数和自由项，都是基本结构在已知力作用下的位移计算，完全可以通过静定结构的位移计算求出。将求得的系数与自由项代入力法典型方程，解出各多余未知力X1，X2，…，Xn然后将已求得的多余未知力和荷载共同作用在基本结构上，利用平衡条件，求出其余的反力和内力。在绘制原结构的最后内力图时，可利用基本结构的单位内力图与荷载内力图按叠加法得到，即：力法法(6-2)式中，分分别为单位位未知力Xi=1作用在基本结结构上的弯矩矩、剪力和轴轴力；分分别为为外荷载作用用在基本结构构上的弯矩、、剪力和轴力力。四、简单超静定结结构的力法计计算用力法计算超超静定结构可可按下列步骤骤进行：(1)确定超静定次次数，去掉多多余约束并以以多余未知力力代替，得到到原结构的基基本体系。(2)根据基本结构构在多余未知知力和荷载共共同作用下，，在所去掉各各多余约束处处的位移与原原结构相应位位移相等的条条件，建立力力法的典型方方程。(3)依次做出基本本结构在各单单位未知力和和荷载单独作作用下的内力力图，然后利利用积分法(或图乘乘法)计算典典型方方程中中的各各个系系数以以及自自由项项。(4)求解典典型方方程，，得出出各多多余未未知力力。(5)按照分分析静静定结结构的的方法法，由由平衡衡条件件和叠叠加原原理绘绘制结结构的的内力力图。。(6)校核。。力法法下面结结合具具体例例子说说明力力法的的运用用。【例6.2】用力法法计算算如图图6.10(a)所所示的的刚架架，各各杆的的EI相等且且为常常数，，绘制制内力力图。。图6.10超静定定刚架架解(1)由几何何组成成分析析知，，该结结构是是二次次超静静定结结构，，去掉掉处的的两个个多余余约束束，得得到基基本结结构，，如图图6.10(b)所示。。力法法(2)由已知知点的的位移移条件件，列列出力力法的的典型型方程程：(3)作基本本体系系的图图，，利用用图乘乘法求求系数数和自自由项项，并并解方方程求求得X1、X2。力法法将各系系数、、自由由项代代入典典型方方程，，得(4)由公式式求求各截截面弯弯矩值值，并并绘制制弯矩矩图，，如图图6.11(a)所示。。图6.11内力图图力法法(5)根根据最最后弯弯矩图图(如如图6.11(a)所示示)，，取隔隔离体体，由由平衡衡条件件求得得各杆杆端剪剪力和和轴力力，并并作Q图、N图，如如图6.11(b)、(c)所示示。取AC，如如图6.12(a)所示示，分分别由由∑MA=0，∑x=0，∑y=0，得取CB，如图图6.12(b)所示，，分别别由∑∑MB=0，∑∑x=0，得：：取C结结点，，如图图6.12(c)所所示，，由∑y=0得：取结点点B，，由∑X=0，已知知得图6.12求各杆杆轴力力及剪剪力力法法同一超超静定定结构构在求求解时时可选选择各各种不不同形形式的的基本本结构构，结结果必必然相相同。。五、超静定定结构构在温温度变变化、、支座座移动动时的的内力力计算算对于超超静定定结构构，即即使没没有荷荷载作作用时时也可可能产产生内内力，，如支支座移移动、、温度度变化化以及及制造造装配配方面面的误误差都都可以以引起起结构构的内内力。。用力力法计计算由由于支支座移移动、、温度度变化化等引引起结结构的的内力力时，，其基基本思思路、、原理理和步步骤与与荷载载作用用下的的内力力计算算基本本相同同，不不同的的只是是力法法的典典型方方程中中自由由项的的计算算。以以下只只以支支座移移动时时的计计算为为例来来讲述述。【例6.3】如图6.13(a)所示的的等截截面梁梁，，已知知端端支座座转动动角度度为，，端端支支座下下沉位位移。。试试求梁梁的弯弯矩图图。图6.13例6.3图力法法解(1)AB为一次次超静静定梁梁，去去掉B支座多多余约约束，，代以以多余余约束束反力力X1，基本本体系系如图图6.13(b)所所示。。(2)在在X1和θ、a共共同作作用下下，基基本体体系与与原结结构受受力相相同。。为了了使两两者变变形也也相同同，必必须令令基本本体系系在多多余约约束处处的位位移与与原结结构相相同，，即：：针对基基本体体系讨讨论B点的竖竖直位位移：：△1＝－a，负号号表示示支座座位移移a与与X1所设方方向相相反。。δ11X1＋△1c＝－a由图6.13(c)知：：△1c=－θl，负号号表示示△1c与X1假设方方向相相反。。由基本本结构构图(如如图6.13(d)所示示)得得到：：代入力力法方方程，，得：：(3)求内力力。原原超静静定结结构内内力与与基本本体系系相同同，而而支座座移动动在基基本体体系(静定结结构)中不引引起内内力，，所以以最后后弯矩矩为：：力法法原结构构的弯弯矩图图如图图6.13(e)所所示。。由此可可以看看出，，计算算超静静定结结构由由于支支座移移动引引起的的内力力时，，其力力法方方程右右端项项应等等于原原结构构相应应处的的位移移，而而自由由项为为基本本结构构由于于支座座移动动产生生的与与多余余未知知力相相应的的位移移。该该两项项可直直接由由基本本结构构中变变形关关系求求出。。结构构的最最后内内力全全部由由多余余未知知力引引起。。六、超静定定结构构的位位移计计算超静定定结构构的力力法计计算的的基本本思想想是利利用静静定的的基本本体系系来计计算多多余未未知力力，基基本体体系的的内力力、变变形与与原来来超静静定结结构完完全相相同。。因此此，在在求解解超静静定结结构的的位移移时，，仍可可以借借助于于基本本体系系，把把已求求出的的多余余力当当作主主动力力来看看待，，采用用前面面的静静定结结构求求位移移的方方法即即可以以求出出基本本体系系的位位移，，该位位移也也就是是原来来超静静定结结构中中相应应的位位移。。求超超静定定结构构的位位移仍仍可用用单位位荷载载法，，单位位力可可加在在原结结构上上，也也可加加在它它的任任一静静定基基本结结构上上。超静定定结构构有不不同于于静定定结构构的一一些特特性：：(1)由于于存存在在多多余余约约束束，，超超静静定定结结构构的的内内力力仅仅由由静静力力平平衡衡条条件件不不能能确确定定，，必必须须同同时时考考虑虑变变形形条条件件才才能能求求出出，，因因此此超超静静定定结结构构的的内内力力与与材材料料性性质质和和截截面面尺尺寸寸有有关关，，即即与与杆杆件件的的刚刚度度有有关关。。七、、超静静定定结结构构的的特特性性力法法(2)由由于于存存在在多多余余约约束束，，超超静静定定结结构构在在温温度度变变化化和和支支座座位位移移等等因因素素的的影影响响下下一一般般会会产产生生内内力力；；而而静静定定结结构构除除在在荷荷载载作作用用下下会会产产生生内内力力外外，，在在其其他他因因素素影影响响下下不不会会产产生生内内力力。。这这一一特特性性在在一一定定条条件件下下对对超超静静定定结结构构带带来来不不利利影影响响，，例例如如，，连连续续梁梁当当地地基基基基础础发发生生不不均均匀匀沉沉降降时时，，会会使使结结构构产产生生过过大大的的附附加加内内力力。。但但另另一一方方面面也也可可以以利利用用这这一一特特性性，，通通过过改改变变支支座座的的高高度度来来调调整整结结构构的的内内力力，，使使其其得得到到合合理理的的内内力力分分布布。。(3)由由于于存存在在多多余余约约束束，，超超静静定定结结构构的的刚刚度度一一般般比比相相应应静静定定结结构构的的刚刚度度要要大大些些，，而而内内力力和和位位移移的的峰峰值值则则小小些些，，且且分分布布趋趋于于均均匀匀。。(4)超超静静定定结结构构在在多多余余约约束束破破坏坏后后，，体体系系仍仍然然是是几几何何不不变变体体系系，，能能继继续续承承受受荷荷载载；；而而静静定定结结构构中中任任何何一一个个约约束束被被破破坏坏后后，，体体系系成成为为几几何何可可变变从从而而丧丧失失了了承承载载能能力力。。因因此此在在抗抗震震防防灾灾、、国国防防建建设设等等方方面面，，超超静静定定结结构构具具有有较较好好的的抵抵抗抗破破坏坏的的能能力力。。位移移法法一、、位移移法法的的基基本本概概念念用位位移移法法分分析析结结构构时时，，先先将将结结构构离离散散成成单单个个的的杆杆件件，，进进行行杆杆件件受受力力分分析析，，然然后后考考虑虑变变形形协协调调条条件件和和平平衡衡条条件件，，将将杆杆件件在在结结点点处处组组装装成成整整体体结结构构。。如图图6.14(a)所示示的的结结构构在在荷荷载载的的作作用用下下发发生生如如图图中中虚虚线线所所示示的的变变形形，，由由于于结结点点为为刚刚结结点点，，杆杆件件AB、AC在结结点点A处有有相相同同的的转转角角φA。此此外外，，如如果果不不考考虑虑杆杆件件的的轴轴向向变变形形和和剪剪切切变变形形，，并并假假定定弯弯曲曲变变形形是是微微小小的的，，则则可可以以假假定定受受弯弯直直杆杆两两端端之之间间的的距距离离在在变变形形后后仍仍然然保保持持不不变变，，故故结结点点A无线线位位移移。。考考查查每每根根杆杆件件的的变变形形情情况况，，可可以以做做出出各各杆杆的的变变形形图图(如图图6.14(b)所示示)。其其中中AB杆相相当当于于一一端端固固定定、、另另一一端端铰铰支支的的单单跨跨梁梁，，除除承承受受荷荷载载作作用用外外，，固固定定支支座座A还产产生生了了转转角角φA。杆杆件件相相当当于于两两端端固固定定的的单单跨跨梁梁，，固固定定端端产产生生了了转转角角。。这这些些单单跨跨超超静静定定梁梁在在支支座座位位移移和和荷荷载载作作用用下下的的反反力力和和内内力力可可以以用用力力法法求求得得，，不不过过，，这这里里的的转转角角φA对于于AB、AC杆都都是是未未知知的的。。因因此此，，对对整整个个结结构构来来说说，，求求解解的的关关键键是是如如何何确确定定转转角角φA。图6.14位移移法法分分析析结结构构位移移法法如图图6.15所示示的的结结构构在在受受外外荷荷载载作作用用后后，，各各杆杆的的变变形形如如图图中中虚虚线线所所示示，，结结点点A、B处除除了了产产生生角角位位移移外外，，还还产产生生水水平平位位移移，，由由于于变变形形很很小小，，而而且且假假定定杆杆在在弯弯曲曲后后两两端端的的距距离离不不变变，，可可以以认认为为A、B两节节点点只只有有水水平平位位移移且且两两点点的的水水平平位位移移△相等等。。因因此此结结构构既既有有角角位位移移φA、φB，又又有有线线位位移移△。图6.15结构构变变形形以上上两两个个例例子子说说明明，，只只要要结结构构的的某某些些角角位位移移、、线线位位移移先先行行求求出出，，则则各各杆杆的的内内力力可可以以完完全全确确定定。。如如把把结结点点位位移移作作为为基基本本未未知知量量，，由由这这些些结结点点位位移移可可求求上上述述各各单单杆杆内内力力和和约约束束反反力力，，由由它它们们组组装装成成原原结结构构时时应应满满足足结结点点的的平平衡衡条条件件，，从从而而可可得得到到确确定定这这些些未未知知位位移移的的方方程程。。由由此此，，位位移移法法分分析析中中应应解解决决以以下下几几个个问问题题：：位移移法法(1)以结结构构的的哪哪些些结结点点位位移移为为基基本本未未知知量量。。(2)确定定杆杆件件的的杆杆端端力力与与杆杆端端位位移移以以及及荷荷载载之之间间的的关关系系。。(3)建立立求求解解基基本本未未知知量量的的位位移移法法方方程程。。二、、等截截面面直直杆杆的的转转角角位位移移方方程程如前前所所述述，，用用位位移移法法计计算算超超静静定定结结构构时时，，把把杆杆件件当当作作单单跨跨超超静静定定梁梁，，则则杆杆端端位位移移可可以以看看作作单单跨跨梁梁的的支支座座位位移移。。这这样样，，杆杆端端内内力力与与杆杆端端位位移移之之间间的的关关系系可可以以利利用用力力法法求求出出。。把把杆杆件件杆杆端端内内力力与与杆杆端端位位移移以以及及荷荷载载之之间间的的关关系系式式，，称称为为转转角角位位移移方方程程。。本本节节利利用用力力法法计计算算结结果果，，由由叠叠加加原原理理推推导导出出位位移移法法中中常常用用的的等等截截面面直直杆杆的的转转角角位位移移方方程程。。1.单跨跨超超静静定定梁梁的的形形常常数数和和载载常常数数常用用的的单单跨跨超超静静定定梁梁的的类类型型有有：：①①两两端端固固定定的的梁梁，，如如图图6.16(a)所示示；；②一一端端固固定定另另一一端端铰铰支支的的梁梁，，如如图图6.16(b)所示；③③一端固固定另一一端为定定向支座的的梁，如如图6.16(c)所示。图6.16单跨超静静定梁类类型位移移法法上述三种种超静定定梁，无无论是荷荷载作用用还是支支座位移移所引起起的内力力，都可可以用力力法求得得。为了了求解问问题的方方便，现现将计算算结果列列于表6-1中，表中中所列的的杆端弯弯矩和杆杆端剪力力数值，，凡是由由荷载作作用产生生的称为为载常数数；由支支座单位位位移产产生的均均称为形形常数。。表6-1中的杆端端弯矩、、杆端剪剪力及单单位位移移的正负负号规定定如下。。(1)MAB、MBA分别表示示AB杆A端和B端的弯矩矩，规定定顺时针针为正，，逆时针针为负。。(2)QAB、QBA分别表示示AB杆AB端和BA端的剪力力，规定定使杆件件顺时针针转动为为正，反反之为负负。(3)φA表示固定定端的转角，，规定顺顺时针为为正，逆逆时针为为负。(4)△表示AB杆两端垂垂直于杆杆轴的相相对线位位移，规规定使杆杆件顺时时针转动动为正，，反之为为负。在形常数数中，称为杆杆件的线线刚度。。在应用用表6-1时应注意意的是：：表中的的形常数数和载常常数是根根据图示示的支座座位移和和荷载方方向求得得的。当当计算某某一结构构时，应应根据其其杆件两两端实际际的位移移方向和和荷载方方向，判判断形常常数和载载常数应应取的正正负号。。位移移法法2.等截面直直杆的转转角位移移方程1)两端固定定杆如图6.17所示两端端固定的的等截面面直杆，，假如A、B两端的转转角分别别为φA、φB，垂直于于杆轴方方向上的的相对线线位移是是△，梁上还还存在外外荷载的的作用。。梁AB在上述四四种外在在因素共共同作用用下的杆杆端弯矩矩，应该该等于φA、φB、△和荷载单单独作用用下的杆杆端弯矩矩的叠加加。利用用表6-1可以得到：式中，为为跨间间荷引起AB杆的杆端弯矩矩。式(6-3)称为两端固定定杆的转角位位移方程。图6.17两端固定的直直杆(6-3)位移法法2)一端固定另一一端铰支杆如图6.18所示，设A端转角为φA，两端相对位移移是△，梁上还还作用有外荷荷载。利用表表6-1可以得到：式(6-4)称为一端固定定另一端铰支支杆的转角位位移方程。图6.18一端固定、另另一端铰支杆杆(6-4)位移法法图6.18一端固定、另另一端铰支杆杆位移法法续表位移法法3)一端固定另一一端定向支承承杆如图6.19所示，设A端转角为φA，设B端转角为φB，梁上还作用用有外加荷载载。利用表6-1可以得到：式(6-5)称为一端固定定另一端定向向支承杆的转转角位移方程程。(6-5)图6.19一端固定，另另一端定向支支承杆位移法法以上得到了三三种不同约束束条件下等截截面直杆的转转角位移方程程式，它们都都是杆端弯矩矩与荷载及杆杆端位移之间间的关系。对对于杆端剪力力与杆端位移移及荷载之间间关系可根据据静力平衡条条件求得：式中，分分别表示相应应简支梁在跨跨间荷载作用用下的杆端剪剪力。分别将式(6-3)、式(6-4)、式(6-5)代入式(6-6)，即可求得相相应单跨超静静定杆的杆端端剪力与杆端端位移及荷载载的关系。(6-6)三、位移法计算举举例位移法方程实实质上反映了了原结构某一一部分的静力力平衡条件。。因此可以直直接运用转角角位移方程得得到杆端力与与杆端位移的的关系式后，，由原结构的的结点和某部部分的平衡条条件建立位移移法方程，下下面说明这种种方法的过程程和步骤。位移法法【例6.4】用位移法计算算如图6.20(a)所示刚架，绘绘制出最后弯弯矩图。图6.19一端固定，另另一端定向支支承杆解(1)如图6.20(a)所示的刚架结结构具有两个个基本未知量量，即转角φ1和线位移△，令Z1=φ1,Z2=△，并假设位移移均为正方向向，如图6.20(b)所示。(2)应用转角位移移方程，将各各杆杆端弯矩矩和杆端剪力力表达为含结结点位移及荷荷载的表达式式，即：位移法法(3)由结点1的平衡条件∑∑M1=0和柱端剪力平平衡条件∑x=0(如图6.21所示)可以建立两个个方程式：图6.21杆12的平衡位移法法将上述有关杆杆端弯矩和杆杆端剪力代入入，得(4)解方程组可得得：(5)然后将Z1=3.63、Z2=8.93代回到各杆杆杆端弯矩的表表达式中，则则可以得到：：位移法法(6)根据上述各杆杆的杆端弯矩矩及跨间荷载载，可绘制出出原结构的最最后弯矩图，，如图6.22所示。图6.22刚架的最后弯弯矩图力矩分配法一、力矩分配法的的基本概念前面介绍的力力法和位移法法是计算超静静定结构的两两种基本方法法。无论哪种种方法都需要要求解联立方方程组。力矩矩分配法采用用逐步修正的的计算步骤，，不需要求解解联立方程组组，可以直接接求出杆端弯弯矩的近似值值，比较适用用于连续梁和和无结点线位位移的刚架的的计算。为了说明力矩矩分配法的概概念和计算步步骤，先介绍绍几个名词：：1)转动刚度杆端支承不同同的杆件对于于杆端转动的的抵抗能力是是不同的。杆杆端转动刚度度系数SAB的定义是：杆杆AB的A端(或者称近端)产生单位转角角时，A端所需施加的的力矩值。此值不仅仅与杆件的弯弯曲线刚度有有关，，而且与杆件件的另一端(或者称远端)的支承有关。。不同支承情情况的等截面面直杆相应的的近端转动刚度系数可可以从表6-1中查得，如图图6.23(a)～图6.23(c)所示，它们分分别为：远端为固定支支座SAB=4i远端为铰支座座SAB=3i远端为定向支支座SAB=i图6.23转动刚度力矩分配法如果把A端改成固定铰铰支座或可动动铰支座，则则SAB的数值不变。。可以把A端看作可转动动(但不能移动)的刚结点A，这时SAB就代表当刚结结点产生单位位转角时在杆杆端Ai引起的杆端弯弯矩。2)传递系数当杆件AB仅在A端有转角时，，引起B端的弯矩MBA称为传递弯矩矩，它与A端弯矩MAB之比值，称为为该杆从A端传至B端的弯矩传递递系数，用CAB表示。因此，，图6.23(a)、(b)、(c)所示各杆的传传递系数分别别为：远端为固定支支座远端为定向支支座远端为铰支座座利用传递系数数的概念，图图6.23中各杆的远端端弯矩可以由由下式计算：：力矩分配法3)弯矩分配系数数μ如图6.24(a)所示的刚架，，外力偶M作用于结点A，使结点A发生了转角φA，各杆发生如如图中虚线所所示的变形。。由刚结点的的特点，各杆杆的A端均发生转角角φA。现将结点A取作隔离体(如图6.24(b)所示)，由平衡条件件有：图6.24刚架受力图图又由各杆转转动刚度定定义，当时时，近端弯弯矩分别为为：则：力矩分配法法故式中，∑SAi表示交于结结点A的各杆A端转动刚度度之和。则则各杆端弯弯矩为：式中，μAB，μAC，μAD即为点A处各杆近端端弯矩的分分配系数，，且同一结结点各杆端端分配系数数之和为1，即μAB+μAC+μAD=1。力矩分配法法注意的是M为作用于结结点A的外力矩，，该力矩按按各杆A端转动刚度度的比例分分配给各杆杆的A端(近端)，故称各杆杆的A端弯矩为分分配弯矩、、μ为力矩分配配系数、上上述计算近近端弯矩的的过程称为为力矩分配配。力矩分配法法即是将作作用于结点点的外力矩矩按交于此此点的各杆杆端的力矩矩分配系数数分配给各各杆的近端端，得到各各杆近端的的分配弯矩矩；然后根根据各杆远远端的支承承情况，将将近端的分分配弯矩乘乘以相应的的传递系数数，得到远远端的传递递弯矩。二、用力矩分配配法计算连连续梁和结结点无线位位移的刚架架以图6.25(a)的连续梁为为例来说明明其计算步步骤。(1)固定结点，，求约束力力矩。在刚刚结点B处加上附加加刚臂，形形成位移法法的基本结结构，然后后将荷载加加上去，如如图6.25(b)所示。此时时，各杆端端将产生固固端弯矩，，利用结点点B的力矩平衡衡条件，可可以求出刚刚臂对结点点的约束力力矩(也称不平衡衡弯矩)。约束力矩矩以顺时针针转向为正正，在数值值上等于交交于结点B的各杆端固固端弯矩的的代数和，，即。。力矩分配法法图6.25力矩分配法法计算连续续梁力矩分配法法(2)放松结点，，求分配弯弯矩和传递递弯矩。因因结点B本来没有刚刚臂，也不不存在约束束力矩MB，为了使其其恢复到原原来的状态态图6.25(a)，使结点B处的约束力力矩回复到到零，在结结点B处新加一个个与MB大小相等、、方向相反反的力矩。。这相当于于消除了刚刚臂，使结结点B产生与原结结构相同的的转动。此此时各杆所所产生的杆杆端弯矩可可以按力矩矩分配法进进行计算。。注意，跨跨间荷载引引起的结点点不平衡力力矩要反号号分配、传传递；而结结点上外力力矩荷载要要正号分配配、传递。。(3)把图6.25(b)、图6.25(c)两种情况叠叠加，就得得到如图6.25(d)所示最后的的杆端弯矩矩。计算过程通通常在梁的的下方列表表中进行。。详细的计计算过程如如下：(1)计算结点B处各端的弯弯矩分配系系数。为方方便计算，，令，，则则iAB=1，iBC=2。将分配系数数写在图6.25(a)下的表中第第一行内。。力矩分配法法(2)计算固端弯弯矩。由表表6-1得：将此值写在在图6.25(a)下的表中第第二行内。。(3)进行弯矩分分配和传递递。结点B处约束力矩矩为：将其反号并并乘以分配配系数即得得到各近端端的分配力力矩，再将将分配力矩矩乘以各杆杆的传递系系数即得到到各远端的的传递力矩矩。力矩分配法法在分配力矩矩下面划一一横线，表表示结点已已经放松，，达到平衡衡，将这些些值写在图图6.25(a)下的表中第第三行内。。(4)计算杆端最最终弯矩值值，并绘制制M、Q图。将图6.25(a)下的表中对对应于每一一杆端截面面的竖列数数值相加，，就得到各各杆端的最最终弯矩值值(下面划双横横线表示最最后结果)。注意结点点B应满足平衡衡条件：根据杆端弯弯矩及跨间间荷载可绘绘出图，如如图6.25(d)所示。利用用弯矩图，，取各杆件件为隔离体体，由平衡衡条件求各各端剪力，，绘出剪力力图，如图图6.25(e)所示。力矩分配法法(5)计算B支座的约束束反力。取取结点B为隔离体(如图6.25(f)所示)，由∑y=0，求得B支座的反力力为：RB=50+60=110kN(↑)【例6.5】用力矩分配配法计算图图6.26(a)所示无侧移移刚架，并并绘制弯矩矩图。图6.26力矩分配法法计算无侧侧移刚架力矩分配法法解(1)计算弯矩分分配系数：：弯矩分配系系数如图6.26(b)的方框中所所示。(2)计算固端弯弯矩：将此值列于于图6.26(b)中的第二行行。(3)进行力矩的的分配和传传递计算。。外力矩80kNm作用在A结点上，已已假定在结结点A有附加刚臂臂，故该外外力矩对各各杆不产生生固端弯矩矩，外力矩矩直接由附附加刚臂承承受，并引引起约束力力矩为－80kNm。由结点A的力矩平衡衡条件(如图6.26(d)所示)求得总的约约束力矩为为：MA=－80+24=－56kNm力矩分配法法将MA反号进行分分配和传递递计算，其其计算过程程可按图6.26(b)所示格式进进行。(4)计算最终的的杆端弯矩矩并绘制M图。各杆最最终的杆端端弯矩值为为图6.26(b)中下面有双双横线的数数字，刚架架的弯矩图图如图6.26(c)所示。由图图6.26(d)知MB=0，满足平衡衡条件，可可知计算无无误。注意80kNm作用在刚结结点A上，不属于于杆端，故故不参加求求最后杆端端弯矩的叠叠加，写在在括号中以以免混淆。。对于具有两两个以上结结点角位移移的连续梁梁和刚架，，可以采用用逐个结点点轮流放松松的方法，，即每次只只放松一个个结点，其其他结点仍仍暂时固定定，这样把把各结点的的约束力矩矩轮流地进进行分配、、传递，直直到各结点点的约束力力矩小到可可以忽略不不计时，即即可停止分分配和传递递，最后根根据叠加原原理求得结结构的各杆杆端弯矩。。解题步骤为为：①计算汇汇交于各结结点的各杆杆端的力矩矩分配系数数μik，并确定各各杆传递系系数Cik。②固定各各结点，计计算各杆端端的固端弯弯矩。。③逐次放放松各结点点，并对每每个结点按按分配系数数将约束力力矩反号分分配给汇交交于该结点点的各杆端端，然后将将各杆端的的分配弯矩矩乘以传递递系数传递递给另一端端，按此步步骤循环计计算直至各各结点上的的传递弯矩矩小到可以以忽略为止止。力矩分配法法④将各杆杆端的固端端弯矩与历历次分配弯弯矩和传递递弯矩相加加，即得各各杆端最后后弯矩。⑤绘制弯弯矩图，进进一步可以以绘制剪力力图和轴力力图。【例6.6】试用力矩分分配法计算算如图6.27(a)所示的无侧侧移刚架，，并绘制弯弯矩图。各各杆线刚度度等于常数。。解该该刚架有有A、B两个结点。。(1)计算力矩分分配系数，，结点A各杆端的转转动刚度：：SAD=SAB=4i分配系数：：结点B各杆端的转转动刚度：：SBA=4iSBE=SBC=3i力矩分配系系数：图6.27力矩法计算算无侧移刚刚架力矩分配法法(2)锁住住结结点点A和结结点点B，计计算算固固端端弯弯矩矩：：(3)按按照照先先放放松松B点(锁锁住住A点)，，再再放放松松A点(锁锁住住B点)的的次次序序分分别别计计算算分分配配力力矩矩和和传传递递力力矩矩，，循循环环三三次次后后，，B、、A点点达达到到平平衡衡(如如图图6.27表表中中所所示示)。。图6.27力矩矩法法计计算算无无侧侧移移刚刚架架(表)力矩矩分分配配法法(4)叠加加法法计计算算杆杆端端弯弯矩矩