初中数学中考第二轮圆分类复习训练试题

四川省开江县第三中学2020年中考第二轮圆分类复习训练试题1、已知：如图，⊙O的直径AB与弦CD订交于E，＝，⊙O的切线BF与弦AD的延长线订交于点F．（1）求证：CD∥BF．（2）连接BC，若⊙O的半径为4，cos∠BCD＝，求线段AD、CD的长．2、如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．（1）判断DE与⊙O的地址关系，并证明你的结论；（2）若是⊙O的直径为9，cosB＝，求DE的长．3、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E．（1）判断直线CD与⊙O的地址关系，并说明原由；（2）若BE＝2，DE＝4，求圆的半径及AC的长．4、如图，BC是⊙O的直径，CE是⊙O的弦，过点E作⊙O的切线，交CB的延长线于点G，过点B作BF⊥GE于点F，交CE的延长线于点A．（1）求证：∠ABG＝2∠C；（2）若GF＝33，GB＝6，求⊙O的半径．5、如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的点，且AP＝AC．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）若AC＝3，求PD的长．6、如图，在矩形ABCD中，CD＝2，AD＝4，点P在BC上，将△ABP沿AP折叠，点B恰好落在对角线AC上的E点，O为AC上一点，⊙O经过点A，P（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）在边CB上截取CF＝CE，点F是线段BC的黄金切割点吗？请说明原由．7、已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，且∠CBD＝∠A．（1）判断直线BD与⊙O的地址关系，并证明你的结论；（2）若BC＝2，BD＝，求的值．8、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF．（1）求证：CF是⊙O的切线．（2）若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC．9、如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，连接EB交OD于点F．（1）求证：OD⊥BE；（2）若DE＝，AB＝，求AE的长．10、如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：直线DF是⊙O的切线；2（2）求证：BC＝4CF?AC；（3）若⊙O的半径为4，∠CDF＝15°，求阴影部分的面积．11、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若DH＝9，tanC＝，求直径AB的长．12、已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O交AC于点D，连接BD．（1）如图1，若BD：CD＝3：4，AD＝3，求⊙O的直径AB的长；（2）如图2，若E是BC的中点，连接ED，请你判断直线ED与⊙O的地址关系，并证明你的结论．13、如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作OD⊥AB交AC于点D，延长BC，OD交于点F，过点C作⊙O的切线CE，交OF于点E．（1）求证：EC＝ED；（2）若是OA＝4，EF＝3，求弦AC的长．14、以坐标原点为圆心，

1为半径的圆分别交

x，y轴的正半轴于点

A，B．（1）如图一，动点

P从点

A处出发，沿

x轴向右匀速运动，与此同时，动点

Q从点

B处出发，沿圆周按顺时针方向匀速运动．若点

Q的运动速度比点

P的运动速度慢，经过

1秒后点

P运动到点（2，0），此时

PQ恰好是⊙O的切线，连接

OQ．求∠QOP的大小；（2）若点再经过5

Q依照（1）中的方向和速度连续运动，点秒后直线PQ被⊙O截得的弦长．

P停留在点（

2，0）处不动，求点

Q15、如图，已知半径为1的⊙O1与x轴交于A，B两点，OM为⊙O1的切线，切点为M，圆心O1的坐标为（2，0），二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过A，B两点．1）求二次函数的剖析式；2）求切线OM的函数剖析式；3）线段OM上存在一点P，使得以P，O，A为极点的三角形与△OO1M相似．请问有几个吻合条件的点P并分别求出它们的坐标．16、（1）方法选择如图①，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，AB＝BC＝AC．求证：BD＝AD+CD．小颖认为可用截长法证明：在DB上截取DM＝AD，连接AM小军认为可用补短法证明：延长CD至点N，使得DN＝AD请你选择一种方法证明．2）类比研究【研究1】如图②，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，BC是⊙O的直径，AB＝AC．试用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系，井证明你的结论．【研究2】如图③，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD．若BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是．3）拓展猜想如图④，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD．若BC是⊙O的直径，BC：AC：AB＝a：b：c，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是．17、如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC上一点O为圆心作圆与AB相切于点D，与BC分别交于点F、N，连接DF并延长交AC的延长线点E．（1）求证：AE＝AD；（2）过点D作DH⊥BC于点B，连接AF并延长交⊙O于点G，连接DG，若DO均分∠GDH．求证：∠AFD＝2∠DFN；（3）在（2）的条件下，延长DG交AE的延长线于点P，连接PF并延长交⊙O于点M，若FM＝5，FH＝9，求OH的长．参照答案1、（1）证明：∵直径AB均分，∴AB⊥CD．∵BF与⊙O相切，AB是⊙O的直径，∴AB⊥BF．∴CD∥BF．（2）解：连接BD，BC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．在Rt△ADB中，∵cos∠BAF＝cos∠BCD＝，AB＝4×2＝8．∴AD＝AB?cos∠BAF＝8×＝6．∵AB⊥CD于E，在Rt△AED中，cos∠BAF＝cos∠BCD＝，sin∠BAF＝．∴DE＝AD?sin∠BAF＝6×．∵直径AB均分，∴CD＝2DE＝3．2、解：（1）答：DE是⊙O的切线．证明：连接OD，AD，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，又∵DE⊥AC，∴∠EDA+∠CAD＝90°，∴∠EDA+∠ODA＝90°，即：OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，在Rt△ADB中，cos∠B＝＝，AB＝9，∴BD＝CD＝3，在Rt△CDE中，cos∠C＝，∴CE＝CD?cos∠C＝3?cos∠B＝3×＝1，DE＝2．∴＝3、（1）证明：连接OC．∵CB＝CD，CO＝CO，OB＝OD，∴△OCB≌△OCD（SS），∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∴OD⊥DC，∴DC是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为r．在Rt△OBE中，∵OE2＝EB2+OB2，∴（4﹣r）2＝r2+22，r＝1.5，∵tan∠E＝＝，∴＝，∴CD＝BC＝3，在Rt△ABC中，AC＝＝＝3．∴圆的半径为1.5，AC的长为34、（1）证明：连接OE，∵EG是⊙O的切线，∴OE⊥EG，∵BF⊥GE，∴OE∥AB，∴∠A＝∠OEC，∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠C，∴∠A＝∠C，∵∠ABG＝∠A+∠C，∴∠ABG＝2∠C；（2）解：∵BF⊥GE，∴∠BFG＝90°，∵GF＝3，GB＝6，∴BF＝＝3，∵BF∥OE，∴△BGF∽△OGE，∴＝，∴＝，∴OE＝6，∴⊙O的半径为6．5、解：（1）证明：连接OA，∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°，∵OA＝OC，∴∠ACP＝∠CAO＝30°，∴∠AOP＝60°，又∵AP＝AC，∴∠P＝∠ACP＝30°，∴∠OAP＝90°，即OA⊥AP，∵点A在⊙O上，∴AP是⊙O的切线．（2）解：连接AD，∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD＝90°，∴AD＝AC?tan30°＝，CD＝2AD＝2，∴DO＝AO＝CD＝，在Rt△PAO中，由勾股定理得：PA2+AO2＝PO2，222∴3+（）＝（PD+），∵PD的值为正数，∴PD＝．6、解：（1）连接OP，则∠PAO＝∠APO，而△AEP是由△ABP沿AP折叠而得：故AE＝AB＝4，∠OAP＝∠PAB，∴∠BAP＝∠OPA，∴AB∥OP，∴∠OPC＝90°，∴BC是⊙O的切线；（2）CF＝CE＝AC﹣AE＝﹣4＝2﹣2，＝，故：点F是线段BC的黄金切割点．7、解：（1）直线BD与⊙O相切．证明：如图1，连接OD．∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO．∵∠C＝90°，∴∠CBD+∠CDB＝90°．又∵∠CBD＝∠A，∴∠ADO+∠CDB＝90°．∴∠ODB＝90°．∴直线BD与⊙O相切．（2）解法一：如图1，连接DE．∵∠C＝90°，BC＝2，BD＝∴．∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°．∴．∵∠CBD＝∠A，∴＝＝．∵AE＝2AO，∴＝．解法二：如图

2，过点

O作

OH⊥AD于点

H．∴

．∴∵∠C＝90°，BC＝2，BD＝∴．∵∠CBD＝∠A，∴＝＝．∴＝．8、（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ACD＝90°，∵点F是ED的中点，∴CF＝EF＝DF，∴∠AEO＝∠FEC＝∠FCE，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∵OD⊥AB，∴∠OAC+∠AEO＝90°，∴∠OCA+∠FCE＝90°，即OC⊥FC，∴CF与⊙O相切；（2）解：∵OD⊥AB，AC⊥BD，∴∠AOE＝∠ACD＝90°，∵∠AEO＝∠DEC，∴∠OAE＝∠CDE＝22.5°，∵AO＝BO，∴AD＝BD，∴∠ADO＝∠BDO＝22.5°，∴∠ADB＝45°，∴∠CAD＝∠ADC＝45°，∴AC＝CD．9、证明：（1）连接AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠AEB＝90°，∵AB＝AC，∴DC＝DB．∵OA＝OB，∴OD∥AC．∴∠OFB＝∠AEB＝90°，∴OD⊥BE．（2）设AE＝x，∵OD⊥BE，∴可得OD是BE的中垂线，∴DE＝DB，∴∠1＝∠2，∴BD＝ED＝

，∵OD⊥EB，∴FE＝FB．∴OF＝

AE＝

，DF＝OD﹣OF＝

．在Rt△DFB中，

；在Rt△OFB中，∴＝．解得

，即

．

；10、解：（1）以下列图，连接OD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，而OB＝OD，∴∠ODB＝∠ABC＝∠C，∵DF⊥AC，∴∠CDF+∠C＝90°，∴∠CDF+∠ODB＝90°，∴∠ODF＝90°，∴直线DF是⊙O的切线；（2）连接AD，则AD⊥BC，则AB＝AC，则DB＝DC＝，∵∠CDF+∠C＝90°，∠C+∠DAC＝90°，∴∠CDF＝∠DCA，而∠DFC＝∠ADC＝90°，∴△CFD∽△CDA，∴CD2＝CF?AC，即BC2＝4CF?AC；（3）连接OE，∵∠CDF＝15°，∠C＝75°，∴∠OAE＝30°＝∠OEA，∴∠AOE＝120°，SOAEAEOEOEAOEOEAOEOEA，△S＝﹣S＝×π×42﹣4＝﹣4．阴影部分S扇形OAE△OAE11、解：（1）∵D是的中点，∴OE⊥AC，∴∠AFE＝90°，∴∠E+∠EAF＝90°，∵∠AOE＝2∠C，∠CAE＝2∠C，∴∠CAE＝∠AOE，∴∠E+∠AOE＝90°，∴∠EAO＝90°，∴AE是⊙O的切线；（2）∵∠C＝∠B，∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB，∴∠ODB＝∠C，tanC＝tan∠ODB＝＝，∴设HF＝3x，DF＝4x，∴DH＝5x＝9，∴x＝，∴DF＝，HF＝，∵∠C＝∠FDH，∠DFH＝∠CFD，∴△DFH∽△CFD，∴＝，∴CF＝＝，∴AF＝CF＝，设OA＝OD＝x，∴OF＝x﹣，∵AF2+OF2＝OA2，2+（x﹣22∴（））＝x，解得：x＝10，∴OA＝10，∴直径AB的长为20．12、解：（1）如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．则∠CDB＝∠ADB＝90°．∴∠C+∠CBD＝90°．∵∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠CBD＝90°．∴∠C＝∠ABD．∴△ADB∽△BDC．∴．∵BD：CD＝3：4，AD＝3，∴BD＝4．在Rt△ABD中，AB＝；（3分）（2）直线ED与⊙O相切．证明：如图，连接OD．由（1）得∠BDC＝90°．∵E是BC的中点，∴DE＝BE＝BC，∴∠EDB＝∠EBD，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD．∵∠OBD+∠EBD＝90°，∴∠ODB+∠EDB＝∠ODE＝90°．∵点D在⊙O上，且OD⊥DE∴ED是⊙O的切线．（5分）13、（1）证明：连接OC，∵CE与⊙O相切，为C是⊙O的半径，∴OC⊥CE，∴∠OCA+∠ACE＝90°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，∴∠ACE+∠A＝90°，∵OD⊥AB，∴∠ODA+∠A＝90°，∵∠ODA＝∠CDE，∴∠CDE+∠A＝90°，∴∠CDE＝∠ACE，∴EC＝ED；（2）解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△DCF中，∠DCE+∠ECF＝90°，∠DCE＝∠CDE，∴∠CDE+∠ECF＝90°，∵∠CDE+∠F＝90°，∴∠ECF＝∠F，∴EC＝EF，∵EF＝3，∴EC＝DE＝3，∴OE＝＝5，∴OD＝OE﹣DE＝2，OADAD＝2，在Rt△中，＝在Rt△AOD和Rt△ACB中，∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠AOD，∴Rt△AOD∽Rt△ACB，∴，即，∴AC＝．14、解：（1）如图一，连接AQ．由题意可知：OQ＝OA＝1．∵OP＝2，∴A为OP的中点．∵PQ与⊙O相切于点Q，∴△OQP为直角三角形．∴

．即△OAQ为等边三角形．∴∠QOP＝60°．（2）由（1）可知点

Q运动1

秒时经过的弧长所对的圆心角为

30°，若

Q依照（1）中的方向和速度连续运动，那么再过

5秒，则

Q点落在⊙O与

y轴负半轴的交点处（如图二）．设直线PQ与⊙O的别的一个交点为D，过O作OC⊥QD于点C，则C为QD的中点．∵∠QOP＝90°，OQ＝1，OP＝2，∴QP＝．∵，∴OC＝＝．∵OC⊥QD，OQ＝1，OC＝，∴QC＝＝．∴QD＝．15、解：（1）∵圆心的坐标为O1（2，0），⊙O1半径为1，∴A（1，0），B（3，0），2∵二次函数y＝﹣x+bx+c的图象经过点A，B，∴可得方程组，解得：，2∴二次函数剖析式为y＝﹣x+4x﹣3．（2）过点M作MF⊥X轴，垂足为F．∵OM是⊙O1的切线，M为切点，∴O1M⊥OM（圆的切线垂直于经过切点的半径）．在RT△OO1M中，sin∠O1OM＝＝，∵∠O1OM为锐角，∴∠O1OM＝30°，∴OM＝OO1?cos30°＝，在RT△MOF中，OF＝OM?cos30°＝．MF＝OMsin30°＝

．∴点

M坐标为（

），设切线

OM的函数剖析式为y＝kx（k≠0），由题意可知

＝k，∴k＝

，∴切线OM的函数剖析式为y＝x（3）两个，①过点A作AP1⊥x轴，与OM交于点P1，可得Rt△AP1O∽Rt△MO1O（两角对应相等两三角形相似），PA＝OA?tan∠AOP＝，11∴P1（1，）；②过点A作AP2⊥OM，垂足为，过P2点作P2H⊥OA，垂足为H．可得Rt△OP2A∽Rt△O1MO（两角对应相等两三角形相似），在Rt△OP2A中，∵OA＝1，∴P2＝OA?cos30°＝，在Rt△OP2H中，OH＝OP2?cos∠AOP2＝，P2H＝OP2?sin∠AOP2＝，P2（，），∴吻合条件的P点坐标有（1，），（，）．16、解：（1）方法选择：∵AB＝BC＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，如图①，在BD上截取DEMAD，连接AM，∵∠ADB＝∠ACB＝60°，∴△ADM是等边三角形，∴AM＝AD，∵∠ABM＝∠ACD，∵∠AMB＝∠ADC＝120°，∴△ABM≌△ACD（AAS），∴BM＝CD，∴BD＝BM+DM＝CD+AD；2）类比研究：如图②，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，过A作AM⊥AD交BD于M，∵∠ADB＝∠ACB＝45°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴AM＝AD，∠AMD＝45°，∴DM＝AD，∴∠AMB＝∠ADC＝135°，∵∠ABM＝∠ACD，∴△ABM≌△ACD（AAS），∴BM＝CD，∴BD＝BM+DM＝CD+AD；【研究2】如图③，∵若BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，∴∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，过A作AM⊥AD交BD于M，∵∠ADB＝∠ACB＝60°，∴∠AMD＝30°，∴MD＝2AD，∵∠ABD＝∠ACD，∠AMB＝∠ADC＝150°，∴△ABM∽△ACD，∴＝，∴BM＝CD，∴BD＝BM+DM＝CD+2AD；故答案为：BD＝CD+2AD；3）拓展猜想：BD＝BM+DM＝CD+AD；原由：如图④，∵若BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，过A作AM⊥AD交BD于M，∴∠MAD＝90°，∴∠BAM＝∠DAC，∴△ABM∽△ACD，∴＝，∴BM＝CD，