高中数学同步讲义分册-选修4-1第二讲一五.探究并理解圆周角定理证明过程

—[学习目标探究并理解圆周角定理的证明过程[知识 AB∥DG，则∠BAC＝∠EDF，但︵提示不一定相等..弦所对的优弧与所对劣弧所成的︵1︵推论1 推论 要点 圆周角定理及其推例 在半径为5cm的圆内有长为53cm的弦AB，求此弦所对的圆周角 如图所示，过O点作OD⊥AB于点OD⊥AB，OD经过圆心，所以AD＝BD＝523(cm).在Rt△AOD中 22因为∠AOB＝120°，所以︵ACB︵所以 60 演练 如图，已知：△ABC内接于⊙O，D，E在BC边上，且证 延长AD，AE，分别交⊙O于F，G，连接∵∠1＝∠2︵＝︵∴BF＝CG︵＝︵ 又∴∠F＝∠G︵＝︵要点 圆心角定例 如图所示，AB，CD是⊙O的两条直径，CE∥AB，求证：︵＝ 连接OE，因为OE＝OC，所以∠C＝∠E.因为CE∥AB.所以∠C＝∠BOC，∠E＝∠AOE.所以︵︵ 演练 如图所示，已知⊙O中，∠AOB＝2∠BOC.求证2证 222又由已知 22要点 直径上的圆周例3 如图所示，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC＝4cm.试判断ODAC的位置关系OD的长2sinA－1＝0，求⊙O的直径 ∵AB为⊙O 2∵2sinA－1＝0，∴sin2又∵sinA＝BC，∴AB＝2BC＝8cm，即⊙O的直径为8cm.规律方 此题充分利用了“直径所对的圆周角是直角”这一特征，并在此基上对前面所学知识进行适当的综合演练 如图，AB是半圆的直径，AC为弦，且＝4∶3，AB＝10cm，OD⊥ACD.OBCD的面积 ∵AB是半圆的直径∵AC∶BC＝4∶3又∴x＝2，∴AC＝8cm，BC＝6又∴AD＝4cm，OD＝3∴S四边形

“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中ABDBAC＝20°， AD＝CD，则∠DAC的度数是 解 BC40°，∴ACBC40°，∴AC∵ AD＝CD，∴CD答 如图所示，在⊙O中，∠BAC＝25°，则∠BOC等于 解 根据圆周角定理，得答

△ABC内接于⊙O，且AB∶BC∶CA＝3∶4∶5，则 解 ∵︵︵∴ AB90°，BC120°，CA答 如图所示，在⊙OAB＝10cm，BC＝8cm，CD∠ACBACDB的长 ∵AB是⊙O的直径，而直径所对的圆周角是直角，∴△ABCAB2＝AC2＋BC2，即102＝AC2＋82，∴AC＝6(cm).∵CD平分AB2＝2BD2，102＝2DB2，∴DB＝5︵如图，D是AC的中点，与∠ABD相等的角有 A.7 B.3C.2 D.1解 与∠ABD相等的角分别为答 解

︵答 ABOAD，BC

(D.以上答案都不

，那么解 连接BD，由BA是直径，知△ADB是直角三角形.根 答 弦BC分⊙O为1∶3两部分，⊙O的直径等于4，则 解 由圆心角定理

22＋22＝2答 2︵ 解 ∵∠AOB＝100°，且D是︵的中点答 ︵(1)ACBD的长(2)求四ADBC的面积 (1)∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°.∵AB＝10，BC＝8，∴在ABC中 AB2－BC2＝6(cm).∵点D是︵的中点，∴︵＝︵×∴△ABD为等腰直角三角形，∴BD＝AB·sin 2＝52(cm).×(2)由(1)S四边形

(5

C.2 C.2A.A.解 由圆周角定理推论2知

ABRt△ABC的外接圆直径，又∵AB＝23＝4

cos

答 在半径为6cm的圆中，6cm长的弦所对的圆心角等 6cm长的弦的端点与圆心构成等边三角形，故此弦所对的圆心角为60°或答 60°或︵如图所示，AB是⊙O的直径，D是AE的中点，∠ABD＝20 如图所示，连接AD，DE，∵∠ABD＝20°，∴∠AED＝20°，又D是︵的中点，∴∠DAC＝∠DEA＝20°，∵AB是⊙O的直径答 BCAD⊥BC，︵︵AF＝AB，BFADE证 ∵BC是⊙O的直径∴∠BAC为直角.∵︵︵∴△ABEAD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径.证 连接BE，因为AE为直径所以∠ABE＝90°.AD是△ABC的高，︵ADE证 法 为直角，又由∠C＝∠F，可得∠BAO与∠CAD相等 若要直接证∠OAE＝∠EAD，就需要把它们设置成圆周角，因此把AO，AD均延长，分别交⊙O于F点和G点，连接FG，如图②，可证得FG∥BC，由平行直线所夹的弧相等则有︵＝︵，又︵＝︵，∴︵＝︵∴∠FAE＝∠GAE. 如图③，寻找第三个角，利用等量代换来证∠OAE＝∠EAD，故连接OE，利用垂径定理得OE⊥BC，进而易知OE∥AD，可得∠E＝∠DAE；同时，在等腰三角形OAE中∠OAE＝∠E，∴∠OAE＝∠DAE.二[学习目标理解圆内接四边形的两条性质定理，并能应用定理解决相关的几何问题判断下列各命题是否正确提示(1)错误，任意三角形有唯一的外接圆；(2)正确，因为矩形对角线的交点到[预习导引ABCDOABCD内接于⊙O，EABABCD中，如果∠B＋∠D＝180°(或∠A＋∠C＝180°)A，B，C，DABCDABE，若∠CBE＝∠ADC要点 圆内接四边形的性例 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，在AB上截取 证 连接∵PC PCFD内接于 些等量关系演练1 如图所示，⊙O1和⊙O2交于A，B两点，经过A点的直线分别交两圆于经过B点的直线分别交两圆于E，证 连接AB，∵四边形ABEC内接于∴∠ABF＝∠CABFD内接于∴∠C＋∠D＝180°.要点 圆内接四边形的判例2 且AP⊥BC于P.求证：E，D，P，F四点共圆 连接∵AP⊥BC，FAC

∵E，F，DAB，AC，BCEDCF∴∠FPC＝∠FED，∴E，D，P，F四点共圆 1.本题证明的关键是如何使用点E、D、F是中点这一条件.关系进行证明演练 上，且 上，且

，AD，BEPP，D，C，E证 在正△ABC中，由

知P，D，C，E共圆

要点 圆内接四边形性质与判定的综合运例 如图，已知△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外接圆劣︵AC上的点(A，C重合)BD求证：AD的延长线DF若∠BAC＝30°，△ABCBC边上的高为2＋3.求外接圆的面积证明如图，∵A，B，C，D四点共圆又故ADDF平分 设O为外接圆圆心，连接AO并延长交BC于H，则AH⊥BC，连接OC，2rr＋3＝2＋3r＝22 演练3 如图所示，已知四边形ABCD为平行四边形，过点A和点B的圆与AD，BC分别交于点E，F，连接EF.求证：E，F，C，D四点共圆.证 由题意知四边形ABFE是圆内接四边形∴∠A＋∠BFE＝180°.又在▱ABCD∴E，F，C，D四点共圆1.2.如果四个点与一定点的距离相等，那么这四个点共圆如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点下列说法正确的个数有 ⑤正方形内接于圆 B.2C.3 D.4解 根据圆内接四边形的判定定理知，④⑤正确答 四边形ABCD内接于圆O，∠A＝25°，则∠C等于 解 ∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠A＋∠C＝180°.又答 如图，点A，B，C，D在同一个圆上，直线AB，DC相交于 解 答 如图所示，以锐角△ABC⊙O2，⊙O3交于一点 设⊙O1，⊙O3交于点F，连接AF，BF，CF，∵A，F，B，D四点共圆，∵△ABD∴∠BFC＝120°.∵∠BFC＋∠E＝180°，∴B，E，C，F四点共圆，即⊙O1，⊙O2，⊙O3交于一点.如图，ABCD是⊙OBCE∠BCD∶∠ECD＝3∶2，那么∠BOD等于( 解 答 在圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是( D.以上都不解 四边形ABCD内接于圆，故∠A＋∠C＝∠B＋∠D，所以只有B适合答 如图所示，已知在圆内接四边形ABCD中，BA的延长线和CD的延长线交于点P，AC和BD相交于点E，则图有相似三角形()A.5 B.4C.3 D.2解 由圆内接四边形的性质和圆周角定理可以判定答 ∠BCD的度数 解

答 A，BAC，DBE，FCE，DF，若∠C 解 如图，连接答 如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接BCE，AB＝2AC.求证AC＝1，EC＝2时，求AD的长证明连接∵ACED又即有BE＝DE CD是∠ACB∴AD＝DE 由条件得AB＝2AC＝2，设AD＝t，根据割线定理得BD·BA＝BE·BC，(AB－AD)·BA＝2AD·(2即2t2＋3t－2＝0，解得

＝2

交⊙O于D，若CD＝5cm，则CB等于( A.25 B.15C.5

D.2解 连接∵C，D，O，A∴CD＝CB，∵CD＝5∴CB＝5答 分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，则 解

答 ABCDAC＝a，则四边形ABCD的面积 解 如图，连接BD，易知S四边形 2absin(60°－θ)＋2absin 在△ABC sin∴bsin∠ABC＝asin

3四边形ABCD＝2·a·a·sin60°＝4a答 324ABCDCDBABE点.证 如图，连接ABCD又BD∥EC，∴∠CEB＝∠ACD.∴△ADC∽△CBE.∴AD＝BC DE平分∠ADBABEA，D，EBDN.求证：证 连接AEND 又∵∠ADE＝∠NDE︵＝︵ ⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足.求证：E，B，C，F四点共圆证 法 连接∴A，E，D，F∴E，B，C，F四点共圆法 连接∴A，E，D，F∴E，B，C，F四点共圆法 连接∴A，E，D，F∴E，B，C，F四点共圆法 连接∴A，E，D，F∴E，B，C，F四点共圆三[学习目标 垂直于圆的半径的直线是圆的切线与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线过直径的端点，垂直于此直径的直线是圆的切线 l与圆O相切于点直线l与圆O相切于点O作直线m⊥l直线l与圆O相切于点A作直线m⊥lOAOl⊥OAA∈llO要点 切线的性例1 点C，AC平分∠DAB，AD⊥CD.求证AD＝2，AC＝5，求AB的长证明如图所示，连接∵CD为⊙O ∵AC平分∵AB为⊙O ∴AC＝AB，∴AC∵AD＝2，AC＝ 规律方法1.本例中第(2)AD、ACAB之间关系的直径，⊙OABEBC＝5，AC＝12，求⊙O的半径.解OE.∵AB与⊙OE，

，∴5＝ 3要点 圆的切线的判例2 交⊙O于点D.求证：DC是⊙O的切线证 又∵BC是⊙O∴∠OBC＝90°.∴∠ODC＝90OD⊥CD.∴DC是⊙O的切线规律方 判断一条直线是圆的切线时，常用辅助线的作法2如图所示，在△ABCAB＝ACAB为直径的⊙OBCD，DE⊥AC，垂足为E.求证：DE是⊙O的切证 连接OD和AD.∵AB是⊙O的直径∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线要点 圆的切线的判定与性质定理的综合应例3 如图所示正方形ABCD是⊙O的内接正方形延长BA到E，使AE＝AB，连接ED.(1)求证：直线ED是⊙O的切线(2)连接EOAD于点F，求证证 (1)如图所示，连接ABCDED是⊙O的切线(2)如图所示，作OM⊥AB于∵OABCD的中心，∴MAB的中点∴AE＝AB＝2AM∴EF＝AE 演练3 与过点A的直线交于B点，OC＝BC，AC＝1求证：AB为⊙O的切线若∠ACD＝45°，OC＝2，求弦CD的长证明如图，连接

∴△ACO∴∠OAB＝90°，∴AB为⊙O的切线 ∵∠ACD＝45°，∴Rt△ACE中又∵△ACO为正三角形，∴AE＝EC＝ ＝22又∵CD＝1∠AOC＝30Rt△AED2DE＝3AE＝6，∴CD＝CE＋DE＝2＋(2)几何法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线已知一条直线是圆的切线时，通常连接圆心和切点，这条半径垂直于切线1.(2016·石家庄模拟)l与⊙OA，Bl上任一点(不重合)，则△OAB是 A.等边三角 D.钝角三角解 ∵l与⊙O相切，∴l⊥OA.∴OA⊥AB.∴∠OAB＝90°，△OAB是直角三角形答 已知AB是⊙O的切线，下列给出的条件中，能判定AB⊥CD的是( A.AB与⊙O相切于直线CD上的点CB.CDC.CDD.AB与⊙OC，CD 圆的切线垂直于经过切点的半径，所以选项D正确(如图④).答 如图②所示，连接OB，OC，则OB⊥BD，OC⊥CD，故∠DBO＋∠DCO＝90°＋90°＝180°，则四边形OBDC内接 答 下列说法中正确的个数是 AB的中点 答 如图所示，⊙O是正△ABC的内切圆，切点分别为E，F，G，点P是弧EG上的任意一点，则∠EPF等于( 解 如图所示，连接22答 如图，在⊙O中，AB为直径，ADB的延长线交于C，若AD＝DC，则sin∠ACO等于 105C.5解 连接BD，作OE⊥AC于∵BC切⊙O

24D.4∵AB∠A＝45°，设⊙O 4R2＋R2＝

2 OE＝2 ＝10答 设⊙O1和⊙O2的半径均为r，则S△ABC＝1·AB·BC＝1·r·(AB＋BC＋AC).

（5－4）2＋（12－4）2＝答 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若AB与圆相切，则r＝ 过C作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△ABC中， ∴CD＝AB＝2.4∵AB∴r＝CD＝2.4答 2.4CE＝BE，EBCPE是⊙O的切线. 连接OP，BP.∵AB为⊙O的直径BC切⊙OB，知∴∠3＋∠4＝90∴PE为⊙O的切线如图所示，EB为半圆O的直径，点A在EB的延长线上，AD则BC的长为( 解 连接OD，∵AD切⊙O于∴△DOA∽△CBA，∴BC 4答 如图所示，CD是⊙O的直径，AE切⊙O于B，DC的延长线交AB于A，∠A＝20°，则∠DBE＝ 解 连接OB，则 答 ACDAO若AD∶AC＝1∶2，则AO∶OB＝ 解 如图所示，连接OD，则∵AC是⊙O

答

2AO. 如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝30°，MOA上一点，MAB的垂线交AC于点NBC的延长线于点E，直线CFENF，且∠ECF＝∠E.求证：CF是⊙O的切线证 连接OC，∵AB是⊙O的直径在Rt△EMB中，又∴∠OCF＝90°，∴CF为⊙O的切线如图，AB是⊙OPBACD⊥AB求证：PC是⊙O的切线若OE∶EA＝1∶2，PA＝6，求⊙O半径证明在△OCP与△CEP中又C点在圆上，∴PC是⊙O的切线. 设 即如图，A，B，C，D四点在同一圆上，ADBC的延EEC＝ED.(1)证明(2)延长CDF，延长DCG，使得EF＝EG.证明：A，B，G，F四点共圆.证 (1)因为EC＝ED，所以A，B，C，D所以(2)由(1)易知，AE＝BE.因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，从而∠AFG＋∠GBA＝180°.A，B，G，F四点共圆四[学习目标理解弦切角的定义及性质，并能解决与弦切角有关的问题提 前面我们研究过圆心角和圆周角；顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做心角，顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角 点ABAE.这时∠BAE还是圆周角吗？为什么？ 顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫作弦切角(3)圆心在角的，如图2.AB与⊙OA，AC与⊙OA，CD在⊙O在弦切角∠BAC要点 利用弦切角定理求例 如图，一圆过直角三角形ABC的直角顶点C，且与斜 ABD点，AD＝DB，G为CD中点，F为CE上任一点.证 连接CD，∵AB切圆于D点∵G为∵DACB规律方法1.本题在证明过程中，多次使用了角的转化，而转化的依据是弦切角演练1 如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，MN与⊙O相切，切点为A，∠MAB＝35°，则∠D＝ 解析BD答 要点 利用弦切角定理证明线段成比例2 的切线分别交DA的延长线和CA的延长线于E，F点.求证已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，求EF的长.证明(1)∵BE切⊙OB，∴∠ABE＝∠ACB.又AD∥BC，∴∠EAB＝∠ABC， AD∥BC︵＝︵ 4规律方法1.弦切角定理经常作为工具，进行三角形相似的证明，然后利用三角演练 如图，PA，PB是⊙O的切线，点C在︵上证 连接CD⊥AB，CE⊥PA，CF⊥PB，Rt△CBF∽Rt△CAD，∴CA＝CE，CB＝CF，∴CE＝CD，即 要点 弦切角定理综合应例3 如图所示，以△ABD的边AB为直径作半圆O交AD于C点，过点C的切线CE和BD互相垂直，垂足为E点.求证：AB＝证法 如图所示，连接∵CE是⊙O证法 由证法1知又 演练 T为切点，∠APTPDBT，ATC，D.△CTD为等腰三角形22 ∵∠TDC＝∠A＋1∠APT，PT是圆O的切线，∴∠PTB＝∠A.在△PTC中，∠TCD＝∠BTP＋1∠APT，22∴∠TDC＝∠TCD，∴△CTD为等腰三角形圆心角、圆周角、弦切角的比较︵∠AOB的度数＝AB∠ACB的度数＝1∠ACB的度数＝1如图所示，AB是⊙O的一条弦，EC与⊙OB，D⊙O上的任一点(不与A，B重合)，则下列为弦切角的是( 解 ∠ADB是圆周角，∠AOB是圆心角，∠ABC是弦切角，∠BAO不是弦切角答 ＝70°，则∠NMP等于 解 ∵∠NMP是弦切角答 已知AB切⊙O于A点，圆周被AC所分成的优弧与劣弧之比为3∶1，则夹劣 解 ∵优弧与劣弧之比为3∶1，∴劣弧所对的圆心角为90°，所对的圆周角45°，故由弦切角定理可知，弦切角答 OPE∠APEAE，BE证 ∵PE切⊙O于点∵PC平分又APP，AE⊥BP交⊙OE，则图中与∠CAP相等的角的个数是)解 如图所示，连接则△AOE为等腰三角形∵OC⊥AE，∴OC∴△ACE答 如图所示，已知⊙OABAC35C点的切线PC与AB的延长线交于点P，则∠P等于 解 如图，连接∵PC是⊙O又答 如图，AB是⊙O的直径，EF切⊙OC，AD⊥EF＝2，AB＝6，则AC的长为 C.2C.2 如图，连接BC，由AB是直径，得AC⊥BC， ∴AC＝2答 如图所示，已知AB和AC分别是⊙O的弦和切线，A为切点，DBDAC＝6，AD＝5，则CD＝ 解 由AC为切线，得∠CAD＝∠B.由题意知＝4(负值舍去答 优弧BC上的点，已知∠BAC＝80°，那么∠BDC＝ 解 OBOC22答 如图所示，已知圆上的弧AC＝BDCBA证 (1)因为︵＝︵，所以EC

︵上的一点，已知⊙Or，PO＝2r∠APB＝β.则α，β的大小关系是 D.不能确解 22答 OAB＝6，C为圆周上一点，BC＝3lAlADD的长 解 cos∠CBA＝3＝1lO的切线，由弦切角定理得 2cos∠DCA＝cos∠CBA＝1.AD⊥CD2

1＝3 2332PAO(O为圆心)A，POOB，CAC＝3，∠PAB＝30°，则线段PB的长 解 如图，连接OA，又PA为⊙O切线AC＝3，BC为⊙O直径，答 如图，AD是△ABCA，D的⊙ODAB，AC证 如图所示，连接∵DC是⊙O又∵AD平分又由圆周角定理得如图，AB为⊙OCD与⊙OE，ADCDD，BC垂CDC，EFABFAE，BE. 证 (1)由直线CD与⊙O相切，得πAB为⊙OAE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝2EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝2.(2)BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.AD＝AF.Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC.P在⊙O外，PC是⊙OCPO与⊙O相A，B两点.探索∠BCP与∠P的关系若∠A＝30°，则PBPA有什么关系∠A可能等于45°吗？为什么 (1)∵PC为⊙O的切线在△PCA中，∠A＋∠P＋∠ACB＋∠BCP＝180°，又∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°， 若则22

∠A不可能等于∴CP∥AB，与题干中PC与AB交于点P∴∠A五[学习目标掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理以及切线长定理如图所示，CD是弦，ABCD⊥ABP 提 CDAB提 P从⊙O内接移到⊙O上(如图②所 ⊙OABCDP从⊙OPPABPCD从⊙OPPAPBC，A要点一1如图所示，在⊙O中，PABP作半径OA的垂线分别交⊙OC，DE.求证：PC·PD＝证 连接∵PABRt△APO中，AP2＝AE·AO规律方法(1)结合图形，找准分点及线段被分点所分成的线段1AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，解延长DC交⊙C于M，延长CD交⊙O于N.在⊙O，⊙C中，由相交弦定理可知，PE·EQ＝DE·EM＝CE·ENCE＝xDE＝6－x，则(6－x)(x＋6)＝x(6－x＋6)，解得x＝3.要点 切割线定理应例2 如图设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D.证 如题图，∵AE是圆的切线∴∠ABC＝∠CAE.又∵AD是∠BAC从而，故∵EA而规律方法利用切割线定理证明乘积式成立是一种重要的题型，是高考出题的热演练2 如图所示，PA切⊙O于点A，点M为︵的中点，割线PBC交AM与点D，交⊙O于点B，C.求证PD2＝PB·PC. 连接AC.由题意知∴∠ADB的度数＝1︵的度数 ∵M为︵＝︵∴∠ADB的度数＝1︵的度数)＝1的度数.∵PA切⊙O 由题意知PA2＝PB·PC要点 切线长定理的应3如图所示，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于PA，PBD，E，△PDE8cm，且∠DOE＝70°.(1)PA的长(2)∠P的度数 即2PA＝PD＋PE＋DE.而△PDE的周长＝PD＋PE＋DE＝8cm，所以2PA＝8cm，(2)连接且由三角形内角和得又O所以∠＝180°－(∠＋∠6＋∠7＋∠8).因为∠67＝70°，规律方法解此题第(2)问时，注意四边形内角和这一隐含条件的使用，当已知条演练3 的切线，分别交PA，PB于D，E两点，则△PDE的周长等于 解 ∵PA，PB，DE分别切⊙O于∴△PDE故△PDE答 如图，⊙O的两条弦AB与CD相交于点E，EC＝1，DE＝4，AE＝2，则BE等于( 解 答 如图，P是⊙O外一点，PA与⊙O相切于点A，过点P的直线l交⊙O于点B，C，且PB＝4，PC＝9，则PA等于( 解 答 ABACBD.CBD与AB相交于点

CD 解 由相交弦定理得AF·FB＝EF·FC.∴FC＝EF＝2.由△AFC∽△ABD，知 DB2＝DC·DADA＝4CD4DC2＝DB2＝64， 答 3交⊙OB，C两点.求证：∠DPB＝∠DCP.证 因为PA与圆相切于点A，所以DA2＝DB·DC.因为DDP